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1、学习好资料欢迎下载双曲线练习1、已知 m,n为两 个不相等的非零实数,则方程mx y+n=0 与 nx2+my2=mn所表示的曲线可能是() A B C D 2、已知椭圆 E:(ab0)与双曲线 G :x共焦点, F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是椭圆 E与双曲线 G的一个交点, O为坐标原点,PF1F2的周长为 4(1)求椭圆 E的方程;(2)已知动直线 l 与椭圆 E恒有两个不同交点A,B,且,求OAB 面积的取值范围3、点为双曲线的右焦点,点 P为双曲线左支上一点,线段 PF与圆相切于点 Q ,且,则双曲线的离心率等于 () A B C D2 精选学习资料 - - - - - - -
2、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页学习好资料欢迎下载4、过双曲线的左焦点 F作圆 x2y2的切线,切点为 E,延长 FE交双曲线右支于点P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为_ 5、已知双曲线=1 (bN*)的两个焦点 F1,F2,点 P是双曲线上一点,|OP| 5,|PF1| ,|F1F2| ,|PF2| 成等比数列,则双曲线的离心率为() A 2 B 3 C D6、过双曲线的左焦点,作圆的切线, 切点为 E, 延长 FE交双曲线右支于点 P, 若,则双曲线的离心率为 A. B C. D7、如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线 与双曲线的左右
3、两支分别交于点、. 若为等边三角形, 则双曲线的离心率为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页学习好资料欢迎下载4 8、过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为 M ,延长交曲线于点 N,其中有一个共同的焦点,若,则曲线的离心率为()A. B. C. D.9、已知双曲线的左,右焦点分别为,过点的直线与双曲线的右支相交于,两点,且点的横坐标为,则的周长为A B C D10、已知双曲线上一点,过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B两点,记直线 AC 、BC的斜率分别为,当最小时,双曲线离心率为精选学习资料 - - -
4、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页学习好资料欢迎下载11、已知抛物线 y= x2与双曲线x2=1(a0)有共同的焦点F,O为坐标原点, P在 x 轴上方且在双曲线上,则?的最小值为()A 23 B 3 2 C D12、已知双曲线 C:=1(a0,b0),F1、F2分别是它的左、右焦点,A(1,0)是其左顶点,且双曲线的离心率为e=2设过右焦点 F2的直线l 与双曲线 C的右支交于 P、Q两点,其中点 P位于第一象限内(1)求双曲线的方程;(2)若直线 AP 、AQ分别与直线 x= 交于 M 、N两点,求证: MF2NF2;(3)是否存在常数
5、 ,使得 PF2A=PAF2恒成立?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由13、无论为任何实数,直线与双曲线恒有公共点。(1)求双曲线的离心率的取值范围;(2)若直线经过双曲线的右焦点与之交于两点,并且满足, 求双曲线的方程。14、如图,双曲线 C:=1(a0,b0)的左、右焦点 F1(c,0)、F2(c,0),A为双曲线 C右支上一点,且 |AF1|=2c ,AF1与 y 轴交于点 B,若 F2B是AF2F1的角平分线,则双曲线C的离心率是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页学习好资料欢迎下载 A B 1+
6、C D15、设双曲线(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设 O为坐标原点, 若,则该双曲线的离心率为 () ABCD16、已知椭圆的离心率为,双曲线与椭圆有相同的焦点,M是两曲线的一个公共点,若,则双曲线的渐近线方程为()A B C D17、 双曲线的中心在原点, 焦点在 x 轴上,若的一个焦点与抛物线:的焦点重合,且抛物线的准线交双曲线所得的弦长为 4,则双曲线的实轴长为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页学习好资料欢迎下
7、载A6 B 2 C D18、已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于,两点,且点的坐标为,点是椭圆上异于点,的任意一点,点满足,且,三点不共线 . (1)求椭圆的方程;(2)求点的轨迹方程;(3)求面积的最大值及此时点的坐标 . 19、设分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A B C D20、已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 2
8、0 页学习好资料欢迎下载答案1、C 2、(I )由双曲线 G :知 F1(2,0),F2(2,0),可得在椭圆 E:中有 c=2,又PF1F2的周长为 4+4,可得 |PF1|+|PF2|=4=2a,b2=a2c2,解出即可(II )当直线 l 的斜率存在时,其方程可设为y=kx+m ,A (x1,y1),B (x2,y2),与椭圆方程联立可得:( 1+2k2)x2+4kmx+2m28=0,则 0,可得( 8k2m2+4)0,要使,需使 x1x2+y1y2=0,可得 3m28k28=0,而原点到直线 l 的距离 d=,又|AB|=,对 k 分类讨论即可得出取值范围,利用SOAB=,即可得出解:
9、( I )由双曲线 G :知 F1(2,0),F2(2,0),在椭圆 E:中有 c=2,又PF1F2的周长为 4+4,|PF1|+|PF2|=4=2a,a=2,b2=a2c2=4,椭圆 E的方程为,(II )当直线 l 的斜率存在时,其方程可设为y=kx+m ,A (x1,y1),B (x2,y2),解方程组,得( 1+2k2)x2+4kmx+2m28=0,则=16k2m24(1+2k2)(2m28)=8(8k2m2+4)0,即(8k2m2+4)0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页学习好资料欢迎下载x1+x2=,
10、要使,需使 x1x2+y1y2=0,即+=0,3m28k28=0,8k2m2+40 对于 kR恒成立,而原点到直线 l 的距离 d=,d2= ,d=,同时有=,|AB|=,当 k0 时,|AB|=,12,|AB| 2,当且仅当 k=时取” =”当 k=0 时,|AB|=当直线 l 的斜率不存在时,直线为x=与椭圆=1的两个交点为或满足,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页学习好资料欢迎下载此时|AB|=,综上, |AB| 的取值范围为,SOAB=|AB| 因此 SOAE3、C 4、5、 通过等比数列的性质和双曲线的定
11、义,余弦定理推出:|OP|2=20+3b2 利用|OP|5,bN ,求出 b 的值,求出 c,再由离心率公式计算即可得到解:由题意, |PF1| 、|F1F2| 、|PF2| 成等比数列,可知, |F1F2|2=|PF1|PF2| ,即 4c2=|PF1|PF2| ,由双曲线的定义可知 |PF1| |PF2|=4 ,即|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|=16,可得|PF1|2+|PF2|28c2=16设POF1=,则 POF2=,由余弦定理可得: |PF2|2=c2+|OP|22|OF2|OP|cos (),|PF1|2=c2+|OP|22|OF1|OP|cos ,|PF2|2+P
12、F1|2=2c2+2|OP|2,由化简得: |OP|2=8+3c2=20+3b2因为|OP| 5,bN ,所以 20+3b225所以 b=1c=,即有 e= =故选: D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页学习好资料欢迎下载6、C 7、B 8、解析:设双曲线的右焦点为F2,则 F2的坐标为( c,0)因为曲线 C1与 C3有一个共同的焦点,所以y2=4cx ,因为 O为 F1F2的中点, M为F1N的中点,所以 OM 为NF1F2的中位线,所以 OM PF2, 因为|OM|=a, 所以|NF2|=2a 又 NF2NF
13、1, |FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设 N (x, y) , 则由抛物线的定义可得x+c=2a,x=2a-c ,过点 F 作 x 轴的垂线,点 N到该垂线的距离为2a ,由勾股定理y2+4a2=4b2,即 4c(2a-c )+4a2=4(c2-a2),得 e2-e-1=0 ,e=故选: D 9、根据题意得 PQ x 轴,则,解得,, 则的周长为,故选 D. 【思路点拨】根据题意得,是以 PQ为底边的等腰三角形,由勾股定理及双曲线的定义求得,进而求得的周长 . 10、解析:设 A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点 A,B为过原点的直线与双曲线的交点,由双曲线的对称性得A,B关
14、于原点对称,B(x1,y1),k1k2=?=,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页学习好资料欢迎下载点 A,C都在双曲线上,=1,=1,两式相减,可得: k1k2=0,对于=+ln|k1k2| ,函数 y= +lnx (x0),由 y=+ =0,得 x=0(舍)或 x=2,x2 时,y0,0x2 时,y0,当 x=2 时,函数 y= +lnx (x0)取得最小值,当+ln (k1k2)最小时, k1k2=2,e=故答案为:11、解:抛物线 y= x2的焦点 F为(0,2),则双曲线x2=1 的 c=2,则 a2=3
15、,即双曲线方程为=1,设 P(m ,n),(n),则 n23m2=3,则?=(m ,n)?(m ,n2)=m2+n22n=1+n22n =2n1= (n )2 ,12、(1)由题可知: a=1由于,可得 c=2再利用 b2=c2a2即可(2) 设直线 l 的方程为:x=ty+2 , 另设:P (x1, y1) 、 Q (x2, y2) 联立,可得根与系数的关系又直线AP的方程为,解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页学习好资料欢迎下载M同理解得 N只要证明=0即可(3)当直线 l 的方程为 x=2 时,解得 P(
16、2,3)易知此时 AF2P为等腰直角三角形,可得: =2当AF2P=2PAF2对直线 l 存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明(1)解:由题可知: a=1,c=2b2=c2a2=3,双曲线 C的方程为:(2)证明:设直线 l 的方程为: x=ty+2 ,另设: P(x1,y1),Q (x2,y2)联立,化为( 3t21)y2+12ty+9=0又直线 AP的方程为,代入 x= ,解得 M同理,直线 AQ的方程为, 代入 x= , 解得 N= +精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12
17、 页,共 20 页学习好资料欢迎下载= +=MF2NF2(3)解:当直线 l 的方程为 x=2 时,解得 P(2,3)易知此时 AF2P为等腰直角三角形,其中,也即: =2下证: AF2P=2PAF2对直线 l 存在斜率的情形也成立tan2 PAF2=1,结合正切函数在上的图象可知, AF2P=2PAF2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页学习好资料欢迎下载13、14、解:由 F2B是AF2F1的角平分线, O为 F1F2的中点,则|BF1|=|BF2| ,BF1F2=BF2F1=BF2A,设为 又|AF1|=2c
18、 ,则A=2,则A+AF1F2+AF2F1=5=180,即有=36,ABF2=2=72=A,即有|BF2|=|AF2| ,由双曲线的定义可得 |AF1| |AF2|=2a,则|AF2|=2c 2a,|AB|=2c (2c2a)=2a,由 F2B是AF2F1的角平分线,可得=,即有=,即有 ac=(ca)2,即 c23ac+a2=0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页学习好资料欢迎下载由 e= ,可得 e23e+1=0,解得 e=或,由于 e1,则 e=故选: D15、A 16、A 17、D 18、(1);(2),
19、 除去四个点,; (3),点的坐标为或. 试题分析:(1)由双曲线的顶点得椭圆的焦点,由椭圆的定义得的值,利用即可得椭圆的方程; (2) 设点, 先写出,的 坐 标 , 再 根 据 已 知 条 件 可 得,代入,化简,即可得点的轨迹方程;(3)先计算的面积,利用基本不等式即可得的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页学习好资料欢迎下载的最大值 . 试 题 解 析 :( 1 ) 解 法1 :双 曲 线的 顶 点 为, 1 分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为, 椭圆过点,得. 2 分. 3 分 椭圆的方程为. 4
20、 分解法2: 双曲线的顶点为, 1 分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为, 椭圆过点,. 2 分, 3 分由解得, . 椭圆的方程为. 4分(2)解法 1:设点,点,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页学习好资料欢迎下载由及椭圆关于原点对称可得,. 由, 得, 5分即. 同理, 由, 得. 6 分得. 7 分由于点在椭圆上, 则,得, 代入式得. 当时,有,当,则点或,此时点对应的坐标分别为或,其坐标也满足方程. 8 分当点与点重合时,即点,由得,解方程组得点的坐标为或. 同理, 当点与点重合时,可得点的坐标为或
21、. 点的 轨 迹 方 程 为, 除 去 四 个 点, ,. 9 分解法 2:设点,点,由及椭圆关于原点对称可得,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页学习好资料欢迎下载,. , 5 分. 6 分 得. (*) 7 分 点在椭圆上, ,得, 代入(*)式得,即, 化简得. 若点或, 此时点对应的坐标分别为或,其坐标也满足方程. 8 分当点与点重合时,即点,由得,解方程组得点的坐标为或. 同理, 当点与点重合时,可得点的坐标为或. 点的 轨 迹 方 程 为, 除 去 四 个 点, ,. 9 分(3) 解法:点到直线的距离
22、为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页学习好资料欢迎下载的面积为10分. 11 分而(当且仅当时等号成立). 12分当且仅当时, 等号成立. 由解得或 13分的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.14分解法:由于,故当点到直线的距离最大时,的面积最大10 分设与直线平行的直线为,由消去,得,由,解得11分若,则,;若,则, 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页学习好资料欢迎下载故当点的坐标为或时,的面积最大,其值为 14分19、B 20、B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页