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1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质 1高等数学91二重积分的概念与性质解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱轴的柱面面求其体积求其体积.“分割分割,近似近似 ,求和求和, 取极限取极限” 2高等数学91二重积分的概念与性质1)“分割分割”用用任意任意曲线网把曲线网把D分为分为 n
2、个小区域个小区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“近似近似”-以平代曲以平代曲在每个在每个3)“3)“求和求和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体3高等数学91二重积分的概念与性质4)“4)“取极限取极限”令令4高等数学91二重积分的概念与性质用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并任取一小区域，并任取一小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积5高等数学91二重积分的概念与性质6高等数学91二重积分的概念与性质二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可
3、积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使可积可积 , 在在D上的上的二重积分二重积分.记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数 , 7高等数学91二重积分的概念与性质积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素8高等数学91二重积分的概念与性质对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当
4、被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值(3) 积分值和积分和的关系积分值和积分和的关系当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分是各部分柱体体积的代数和是各部分柱体体积的代数和9高等数学91二重积分的概念与性质引例中曲顶柱体体积引例中曲顶柱体体积:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作D D10高等数学91二重积分的概念与性质二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在
5、D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积积.在在有界闭区域有界闭区域 D上上连续连续, 则则若若有界函数有界函数在在有界闭区域有界闭区域 D 上除去有上除去有 11高等数学91二重积分的概念与性质例如例如, 在在D :上二重积分存在上二重积分存在 ;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在 . 12高等数学91二重积分的概念与性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质( k 为常数)（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）对区域具有可加性对区域具有可加性13高等数学91二重积分的概念与性质 为为D 的面积的面积, 则则 特别特别
6、, 由于由于则则5. 若在若在D上上14高等数学91二重积分的概念与性质.（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）15高等数学91二重积分的概念与性质7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证: 由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一至少有一点点在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此16高等数学91二重积分的概念与性质解解17高等数学91二重积分的概念与性质例例2. 估计估计 的值的值, 其中其中 D 为为解解: 被积函数被积函数D 的面积的面积的最大值的最大值的最小值的最小值18高等
7、数学91二重积分的概念与性质例例3. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 19高等数学91二重积分的概念与性质解解D夹在两直线间夹在两直线间20高等数学91二重积分的概念与性质例例5. 估计下列积分之值估计下列积分之值解解: D 的面积的面积为为由于由于积分性质积分性质5即即: 1.96 I 2D21高等数学91二重积分的概念与性质8. 设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , 当区域关于当
8、区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.22高等数学91二重积分的概念与性质在第一象限部分在第一象限部分, 则则有有23高等数学91二重积分的概念与性质四、特殊区域下曲顶柱体体积的计算四、特殊区域下曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底可表示为设曲顶柱体的底可表示为:X型型积分区域积分区域其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.24高等数学91二重积分的概念与性质应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体
9、求体积”的方法的方法25高等数学91二重积分的概念与性质任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的26高等数学91二重积分的概念与性质同样同样, 曲顶柱体的底可表示为曲顶柱体的底可表示为Y型型27高等数学91二重积分的概念与性质则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算这样我们就把二重积分转化成为了二次积分这样我们就把二重积分转化成为了二次积分或累次积分或累次积分.28高等数学91二重积分的概念与性质内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义2. 二重积分的性质二重积分的性质 (与定积分性质相似与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计
10、算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法29高等数学91二重积分的概念与性质被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, 思考与练习思考与练习解解: 由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:30高等数学91二重积分的概念与性质2. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小顺序为的大小顺序为 ( )提示提示: 因因 0 y 1, 故故故在故在D上有上有31高等数学91二重积分的概念与性质3. 计算计算解解:32高等数学91二重积分的概念与性质P78 2，4(1)(4), 5(2)(4)P95 1(1), 8作业作业33高等数学91二重积分的概念与性质练练 习习 题题35高等数学91二重积分的概念与性质36高等数学91二重积分的概念与性质37高等数学91二重积分的概念与性质练习题答案练习题答案38高等数学91二重积分的概念与性质
