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1、 第一章 绪论向量和矩阵的范数课件Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 第一章 绪论1.4 1.4 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数学习目标：学习目标： 掌握向量范数、矩阵范数等概念。掌握向量范数、矩阵范数等概念。 第一章 绪论在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度长度”和和“距离距离”的概念来
2、度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的对向量和矩阵的“大小大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。广。1.4 向量和矩阵范数向量和矩阵范数范数范数是对向量和矩阵的一种度量是对向量和矩阵的一种度量, ,实际上是二维和三维向实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广量长度概念的一种推广. .数域数域:数的集合数的集合, ,对加法和乘法封闭对加法和乘法封闭线性空间线性空间: :可简化为向量的集合可简化为向量的集合, ,对向量的加法和数量乘对向量的加法和数量乘法封闭法封闭, ,也称为也称
3、为向量空间向量空间有理数、实数、复数数域 第一章 绪论 1.4.1 1.4.1 向量范数向量范数 ( vector norms )定义定义1.5如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性： ，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。定义定义1 如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性： ，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数
4、 ，都有，都有（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。 第一章 绪论自己证自己证容易验证，向量的容易验证，向量的范数和范数和1范数满足定义范数满足定义1.5中的条件。对于中的条件。对于2范数，满足定义范数，满足定义1.5中的条件（中的条件（1）和（）和（2）是显然的，对于）是显然的，对于条件（条件（3），利用向量内积的），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可以不等式可以验证。验证。 第一章 绪论显然显然并且由于并且由于定理定理1 第一章 绪论注意注意注意注意:一般有向量的等价关系一般有向量的等价关系 例例
5、例例 1 1 求下列向量的各种常用范数求下列向量的各种常用范数解解解解:1*499/4*4=91*499/4*4=9 第一章 绪论定义定义2 如果矩阵如果矩阵 的某个实值函数的某个实值函数 满足满足（1）正定性正定性： 且且 当且仅当当且仅当 ；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有 ；（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 都有都有（4）相容性相容性：对任意：对任意 ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个矩阵范数矩阵范数 1.4.2 1.4.2 矩阵的范数矩阵的范数( matrix norms ) 第一章 绪论常用的矩阵范数常用的矩阵范数 第一章 绪论例例例例2
6、2不难验证其满足定义不难验证其满足定义2 2的的4 4个条件个条件. .称为称为FrobeniusFrobenius范数范数, ,简称简称F-F-范数范数. .类似向量的类似向量的 2- 2-范数范数称称A的的F-范数范数. 第一章 绪论定义定义定义定义3 3 第一章 绪论例例例例3 3 3 3求矩阵求矩阵A A的各种常用范数的各种常用范数解解解解: :由于由于 第一章 绪论特征方程为特征方程为 第一章 绪论容易计算容易计算容易计算容易计算计算较复杂计算较复杂计算较复杂计算较复杂对矩阵元素的对矩阵元素的对矩阵元素的对矩阵元素的变化比较敏感变化比较敏感变化比较敏感变化比较敏感较少使用较少使用较少使用较少使用使用最广泛使用最广泛使用最广泛使用最广泛性质较好性质较好性质较好性质较好使用最广泛使用最广泛使用最广泛使用最广泛 第一章 绪论定义定义定义定义4 4 4 4而而因此因此显然显然( spectral norm )谱范数谱范数 第一章 绪论即即所以所以定理定理1.证明证明:略略 第一章 绪论例例4 设矩阵设矩阵A与矩阵与矩阵B是对称的，求证是对称的，求证证证 因为因为 ,于是有于是有即即 。同理。同理 。由于由于 ，所以，所以
