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1、 典型题目典型题目分解因式分解因式一、判断是否是是分解因式一、判断是否是是分解因式把一个把一个多项式多项式化成几个化成几个整式的积整式的积的形式，这种变形叫做把的形式，这种变形叫做把这个多项式这个多项式分解因式分解因式。练习：练习：1、下列从左到右是分解因式的是（、下列从左到右是分解因式的是（ ）A. x(ab)=axbx B. x 3=x(1- )C. x21=(x+1)(x1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c E.(x+3)(x3) =(x3)(x+3) F.6a2b=3ab2aC2、下列分解因式中，正确的是（、下列分解因式中，正确的是（ ）A3m26m=m(3m6) Ba2b+a
2、b+a=a(ab+b)Cx2+2xyy2=(xy)2 Dx2+y2=(x+y)2C二、找公因式二、找公因式找公因式的方法：找公因式的方法：1：系数为：系数为 ； 2、字母是、字母是 ；3、字母的次数、字母的次数 。各系数的最大公倍数各系数的最大公倍数相同字母相同字母相同字母的最低次数相同字母的最低次数练习：练习：5x225x的公因式为的公因式为 ；2ab24a2b3的公因式为的公因式为 ，多项式多项式x21与与(x1)2的公因式是的公因式是 。 例题：把下列各式分解因式例题：把下列各式分解因式 m2（a-2）+m（2-a） (x-y)3-y(y-x)2ab(m-2)+b(2-m)(4)n(m-
3、n)3-m(n-m)2三、（三、（1）、提公因式法：）、提公因式法：（2）运用公式法：）运用公式法：a2b2（ab）（）（ab） 平方差公式平方差公式 1、有且只有两个平方项；、有且只有两个平方项；2、两个平方项异号。、两个平方项异号。能使用能使用平方差公式分解因式平方差公式分解因式的多项式的特点：的多项式的特点： 例题：把下列各式分解因式例题：把下列各式分解因式 x24y2 （3）运用公式法：）运用公式法： a2 2ab b2 （ab）2 a2 2ab+ + b2 （ab）2 完全平方式完全平方式 能使用能使用完全平方公式分解因式完全平方公式分解因式的多项式的特点：的多项式的特点： 1、有两
4、个平方项；、有两个平方项；2、两个平方项同号。、两个平方项同号。3、含有交叉项的正负、含有交叉项的正负2倍。倍。例题：把下列各式分解因式例题：把下列各式分解因式 9x9x2 2-6x+1-6x+1解：原式解：原式=(3x)=(3x)2 2-2-2(3x) (3x) 1+11+1 = =（3x-1)3x-1)2 2 习题：习题：注意解题步骤！注意解题步骤！1、若若4x2+（m-1）xy+25y2是完全是完全平方式，求平方式，求m的值。的值。2、x2+x+a=（x+b）2，求，求a，b的值。的值。习题习题1：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式 4（m+n）2-12（m+n）+9 -a2+2a3
5、-a44a2-12a（x-y）+9（x-y）2四、利用分解因式进行计算四、利用分解因式进行计算： (1)（-2）2012+（-2）2013 ; (2) ; (3)1.222229-1.333324 ; 五、利用完全平方式配方求值五、利用完全平方式配方求值： (1)x2-6x+8y+y2 +25=0，求，求2x-3y的值的值 ; (2) m2+2mn+2n2-6n+9=0，求，求m、n ; 六、说理题六、说理题： (1)不论不论a、b为何值，代数式为何值，代数式a2b2-2ab+3一定为正值吗？一定为正值吗？(2)对于任意的自然数对于任意的自然数n，3n+2-2n+3 +3n-2n+1一定是一定
6、是10的整数的整数倍吗？说明理由。倍吗？说明理由。七、讨论七、讨论：已知：已知m、n为正整数，且为正整数，且m2=n2+45，求数对（，求数对（m，n）八、应用八、应用： (1)把把20cm长的一根铁丝分成两段，长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是两个正方形的面积之差是5cm2，求，求这两段铁丝的长？这两段铁丝的长？(2)已知已知x+y=m，2x+3y=m-1若若A=x（2x+3y）+y（2x+3y）-2x-3y，求，求A的最小值；的最小值；若若B=3（3x+2y）2-12x（3x+2y）+12x2，求，求B的值。的值。十字相
7、乘法十字相乘法公式：公式：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)11ab例题：把下列各式分解因式例题：把下列各式分解因式 X X2 2-5x+6 a-5x+6 a2 2-a-2-a-211-2-3111-2解：原式解：原式=（x-2)(x-3)解：原式解：原式=(a+1)(a-2)例例2 分解因式分解因式 3x 10x32解：解：3x 10x3213319xx=10x=(x3)(3x1)例例3 分解因式分解因式 5x 17x122解：解：5x 17x122513420x3x=17x=(5x3)(x4)1331二次齐次方程二次齐次方程1.
8、十字相乘法分解因式：十字相乘法分解因式： (1)x2-5x-6 ; (2) a2b2-7ab+10 (3)m3-m2-20m; (4)3a3b-6a2b-45ab; 2.十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式: (1)3x2+11x+10; (2)2x2-7x+3(3)6x2-7x-5; (4)5x2+6xy-8y2;(5)2x215x+7; (6)3a2-8a+4(7)5x2+7x-6; (8)6y2-11y+-103.已知多项式已知多项式2x3-x2-13x+k有一个因式有一个因式是是2x+1,求求K的值的值.分组分解法：分组分解法：分组的原则：分组的原则：分组后要能使因式分组后要能使因式分
9、解继续下去分解继续下去1 1、分组后可以提公因式、分组后可以提公因式2 2、分组后可以运用公式、分组后可以运用公式(1)可按相同的系数或相可按相同的系数或相 同同 的系数比进行分组。如：的系数比进行分组。如：2ax3ay3by2bx(2ax+2bx)+(3ay+3by)1、分组后能提取公因式、分组后能提取公因式2、分组后能运用公式，如：、分组后能运用公式，如：a22ab21（a22a1）b2分解因式（分解因式（xy+1）（）（x+1）（）（y+1）+xy例题：把下列各式分解因式例题：把下列各式分解因式 3x+x3x+x2 2-y-y2 2-3y x-3y x2 2-2x-4y-2x-4y2 2
10、+1+1解：原式解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3) 原式原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)* *4)分组分解：分组分解： (1)分组后提取公因式；分组后提取公因式； (2)分组后用公式。分组后用公式。*分解因式分解因式: (1)20(x+y)+x+y; (2)2m-2n-4x(m-n);(3)ac+bc+2a+2b;(4)a2+ab-ac-bc;(5)xy-y2-yx+xz;(6)4x2+3z-3xz-4x.(7)x2-y2+ax+ay;(8)4a2-b2+6a-3b;
11、(9) 1-m2-n2+2mn;(10)9m2-6m+2n-n2.(11)4x2-4xy+y2-a2;(12)a2-b2+2bc-c2.*2.分解因式：分解因式： (1)3ab-2a+6bc-4c (2) 4m2-6m+3n-n2 (3) x2-6x-y2+9 (4) (ax-by)2-(bx-ay)2 (5)2x2+x-1 (6)3a2b2-4ab+13.(x-2)2+y2-2y+1=0,求求xy的值的值.*3.已知已知x2+4y2+2x+4y+2=0,求求x2-4y的的 值。值。5配方法：配方法：通过通过加减项加减项配出配出完全平方式完全平方式后，再把后，再把二次三项式分解因式的方法叫二次
12、三项式分解因式的方法叫配方法配方法。n n 对任意多项式分解因式，都必须首先考对任意多项式分解因式，都必须首先考对任意多项式分解因式，都必须首先考对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。虑提取公因式。虑提取公因式。虑提取公因式。 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解乘法分解。 一提一提二套二套三分三分四查四查再考虑分组分解法再考虑分组分解法检查：特别看看多项式因式是否检查：特别看看多项式因式是否分解彻底分解彻底先看有无公因式，先看有无公因式，再看能否套公式，再看能
13、否套公式，十字相乘试一试，十字相乘试一试，分组分解要彻底。分组分解要彻底。四种方法反复用，四种方法反复用，不能分解连乘式。不能分解连乘式。4、叙述因式分解的一般步骤、叙述因式分解的一般步骤：因式分解的规律：因式分解的规律： 1、首先考虑提取公因式法；、首先考虑提取公因式法； 2、两项的两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公在考虑提公因后多数考虑平方差公式。式。 3、三项的三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。在考虑提公因后考虑完全平方公式。 4、多于三项的多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分在考虑提公因后，考虑分组分解。解。 5、分解后得到的因式，、分解后得到的因式，次数高于二次次数高于二次的必须的必须再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。止。
