《2022年随机变量的数学期望与方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年随机变量的数学期望与方差（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第 9 讲 随机变量的数学期望与方差教学目的 ：1. 掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2. 熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点：1随机变量的数学期望2随机变量函数的数学期望3数学期望的性质4方差的定义5方差的性质教学难点： 数学期望与方差的统计意义。教学学时： 2 学时。教学过程：第三章随机变量的数字特征3.1 数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在
2、对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。1离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义 X取值的平均值呢？若统计 100 天，32 天没有出废品， 30 天每天出一件废品， 17 天每天出两件废品，21 天每天出三件废品。这样可以得到这100 天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320这个数能作为 X取值的平均值吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，
3、共 8 页2 可以想象，若另外统计100 天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的 100 天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27。对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是,21xx， 相应的概率为,21PP，则对 X 作一系列观察 (试验)所得 X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现kx的频率会接近于KP，于是试验值的平均值应接近1kkkpx由此引入离散随机变量数学期望的定义。定义 1 设 X是离散随机变量，它的概率函数是,2, 1,)()(kPxXPxpKKk如果1|kkkpx收敛，定义 X的数学期望为1)(kkkpxX
4、E也就是说 , 离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例 1某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。解设试开次数为 X，则nkXp1)(，n,2,1k于是nknkXE11)(2)1(1nnn21n2. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X 是连续随机变量，其密度函数为)(xf，把区间),(分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量 X落在任意小区间,(dxxx内的概率，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
5、 - - - - -第 2 页，共 8 页3 )(dxxXxp=dxxxdxtf)(dxxf)(由于区间,(dxxx的长度非常小，随机变量X 在,(dxxx内的全部取值都可近似为x，而取值的概率可近似为dxxf)(。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。定义 2 设 X是连续随机变量，其密度函数为)(xf。如果dxxfx)(|收敛，定义连续随机变量X的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说 , 连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若),(baUX，即 X服从),(ba上的均匀分布 , 则2)(baXE若 X服从参
6、数为的泊松分布，则)(XE若 X服从则),(2N)(XE3. 随机变量函数的数学期望设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是随机变量X 的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说)(Xg的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。一种方法是，因为)(Xg也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来。一旦我们知道了)(Xg的分布，就可以按照数学期望的定义把)(XgE计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数)(Xg的分布，一般是比较复杂的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共
7、8 页4 那么是否可以不先求)(Xg的分布， 而只根据 X的分布求得)(XgE呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设 X是一个随机变量，)(XgY，则连续离散XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1当 X是离散时 ,X的概率函数为,2, 1,)()(kPxXPxPKKk；当 X是连续时， X的密度函数为)(xf。该公式的重要性在于，当我们求E g(X) 时, 不必知道 g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。4. 数学期望的性质（1）设 C是常数，则 E(C)=C 。（2）若 k 是常数，则 E(kX)=kE( X) 。（3
8、）)E(X)E(X)XE(X2121。推广到 n 个随机变量有niiniiXEXE11)(。（4）设 X、Y相互独立，则有E( XY )=E( X)E( Y) 。推广到 n 个随机变量有niiniiXEXE11)(5. 数学期望性质的应用例 2求二项分布的数学期望。解若),(pnBX，则 X表示 n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求 X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i =1,2， n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 则nXXXX21，因为PXPi)1(，qPXPi1)0(所
9、以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(可见，服从参数为n 和 p 的二项分布的随机变量X的数学期望是 np 。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。例 3设随机变量 X服从柯西分布 , 概率密度为xxfx,)()1(12求数学期望)(XE。解依数学期望的计算公式有dxXExx112)(因为广义积分dxxx12不收敛，所以数学期望)(XE不存在。3.2 方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我
10、们要学习的方差的概念。1. 方差的定义定义 3 设随机变量 X的数学期望)(XE存在，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE (3.1) 为随机变量 X的方差，记作)(XD，即)()(2XEXEXD。方差的算术平方根)(XD称为随机变量 X的标准差，记作)(X，即)()(XDX由于)(X与 X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方
11、差较大。若方差)(XD=0，则随机变量 X 以概率 1 取常数值。由定义 1 知，方差是随机变量X的函数2)()(XEXXg的数学期望，故连续时当离散时当XdxxfXExpXExXDkkkk,)()(X,)()(212当 X离散时 , X的概率函数为,2, 1,)()(kPxXPxPKKk；当 X连续时， X的密度函数为)(xf。计算方差的一个简单公式：22)()()(XEXEXD证22222)()()()(2)()(XEXExEXXEXEXEXEXD请用此公式计算常见分布的方差。例 4 设随机变量 X服从几何分布，概率函数为1)1(kkppP, k=1,2, , n其中 0p1，求)(XD。
12、解记 q =1-p 11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qqpp11122)(kkpqkXE)1(1111kkkkkqqkkp1)(kkqqp+E( X) pqqqp1)1(pqqp1)1 (23ppq122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 22)()()(XEXEXD22pp21p21pp2. 方差的性质（1）设 C是常数 , 则 D(C)=0。（2）若 C是常数 , 则)()(2XDCCXD。（3）若 X 与Y 独立，则)()()(YDXDYXD。证 由数学期望的性质及求方差的公式得)()
13、()()()()()()(2)()()()(2)()()()(2)()()(2222222222222YDXDYEYEXEXEYEXEYEXEYEXEYEXEYExEXYYXEYXEYXEYXD可推广为：若1X,2X，nX相互独立，则niiniiXDXD11)(niiiniiiXDCXCD121)(（4） D( X)=0 P( X= C)=1， 这里 C =E( X)。请同学们思考当X 与Y 不相互独立时，?)(YXD下面我们用例题说明方差性质的应用。例 5二项分布的方差。解 设),(pnBX, 则 X表示 n 重贝努里试验中的“成功” 次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i =
14、1,2， n 则niiXX1是 n 次试验中“成功”的次数，ppqXEi10)(，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 )1 ()()()(222ppppXEXEXDiii，1,2,inL由于nXXX,21相互独立，于是niiXDXD1)()(= np(1- p )。例 6 设随机变量 X的数学期望)(XE与方差)()(2XXD都存在，0)(X, 则标准化的随机变量)()(*XXEXX证明0)(*XE,1)(*XD。证由数学期望和方差的性质知_()*()()*()22()()0()()()()1()()XE XXXE XXE XE XE XEXD XE XD XD XDXX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
