《2022年排列组合知识总结+经典题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年排列组合知识总结+经典题型（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(1)知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有 m1 种有不同的方法，在第2 类中有 m2 种不同的方法在第 n 类型有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒： 分类计数原理与 “ 分类 ” 有关，要注意 “ 类” 与“ 类” 之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与 “ 分步 ” 有关，要注意“ 步” 与“ 步” 之间具有的相依性和连续性，
2、应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3排列：从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 4排列数：从n 个不同元素中取出m(m n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号表示. 5排列数公式：特别提醒：（1）规定 0! = 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页（2）含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有
3、k 个不同元素 a1，a2, .an其中限重复数为n1、n2nk ，且 n = n1+n2+ nk , 则 S 的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如： 数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 6组合：从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 7组合数公式：8两个公式：特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素 . 区别：前者是 “ 排成一排 ” ， 后者是 “ 并成一组 ” ， 前者有顺序关系，后者无顺序关系 .(2)典型例题考点一 :排列问题例 1.六人按下列要
4、求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 考点二 :组合问题例 2. 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各1 人.选派5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3 名，女运动员2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员. 考点三 :综合问题例 3.4 个不同
5、的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从 5 名男医生、4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 种B.80 种C.100 种D.140 种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只
6、能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种3.从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48 B.12 C.180 D.1624.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学， 2 名女同学。若从甲、 乙两组中各选出2 名同学， 则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6 B.12
7、 C.30 D.366.用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324 B.328 C.360 D.6487.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A.85 B.56 C.49 D.28精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18 B.24 C.30 D.309.3 位男生和 3 位女
8、生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360 B.288 C.216 D.96 参考答案：例 1 解：（ 1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1 个，有种站法， 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5 个人中选 2个人站，有种站法，然后中间4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作
9、为一个“ 整体” ，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页方法二：先把甲、乙以外的4 个人作全排列，有种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“ 插空法 ” ，第一步先让甲、乙以外的4 个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种站法，故共有站法为也可用 “ 间接法 ” ，6 个人全排列有
10、种站法，由（ 2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有. （4）方法一：先将甲、乙以外的4 个人作全排列，有种，然后将甲、 乙按条件插入站队， 有种，故共有站法. 方法二： 先从甲、 乙以外的 4 个人中任选2 人排在甲、 乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2 人看作一个 “ 大” 元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有站法 . （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法. 方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4 个位置，由剩下的4
11、 人去站，有种站法，由分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页步乘法计数原理共有站法. （6）方法一： 甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有站法. 例 2 解（1）第一步：选3 名男运动员，有种选法 . 第二步：选2 名女运动员，有种选法 . 共有种选法 . （2）方法一至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男，4 女 1
12、男. 由分类加法计数原理可得总选法数为. 方法二“ 至少 1名女运动员 ” 的反面为 “ 全是男运动员 ” 可用间接法求解 . 从 10人中任选 5 人有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 所以“ 至少有 1 名女运动员 ” 的选法为. （3）方法一：可分类求解：“ 只有男队长 ” 的选法为；“ 只有女队长 ” 的选法为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页“ 男、女队长都入选 ” 的选法为；所以共有种选法 . 9分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法 . 其中不选队长的方法有种.所以 “ 至少 1
13、名队长 ” 的选法为种. 9 分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法 .不选女队长时， 必选男队长，共有种选法 .其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法 . 所以既有队长又有女运动员的选法共有种. 例 3 解（1）为保证 “ 恰有 1 个盒不放球 ” ，先从 4 个盒子中任意取出去一个， 问题转化为 “4个球，3 个盒子， 每个盒子都要放入球，共有几种放法？” 即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有（2）“ 恰有 1 个盒内有 2 个球 ” ，即另外 3 个
14、盒子放 2 个球，每个盒子至多放1 个球， 也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒， 因此，“ 恰有 1 个盒内有 2 个球 ” 与“ 恰有 1 个盒不放球 ” 是同一件事，所以共有 144种放法 . （3）确定 2 个空盒有种方法 . 4 个球放进 2 个盒子可分成（ 3，1）、（ 2，2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页方法 . 故共有种. 当堂检测答案1.从 5 名男医生、4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队
15、方案共有（）A.70 种B.80 种C.100 种D.140 种解析：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1 人入选，先从两人中选1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（ 2）小张和小赵都入选，首先安排
16、这两个人，然后再剩余的3 人中选 2 人排列有种方法。共有 24+12=36 种选法。解题策略： 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页3.排列、组合混合问题先选后排的策略。3.从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48 B.12 C.180 D.162 解析：分为两大类： （1）含有 0，分步 1，从另外两个偶数中选一个，种方法， 2.从 3 个奇数中选两个，有种方法； 3.给 0安排一个位置，
17、只能在个、十、百位上选，有种方法； 4.其他的 3 个数字进行全排列， 有种排法，根据乘法原理共种方法。（ 2）不含 0，分步，偶数必然是2，4 ；奇数有种不同的选法，然后把4 个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略： 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3.排列、组合混合问题先选后排的策略。4.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学， 2 名女同学。若从甲、 乙两组中各选出2 名同学， 则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种解析： 4 人中恰
18、有 1 名女同学的情况分为两种，即这1 名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页解题策略：合理分类与准确分步的策略。5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6 B.12 C.30 D.36 解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同， 可以让甲选两门有种选法，然后乙从剩余的两门选，有种不同的选法，全不相同的选法是种方法， 所以至少有一门不相同的选法
19、为种不同的选法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。6.用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648解析：第一类个位是零，共种不同的排法。第二类个位不是零，共种不同的解法。解题策略：合理分类与准确分步的策略. 7.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A.85 B.56 C.49 D.28 解析：合理分类，甲乙全被选中，有种 选 法，甲乙有一个被选中，有种不同的选法，共+=49 种不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
20、- - - - - - -第 11 页，共 14 页的选法。解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略，（2）合理分类与准确分步的策略. 8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18 B.24 C.30 D.30 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进行全排列共种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共种不同的排法。所以总的排法为种注意 : 这里有一个分组的问题， 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究，这里不再详
21、述。解题策略：1.正难则反、等价转化的策略2.相邻问题捆绑处理的策略3.排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360 B.288 C.216 D.96 解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3 个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排
22、列，有中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有种不同的排法，共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其他两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法。 共种不同的排法，故总的排法为种不同的方法。本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页（6）不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题， 判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加， 要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析， 设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
