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1、个人收集整理仅供参考学习37 / 6 高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一选择题1设L是连接)0 , 1(A，) 1,0(B，)0, 1(C的折线，则()Lxy ds B（ A） 0 （B）2（C）22（D）2文档收集自网络，仅用于个人学习2设L为椭圆13422yx，并且其周长为S，则22(3412)Lxyds= D （A）S （B）6S （C）12S （D）24S文档收集自网络，仅用于个人学习二填空题1设平面曲线L为下半圆周21xy，则曲线积分22()Lxyds2设L是由点 O(0,0)经过点 A(1,0) 到点 B(0,1) 的折线，则曲线积分()
2、Lxy ds221三计算题122()nLxyds，其中L为圆周taxcos，taysin（20t）. 解：原式122012202222)()(nnnadtadtyxa222xyLeds，其中L为圆周222ayx，直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界 . 解：设圆周与x轴和直线xy的交点分别为A和B，于是原式22xyOAABBOeds在直线OA上dxdsy,0得1022aaxOAyxedxedse在圆周AB上令40 ,sin,cosayax得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页个人收集整理仅供参考学习38 /
3、 6 4)()(402222aaAByxeadyxedse在直线BO上dxdsxy2,得12220222aaxBOyxedxedse所以原式2)42(aea32Ly ds，其中L为摆线的一拱)sin(ttax，)cos1 (tay（20t）. 解：原式15256)cos1(22)()()cos1(23002532222adttadtyxta高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一选择题1设L以)1 , 1(，) 1 ,1(，)1, 1(，)1, 1 (为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则22Lx dyy dxD （A）1 （B）2 （C）4 （ D）0文档
4、收集自网络，仅用于个人学习2设L是抛物线)11(2xxy,x增加的方向为正向，则Lxds和Lxdyydx A （A）32, 0（B）0,0（C）32,85（D）0 ,85二填空题1设设L是由原点O 沿2xy到点 A) 1 , 1(，则曲线积分()Lxy dy612设L是由点)1, 1(A到)1 , 1(B的线段，则22(2)(2)Lxxy dxyxy dy= 32. 三计算题1设L为取正向圆周222ayx，求曲线积分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页个人收集整理仅供参考
5、学习39 / 6 解：将圆周写成参数形式)20( ,sin,cosayax，于是原式daaaaaacos)cos4cos()sin()sin2sincos2(202222322233220224aaaad(cos sinsin)(coscos)22a2设L是由原点 O 沿2xy到点 A)1 , 1(，再由点A 沿直线xy到原点的闭曲线，求arctanLydydxx解：11021OAyIdydxxxdxxarctan(arctan)21022xxxxxarctanarctan41)11(arctanarctan012dxdxdyxyIAO所以原式12211244II3计算()()Lxy dxyx
6、 dy，其中L是：（1）抛物线xy2上从点（ 1，1）到点（ 4， 2）的一段弧；（2）从点（ 1，1）到点（ 4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（ 1， 2） ，然后再沿直线到点（4，2）的折线 . 解： （1）原式334)2()(2)(21232212dyyyydyyyyyy（2）过（ 1，1） ， （4，2）的直线方程为dydxyx3,23所以原式11)410()22()24(32121dyydyyy（3）过（ 1，1） ， （1，2）的直线方程为21 ,0,1ydxx所以21)1(211dyyI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
7、- - - -第 3 页，共 6 页个人收集整理仅供参考学习40 / 6 过（ 1，2） ， （4，2）的直线方程为41 ,0,2xdyy所以227)2(412dxxI于是原式1421II4 求222()2,Lyz d xy z d yxdz其中L为曲线)10(,32ttztytx按参数增加的方向进行 . 解：由题意，原式1010464664351)23(34)(dtttdttttt高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第三节格林公式及其应用一选择题1设曲线积分4124(4)(65)ppLxxydxxyydy与路径无关，则p C（A）1 （B）2 （C）3 （ D）4文档收集自
8、网络，仅用于个人学习2已知2)()(yxydydxayx为某函数的全微分，则a D（ A）1（B）0 （C）1 （D）2文档收集自网络，仅用于个人学习3设L为从)21, 1(A沿曲线22xy到点)2,2(B的弧段，则曲线积分222Lxxdxdyyy= D（A）3（B）23（C）3 （D）0文档收集自网络，仅用于个人学习二填空题1 设L是 由 点)0,0(O到 点)1 , 1(A的 任 意 一 段光 滑 曲 线 ， 则 曲 线 积 分Ldyyxdxyxy22)()21(342 设曲线L为圆周922yx，顺时针方向，则2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy18精选学习资料 - - - - -
9、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页个人收集整理仅供参考学习41 / 6 三计算题13222(2cos )(12 sin3)LIxyyx dxyxx ydy，其中L为在抛物线22xy上从点)0,0(到) 1 ,2(的一段弧。解：设,cos2),(23xyxyyxP,3sin21),(22yxxyyxQ并且把)0,2(，)1 ,2(两点分别记为BA,于是AOBALAOBAdyyxxydxxyxyI)3sin21()cos2(2223因为xyxyxQyPcos262，所以由格林公式得0)3sin21()cos2(2223AOBALdyyxxydxxyxy
10、于是ABOAdyyxxydxxyxyI)3sin21()cos2(2223322221202212312344ABxyyx dxyxx ydyyydy(cos )(sin)()322220212300OAxyyx dxyxx ydydx(cos )(sin)所以24I2证明(3,4)2322(1,2)(6)(63)xyydxx yxydy与路径无关并计算其积分值证明：设,6),(32yxyyxP,36),(22xyyxyxQ因为xQyxyyP2312，并且连续，所以该积分与路径无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页
11、个人收集整理仅供参考学习42 / 6 分别记)2, 1(，)2,3(，)4,3(为CBA,因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。即，原式3 223221 2663xyy dxx yxy dy( , )( , )()()3 423223 2663xyy dxx yxy dy( , )( , )()()42231236)6(9)13(8dyyydxx。3设)(uf是u的连续可微函数，且40( )0f u duA，L为半圆周22xxy，起点为原点，终点为)0, 2(，求22()()Lf xyxdxydy解：设22P x yxfxy(,)(),22Q x yyf xy( ,)(),因为222PQxyfxyyx()，所以该积分与路径无关。若记)0,2(),0,0(分别为AO,则原积分 =OAydyxdxyxf)(2222040122f xxdxf u duA()( )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
