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1、信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB南京邮电大学南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心信号分析与信息处理教学中心2017.9SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第三章 连续信号与系统的频域分析信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB第三章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析概述3.1 周期信号分解为傅里叶级数3.3 周期信号的频谱3.4 非周期信号的频谱3.5 一些常见信号的频域分析3.6 傅里叶变换的性质及其应用3.7
2、 相关函数与谱密度3.8 连续系统的频域分析3.9 信号的无失真传输和理想滤波器3.11 取样定理本章要点作业 返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB连续信号与系统的频域分析概述 实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号之和之和 这一认识来源于对这一认识来源于对这一认识来源于对这一认识来源于对波形波形波形波形的观察，物理意义明确。的观察，物理意义明确。的观察，物理意义明确。的观察，物理意义明确。 正弦信号是最常见、最基本的信号。正弦信号是最常见、最基本的信号。正弦信号是
3、最常见、最基本的信号。正弦信号是最常见、最基本的信号。 正弦信号便于产生、传输和处理。正弦信号便于产生、传输和处理。正弦信号便于产生、传输和处理。正弦信号便于产生、传输和处理。 线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应仍是同一频率的正弦信号。仍是同一频率的正弦信号。仍是同一频率的正弦信号。仍是同一频率的正弦信号。 三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。三角函数
4、的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。 傅里叶变换傅里叶变换 揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质。 频谱分析频谱分析 直观、方
5、便地从另一个角度来认识信号。直观、方便地从另一个角度来认识信号。直观、方便地从另一个角度来认识信号。直观、方便地从另一个角度来认识信号。 频域分析法频域分析法 求解系统在任意信号激励下的零状态响应。求解系统在任意信号激励下的零状态响应。求解系统在任意信号激励下的零状态响应。求解系统在任意信号激励下的零状态响应。 其它其它 频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEM
6、S ZBZB3.1 周期信号分解为傅里叶级数 周期信号的表达式周期信号的表达式 T 为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。 ，为为该信号的角频率。该信号的角频率。 周期分别为周期分别为 T1 , T2 的两个周期信号相加，当的两个周期信号相加，当 T1 , T2 之之间存在最小公倍数间存在最小公倍数 T 时，所得到的信号仍然为周期信号，时，所得到的信号仍然为周期信号，其周期为其周期为T 。 即即T=n1T1 =n2T2 ，其中，其中 n1 和和 n2 为整数，或者说为整数，或者说 n2/n1为有理数。为有理数。返回信号与系统信号与系统SIGNALS
7、 AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，试计算其周期。试计算其周期。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.1.1 三角型傅里叶级数 以以 为周期的周期信号为周期的周期信号 ，若满足狄里赫勒条件：，若满足狄里赫勒条件：(1) 在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个不连续点；(2) 在一个周期内只有有限个极大值、极小值；在一个周期内只有有限个极大值、极小值；(3) 在一个周期内绝对
8、可积，即在一个周期内绝对可积，即则可以展开为三角型傅里叶级数则可以展开为三角型傅里叶级数则可以展开为三角型傅里叶级数则可以展开为三角型傅里叶级数其中其中返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式其中其中信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号波形的对称性与傅氏系数的关系1. 偶函数：偶函数： ，则，则 只含有常数项和余弦项。只含有常数项和余弦项。. . . . .奇函数在
9、对称区间内奇函数在对称区间内积分为零。积分为零。偶函数在对称区间内偶函数在对称区间内积分为半区间积分的积分为半区间积分的两倍。两倍。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2. 奇函数：奇函数： ，则，则 只含正弦项。只含正弦项。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3. 偶谐函数：偶谐函数： ，则，则 只含偶次谐波。只含偶次谐波。周期本来就是周期本来就是T/2 。. . . . .4. 4. 奇谐函数：奇谐函数：奇谐函数：奇谐函数： ，则，则，则，则 只含
10、奇次谐波。只含奇次谐波。只含奇次谐波。只含奇次谐波。. . . . .信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.1.2 指数型傅里叶级数由欧拉公式由欧拉公式代入三角形傅氏级数，有代入三角形傅氏级数，有式中式中 而而 是实数。是实数。是一对关于变量是一对关于变量 的共轭复数，的共轭复数，返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB这就是指数型傅里叶级数，其系数这就是指数型傅里叶级数，其系数一般情况下，一般情况下， 是关于是关于变量变量 的复函数，称为指数的
11、复函数，称为指数型傅里叶级数的型傅里叶级数的复系数复系数，可写成，可写成信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB注意：注意：1. 1. 为直流分量，一般情况下要单独计算。为直流分量，一般情况下要单独计算。2.2.2.2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。义。义。义。3.3.3.3.当当当当 是实周期信号时，是实周期信号时，是实周期信号时，是实周期信号时， 和和和和 互为共轭复数，有互
12、为共轭复数，有互为共轭复数，有互为共轭复数，有即傅里叶复系数即傅里叶复系数 的模和实部是的模和实部是 的偶函数；的偶函数； 的相角和虚部是的相角和虚部是 的奇函数。的奇函数。4.4.4.4.当当当当 是实偶函数时，则是实偶函数时，则是实偶函数时，则是实偶函数时，则 是实偶函数；是实偶函数；是实偶函数；是实偶函数； 当当当当 是实奇函数时，则是实奇函数时，则是实奇函数时，则是实奇函数时，则 是虚奇函数。是虚奇函数。是虚奇函数。是虚奇函数。 （利用（利用（利用（利用 的计算公式可以证明）的计算公式可以证明）的计算公式可以证明）的计算公式可以证明）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYST
13、EMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB指数型和三角型傅里叶级数系数之间的关系 物理意义：物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐 波分量之和。波分量之和。注意：注意：指数型和三角型指数型和三角型傅里叶级数中，傅里叶级数中，n 的取的取值范围不同。值范围不同。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：试将图示周期矩形脉冲例：试将图示周期矩形脉冲信号信号 展开为展开为(1)三角型和三角型和(2)指数型傅里叶级数。指数型傅里叶级数。信号与系统信号与系统SIGN
14、ALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(2) 指数型傅立叶级数指数型傅立叶级数称为称为抽样函数抽样函数或或取样函数取样函数信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB抽样函数1. 偶函数信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.3 周期信号的频谱 说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数里叶系数 或或 反映了不同谐波分量的幅度，反映了不同谐波分量的幅度， 或或 反反
15、映了不同谐波分量的相位。映了不同谐波分量的相位。 频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。角度反映了该信号携带的全部信息。返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱 2. 各（非零）分量的数目不同。各（非零）分量的数目不同。 3. 幅度幅度 （ ）不同，相位）不同，相位 （ ）不同。）不同。 不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于： 1. 由于由于 不同，所以基波频率
16、不同，所以基波频率 不同，谐波频不同，谐波频率率 也不同。也不同。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如某周期信号的傅里叶级数为例如某周期信号的傅里叶级数为单边频谱：单边频谱：双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱单边幅度频谱单边幅度频谱单边相位频谱单边相位频谱双边频谱：双边频谱：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB画频谱图时注意：2. 三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；5. 谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）信
17、号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。频谱。解解: (1) 单边频谱单边频谱单边幅度频谱：单边幅度频谱：单边相位频谱：单边相位频谱：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB双边幅度频谱：双边幅度频谱：双边相位频谱：双边相位频谱：(2) 双边频谱双边频谱信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例
18、：已知某周期信号的单边频谱如图例：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。并画出其双边频谱。解解:双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱双边频谱双边频谱:信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB周期信号频谱的特点下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB1. 1. 频谱特点频谱特点: :(
19、1)(1)离散性离散性(2)(2)谐波性谐波性(3)(3)幅度收敛性幅度收敛性2.2.2.2. 和和和和 与与与与频谱的关系频谱的关系频谱的关系频谱的关系: : : :信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.3.2 周期信号的功率谱周期信号的平均功率周期信号的平均功率称为帕什瓦尔定理或功率等式称为帕什瓦尔定理或功率等式 表明周期信号在时域中的平表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS A
20、ND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：图示周期矩形脉冲，例：图示周期矩形脉冲， ，试画出其频谱和，试画出其频谱和功率谱，并求出其在有效频带宽度功率谱，并求出其在有效频带宽度 内的分量所具有内的分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。的平均功率占整个信号平均功率的百分比。解解:频谱频谱功率谱功率谱在时域中求得信号的功率为在时域中求得信号的功率为在有效频带宽度在有效频带宽度 内的内的分量所具有的平均功率为分量所具有的平均功率为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.4 非周期信号的频
21、谱周期信号周期信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号3.4.1 3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.4.2 频谱函数 的物理意义及其自身特性返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS A
22、ND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.4.3 傅里叶变换的存在性狄里赫勒条件修改为狄里赫勒条件修改为(1) 在在 只有有限个不连续点；只有有限个不连续点；(2) 在在 只有有限个极大值、极小值；只有有限个极大值、极小值；(3) 在在 绝对可积，即绝对可积，即 这只是充分条件而非必要条件，这只是充分条件而非必要条件，如果引入广义函数如果引入广义函数后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也可能存在傅氏变换。可能存在傅氏变换。信号与系统信号与
23、系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.5 一些常见信号的频域分析1. 矩形脉冲矩形脉冲返回返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2. 三角形脉冲三角形脉冲信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3. 单边实指数脉冲单边实指数脉冲（图形见（图形见（图形见（图形见 P95P95 图图图图3-5-33-5-3）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYS
24、TEMS ZBZB4. 双边实指数脉冲双边实指数脉冲（图形见（图形见（图形见（图形见 P95P95 图图图图3-5-43-5-4）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB5. 符号函数符号函数（图形见（图形见（图形见（图形见 P96P96 图图图图3-5-53-5-5）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB6. 单位冲激函数单位冲激函数7. 7. 直流信号直流信号直流信号直流信号（白噪声）（白噪声）（白噪声）（白噪声）信号与系统信号与系统SIGNALS AN
25、D SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB8. 虚指数信号虚指数信号信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB9. 单位阶跃信号单位阶跃信号（图形见（图形见（图形见（图形见 P100P100 图图图图3-5-123-5-12）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB10. 高斯脉冲高斯脉冲(
26、钟形脉冲钟形脉冲)（图形见（图形见（图形见（图形见 P101P101 图图图图3-5-133-5-13） 可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.6 傅里叶变换的性质及其应用 对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。 傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系，当
27、在某一个域中对信号进行分析和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到另一个域中进行。另一个域中进行。 另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅里叶正、反变换。的傅里叶正、反变换。返回返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SI
28、GNALS AND SYSTEMS ZBZB1. 线性线性例例例例返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2. 对称性对称性返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB 利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换或傅里叶反变换。或傅里叶反变换。 傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中傅里叶变换的对称性
29、质可以帮助我们理解工程实际中的重要概念。的重要概念。的重要概念。的重要概念。 例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。谱必定是连续的、周期的。谱必定是连续的、周期的。谱必定是连续的、周期的。信号与系统信号与系统SIGNALS AND
30、 SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-6-2 试求取样函数试求取样函数 的频谱函数。的频谱函数。解：解：解：解：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3. 比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4. 时移性时移性返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYST
31、EMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB既有时移又有尺度变换既有时移又有尺度变换返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB5. 频移性（调制定理）频移性（调制定理）调制定理调制定理返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB乘法器乘法器频分多路复用频分多路复用P108 例例3-6-2信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB6. 卷积定理卷积定理 (1) (1) 时域卷
32、积定理时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理 返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例 信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(2) 频域卷积定理频域卷积定理 返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB7. 时域微分和积分时域微分和积分(1) (1) 时域微分性质时域微分性质时域微分性质时域微分性质 返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGN
33、ALS AND SYSTEMS ZBZB(2) 时域积分性质时域积分性质返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(3) 利用时域微、积分性质计算傅里叶变换利用时域微、积分性质计算傅里叶变换返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如，求符号函数的频谱：例如，求符号函数的频谱：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-6-6 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。信号与系统信
34、号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-6-7 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB8. 频域微分和积分频域微分和积分(1) (1) 频域微分性质频域微分性质频域微分性质频域微分性质 返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(2) 频域积分性质频域积分性质信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEM
35、S ZBZB例例3-6-8 试证明下列傅里叶变换对成立：试证明下列傅里叶变换对成立：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-6-9 试证明下列傅里叶变换对成立：试证明下列傅里叶变换对成立：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB傅里叶变换性质的应用返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYST
36、EMS ZBZB例例 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例 求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。同理可得同理可得信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例 已知信号已知信号 的频谱的频谱 如图所示，如图所示，试写出其时域表达式。试写出其时域表达式。解：解：(1) 利用对称性求解利用对称性求解信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS A
37、ND SYSTEMS ZBZB(2) 利用调制定理求解利用调制定理求解(3) 利用频域卷积定理求解利用频域卷积定理求解信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.7 相关函数与谱密度3.7.1 3.7
38、.1 能量谱密度能量谱密度由由当当 为实函数时，有为实函数时，有 ，得，得称为帕什瓦尔等式，或能量等式称为帕什瓦尔等式，或能量等式返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB定义：定义：为能量谱密度，简称能量谱。为能量谱密度，简称能量谱。显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。如如返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如单边指数信号例如单边指数信号利用帕什瓦尔等式可以帮助我们计算一些积分：利用
39、帕什瓦尔等式可以帮助我们计算一些积分：在时域中计算其能量：在时域中计算其能量：在频域中计算其能量：在频域中计算其能量：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB 作为能量谱密度的一个应用，下面介绍信号的脉冲作为能量谱密度的一个应用，下面介绍信号的脉冲宽度和频带宽度的一般概念。宽度和频带宽度的一般概念。 但是对于一般的信号来说，例如高斯脉冲，它在时但是对于一般的信号来说，例如高斯脉冲，它在时域和频域中都没有零交点，这时其有效脉冲宽度和有效域和频域中都没有零交点，这时其有效脉冲宽度和有效频带宽度可以从能量的角度来定义。频带宽度可以从
40、能量的角度来定义。 有效脉冲宽度有效脉冲宽度 定义为：在时域中绝大部分能量定义为：在时域中绝大部分能量所集中的那段时间，可以表示为所集中的那段时间，可以表示为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB（一般取（一般取 ） 有效频带宽度有效频带宽度 定义为：在频域中绝大部分能量定义为：在频域中绝大部分能量所集中的那段频带，即所集中的那段频带，即 无论采用什么定义，有效脉冲宽度（脉宽）和有效无论采用什么定义，有效脉冲宽度（脉宽）和有效频带宽度（带宽）的乘积都是一个常数，即两者成反比。频带宽度（带宽）的乘积都是一个常数，即两者成反比。
41、因此，要同时具有较窄的脉宽和带宽，就必须选用两者因此，要同时具有较窄的脉宽和带宽，就必须选用两者乘积较小的脉冲信号。乘积较小的脉冲信号。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.8 连续系统的频域分析3.8.1 3.8.1 傅里叶变换分析法傅里叶变换分析法 频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。状态
42、响应随频率变化的规律（频率响应特性）。状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。 频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换在频域中求解系统的零状态响应的方法。在频域中求解系统的零状态响应的方法。在频域中求解系统的零状态响应的方法。在频域中求解系统的零状态响应的方法。由线性时不变系统的数学模型由线性时不变系统的数学模型两边取傅氏变换，并利用时域微分性质，得两边取傅氏变换，并利用时域微分性质，得 返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEM
43、S SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB傅里叶变换分析法的步骤：傅里叶变换分析法的步骤：(1) 求取激励求取激励 的傅里叶变换变换的傅里叶变换变换 ；(2) 确定系统的系统函数确定系统的系统函数 ；(3) 计算响应的傅里叶变换计算响应的傅里叶变换 ； (4) 取取 的反变换，得的反变换，得 。 返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.8.2 系统特性的频域表征 系统函数系统函数 描述了系统在零状态条件下，响应的描述了系统在零状态条件下，响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之间的关系，表征了系傅里叶变换与激
44、励的傅里叶变换之间的关系，表征了系统自身的特性，与激励无关。统自身的特性，与激励无关。1. 系统函数系统函数 的物理意义的物理意义(1) 系统函数系统函数 是冲激响应是冲激响应 的傅里叶变换的傅里叶变换返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(2)(2)当激励为无时限的虚指数信号当激励为无时限的虚指数信号 时，时， 说明说明无时限的无时限的虚指数信号作用于系统时，其零状态虚指数信号作用于系统时，其零状态响应（此时也是全响应）仍为同频率的虚指数信号，是响应（此时也是全响应）仍为同频率的虚指数信号，是激励乘以一个与时间激励
45、乘以一个与时间 t 无关的复函数无关的复函数 ，结果是将激，结果是将激励信号在幅度上放大励信号在幅度上放大 倍，相位上附加一个倍，相位上附加一个 的相位移后输出。的相位移后输出。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB(3)(3)当激励为一般信号时，当激励为一般信号时， 信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZB
46、ZB2. 系统函数系统函数 的求解方法的求解方法(1) 从微分方程直接求解从微分方程直接求解 (方程两边取傅里叶变换方程两边取傅里叶变换)(2) 对系统的冲激响应取傅里叶变换对系统的冲激响应取傅里叶变换(3) 设激励为设激励为 ,求系统的零状态响应求系统的零状态响应(4) 由零状态电路的频域模型模型求解由零状态电路的频域模型模型求解例例3-8-1 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为求系统函数求系统函数 。解：解：(1) 对微分方程观察，可直接求得对微分方程观察，可直接求得返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS Z
47、BZB(2) 由第二章的方法，先求得冲激响应为由第二章的方法，先求得冲激响应为对冲激响应取傅里叶变换，得对冲激响应取傅里叶变换，得实际上，很多情况下是反向运作，用来求实际上，很多情况下是反向运作，用来求 的。的。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-8-2：求图示电路的系统函数：求图示电路的系统函数 。解：零状态频域电路模型如图，解：零状态频域电路模型如图，类似于相量分析法，可得类似于相量分析法，可得当然，还可以从系统函数写出系统的微分方程。当然，还可以从系统函数写出系统的微分方程。返回返回信号与系统信号与系统SIG
48、NALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3. 系统的频率特性系统的频率特性返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如例如 RC低通滤波器低通滤波器幅度频谱为幅度频谱为相位频谱为相位频谱为低通滤波器的通频带为低通滤波器的通频带为 与信号的频带宽度定义不同与信号的频带宽度定义不同信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-8-3 3-8-3 试用傅里叶变换分析法计算试用傅里叶变换分析法计算RC低通滤波器的阶低
49、通滤波器的阶跃响应。跃响应。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-8-4 3-8-4 若系统的微分方程为若系统的微分方程为已知已知 试求系统的完全响应。试求系统的完全响应。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB该系统的齐次微分方程为该系统的齐次微分方程为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND
50、 SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB另解：取输入信号的傅里叶变换变换得另解：取输入信号的傅里叶变换变换得取上式的傅里叶反变换，得取上式的傅里叶反变换，得信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例3-8-5 3-8-5 已知系统的频率特性已知系统的频率特性 如图所示，激励信号如图所示，激励信号, ,试画出响应试画出响应 的频谱的频谱 的图形。的图形。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND
51、 SYSTEMS ZBZB频域分析法的优缺点1.只能求零状态响应只能求零状态响应 ；2. 反变换有时不太容易反变换有时不太容易 ；3. 物理概念清楚，在信号的频谱分析和系统的频率特性物理概念清楚，在信号的频谱分析和系统的频率特性分析方面有突出的优点，是十分重要的工具。分析方面有突出的优点，是十分重要的工具。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.9 信号的无失真传输和理想滤波器3.9.1 3.9.1 无失真传输无失真传输 输出信号和输入信号相比，只有幅度大小和出现时间输出信号和输入信号相比，只有幅度大小和出现时间先后的不同
52、，而波形没有变化，这种传输叫无失真传输。先后的不同，而波形没有变化，这种传输叫无失真传输。返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB无失真传输系统应满足的两个条件：无失真传输系统应满足的两个条件：返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.9.2 理想滤波器 理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并阻止理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并阻止其它的频谱分量通过。其它的频谱分量通过。理想低通滤波器理想低通滤波器 理想低通滤波器的通频带不为无穷大
53、，故又称为带限理想低通滤波器的通频带不为无穷大，故又称为带限系统。此类系统的失真取决于通带的宽度和信号的频带宽系统。此类系统的失真取决于通带的宽度和信号的频带宽度。度。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB理想高通滤波器理想高通滤波器理想带通滤波器理想带通滤波器理想带阻滤波器理想带阻滤波器 类似地，还可以定义：类似地，还可以定义：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB理想低通滤波器的单位冲激响应 由图可见，产生了失真和延迟。这是由图可见，产生了失真和延迟。
54、这是因为理想低通滤波器是一个带限系统，而因为理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号的频带宽度为无穷大。延迟时间冲激信号的频带宽度为无穷大。延迟时间是理想低通滤波器相频特性的斜率。是理想低通滤波器相频特性的斜率。而且是非因果系统，物理上是不可实现的。而且是非因果系统，物理上是不可实现的。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB理想低通滤波器的单位阶跃响应信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：已知带限信号例：已知带限信号 x(t) 的频谱和系统如图，试画出
55、的频谱和系统如图，试画出A、B、C各点各点的频谱密度，图中的频谱密度，图中返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：已知某线性时不变系统的频率特性例：已知某线性时不变系统的频率特性信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11 取样定理 调制定理：调制定理：把信号搬移到不同的频段来实现把信号搬移到不同的频段来实现频分多路频分多路通信通信。（频分复用）（频分复用） 取样定理（抽样定理）：取样定理（抽样定理）：利用连续信号在等时间间隔利用连续信号在等时
56、间间隔上的瞬时值（样本值）来表示和恢复原信号，实现上的瞬时值（样本值）来表示和恢复原信号，实现时分复时分复用。用。也是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。也是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。频分复用频分复用时分复用时分复用返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11.1 时域取样取样后得到的离散信号称之为取样后得到的离散信号称之为取样信号取样信号。 取样：取样：利用取样脉冲序列利用取样脉冲序列 从连续时间信号从连续时间信号 中抽中抽取一系列离散的样值的过程。取一系列离散的样值的过程。取样脉冲序列也取样脉
57、冲序列也称为开关函数称为开关函数信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11.2 自然取样由频域卷积定理由频域卷积定理信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11.3 理想取样信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11.4 时域取样定理 可见，取样定理必须满足两个条件：可见，取样定理必须满足两个条件： 一个在一个在 频谱区间频谱区间( )以外为零的频带有限信号以外为零的频带有限信
58、号(带限信号带限信号) ，可以唯一地由其均匀时间间隔，可以唯一地由其均匀时间间隔 上的取样值上的取样值 确定。确定。1. 必须为必须为带限信号带限信号，即在，即在时，其频谱时，其频谱 2. 取样频率不能过低取样频率不能过低，必须满足，必须满足 定义定义为奈奎斯特取样率为奈奎斯特取样率 当取样频率当取样频率 大于或等于信号带宽的两倍时，可以大于或等于信号带宽的两倍时，可以从从 中恢复原信号。中恢复原信号。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.11.5 信号的恢复 从频域的角度来看，可以通过理想低通滤波器从取从频域的角度来看
59、，可以通过理想低通滤波器从取样信号样信号 中恢复原来的连续信号中恢复原来的连续信号 。 从时域的角度分析：从时域的角度分析：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB这里这里故故得得 可见，任意信号可以分解为无穷多个取样函数的代数可见，任意信号可以分解为无穷多个取样函数的代数和。从取样信号重建连续信号的过程见和。从取样信号重建连续信号的过程见P151图图3-11-8。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：设例：设 为带限信号，带宽为带限信号，带宽 ，频谱如
60、图所示，试，频谱如图所示，试分别求分别求 的带宽和奈奎斯特取样率的带宽和奈奎斯特取样率 。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB续上例：若用取样序列续上例：若用取样序列并画出其频谱图。并画出其频谱图。对信号对信号进行取样，得取样信号进行取样，得取样信号 ，试求，试求 的频谱的频谱 ， 频谱见右图图。频谱见右图图。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：求下列信号的奈奎斯特取样率。例：求下列信号的奈奎斯特取样率。 (2) 时域中两个信号相乘，所得信号的带宽
61、为原来两时域中两个信号相乘，所得信号的带宽为原来两个信号的带宽之和，所以个信号的带宽之和，所以解：解：(1) (3) 时域中两个信号相加，所得信号的带宽应为原来时域中两个信号相加，所得信号的带宽应为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽，即两个信号中带宽大的那个信号的带宽，即 另外，时域卷积对应于频域相乘，带宽应取小的。另外，时域卷积对应于频域相乘，带宽应取小的。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB本章要点1.周期信号分解为傅里叶级数：三角型级数三角型级数、指数型级数指数型级数、两种级数系数之间的关系两种级数系数之间
62、的关系2.周期信号的频谱：单边频谱和双边频谱单边频谱和双边频谱、功率谱功率谱3.非周期信号的频谱：傅里叶变换对的定义傅里叶变换对的定义、 的的物理意义物理意义、 的的特性特性、 和和 的关系的关系4.一些常见信号的频域分析：典型信号的傅里叶变换（典型信号的傅里叶变换（P101P101表表3-13-1）5.傅里叶变换的性质及其应用（P116P116表表3-23-2）6.能量谱密度返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB7.连续系统的频域分析：系统函数的求解方法：系统函数的求解方法：从系统的微分方程求解从系统的微分方程求解、从
63、电路求解从电路求解系统的频率特性系统的频率特性频域中求解零状态响应的步骤频域中求解零状态响应的步骤、频域中求解系统响应的方法频域中求解系统响应的方法8.信号的无失真传输和理想滤波器无失真传输的条件无失真传输的条件含有理想滤波器系统的分析含有理想滤波器系统的分析9.奈奎斯特取样率的计算返回本章要点（续）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB作业作业3.1： 3-2(a)3-2(a)3.3： 3-113-11，3-143-14 3.4： 3-173-17， 3-193-19 3.5： 3-20(b)3-20(b) 3.6： 3-183-18，3-21(b)3-21(b)，3-26,3-33(a)3-26,3-33(a)， 3-34(c)(f)3-34(c)(f)，3-373-37， 3-423-423.7，3.8： 3-56, 3-653-56, 3-653.9，3.11：3-713-71，3-803-80 返回
