《2022年数学复习课教案 2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学复习课教案 2（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编精品教案第三章、三角函数第一节、三角函数的基本概念教学目标：1、理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。教学重点：三角函数的定义。教学难点：角的推广及弧度制的引入。考点一：角的概念1、角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。旋转开始时的射线叫叫的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫角的顶点。2、角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。3 、 终 边 相 同 的 角
2、： 所 有 与 角终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角在 内 ， 可 以 构 成 一 个 集 合ZkkS,3600，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。4、深化：在直角坐标系内讨论角，要使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。正确理解：锐角、第一象限角、小于090的角，注意它们之间的区别与联系。考点二：角的度量1、角度制：规定周角的3601为 1 度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。2、弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的
3、角。弧度的单位符号是”“rad，读作弧度。3、公式：（1）角度与弧度的互化公式：radradradrad01745.01801 ,180,2360000，/000185730.571801rad（2）扇形的弧长、面积公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页名师精编精品教案3602121,18022rnrlrSrnrl4、深化：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。角的概念推广之后，无论是用角度制表示还是用弧度制表示，都能在角的集合与实数集R 之间建立一个一一对应关系，每一个角都有唯一的一
4、个实数和它对应；反之，每一个实数，也都有唯一的一个角与之对应。在同一个角的表示之中，不能同时出现角度和弧度。考点三：任意角的三角函数1、三角函数的定义：设是任意一个角，在角的终边上任取一点P（除端点），设其坐标为), yxP（，它与原点的距离为)0(2222yxyxrr，那么我们称比值ry叫做角的正弦，记作rysin,sin即；比值rx叫做角的余弦，记作rxcos,cos即；比值xy叫做角的正切，记作xytan,tan即；比值yx叫做角的余切，记作yxcot,cot即；比值xr叫做角的正割，记作xrsec,sec即；比值yr叫做角的余割，记作yrcsc,csc即。正弦、 余弦、 正切、 余切、
5、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角作为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。2、三角函数的定义域：Rxxy,sin；Rxxy,cos；Zkkxxxxy,2,tan3、三角函数值的符号：在第一象限内，各三角函数全为正数；在第二象限内，正弦、余割的函数值为正，其余全为负；在第三象限， 正切、余切的函数值为正，其余全为负； 在第四象限内， 余弦、 正割的函数值为正，其余全为负。4、三角函数线5、深化：一个角的三角函数值与在其终边上所取的点的位置无关，只与角的大小有关，也就是说，只要角确定，上述六个比值也就确定。精选学习资料 - - - - -
6、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页名师精编精品教案例题讲解：例 1、已知01690。 （ 1）把写成k2的形式，其中2, 0,Zk；（2）求，使与的终边相同，其中2,4。解： （1）角的弧度数为18258181681690180，其中2 ,01825所以，182524，其中1825, 4k（2）由上可知，与角终边相同的角可以表示为Zkk,18252由)(2182524Zkk，解得2k184718254例 2、写出下列角的集合： （1）终边在y 轴上的角的集合（用003600 到的角表示）；（2）终边在第一、三象限平分线上的角的集合。解： （1）在
7、003600 到范围内，终边在y 轴上的角有两个，即00270,90角，因此，所有与090角终边相同的角构成集合ZkkZkkS,180290,3609000001而所有与0270角终边相同的角构成集合ZkkZkkS,180) 12(90,36027000002于是终边在y 轴上的角的集合ZnnSSS,180900021（2）仿照（ 1） ，有终边在第一、三象限角平分线上的角的集合ZnnxxZkkxxZkkxxS,4,452,42例 3、 （1）如果为第一象限角，试问2为第几象限的角？（2）设为第二象限的角，试问：,分别是第几象限的角？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
8、结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页名师精编精品教案解： （1）为第一象限角，Zkkk,222Zkkk,42，当 k 为偶数时，2在第一象限；当k 为奇数时，2在第三象限，因此，2是第一或第三象限角。（2）为第二象限角，)(22Zkkk)(222Zkkkk是整数，为第三象限角)(222Zkkk为第一象限角)(22232Zkkk为第四象限角。例 4、已知为第二象限角，且2tantansin，则为第几象限角。解：为第二象限角，2为一、三象限角02tantansin, 02tan又tansin 与同号，当0tan,0sin时，为第一象限角； 当时，0tan, 0sin为第四象限角。
9、综上，角为第一或第四象限角。例 5、一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大并求此扇形的最大面积。解：设扇形的半径为rcm，则弧长为cmrl)220(，扇形的面积25)5()220(212rrrS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页名师精编精品教案当2,105rllr时，（弧度）故当2弧度时，)(252maxcmS扇形也可用基本不等式求解：25210)10()220(212rrrrrrS当且仅当cmrrr510，即时上式取等号。例 6、已知扇形OAB 的中心角为4 弧度，其面积为2 平
10、方厘米，求扇形周长和弦AB 的长。解：设AmB长为rOAl,，221,21lrlrS扇形设扇形的中心角AOB的弧度数为，则4rl由上可得4, 1 lr扇形的周长为)(61242cmrl)(2sin2)2sin(2242sin2cmrrAB例 7、用定义法求060的正弦、余弦和正切值。解：设单位圆与060的角的终边交于),(yxP，则由平面几何知识得：3212360tan,21160cos,23160sin,23211,212100022xyxyyOPx例 8、求满足下列条件的角x 的集合：（1）23sin x； （2）21cosx； （3）33tan x解： （析：解题步骤：找终边、画区域、写
11、集合）（1）Zkkxkx,32342精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页名师精编精品教案（2）Zkkxkx,342322（3）Zkkxkx,62例9 、 有100 个 扇 形 ， 其 半 径 分 别 为,10021rrr且 成 等 差 数 列 ， 扇 形 所 含 圆 心 角100321,也成等差数列，公差分别为100,2 ddr，又10, 111r，求这100个扇形面积的和解：122)1(1)1(1nndnrrrn)9(100100)1(10) 1(1nndnn)935324(200)9(100)1221212322
12、nnnnnrSnnn（从而，）913513214(2002310021SSS)923523224(20023)910035100321004(2002310091002135100213210021420022233390021011003520510110061321011004142002208.564383知识运用：第二节、同角三角函数关系式及诱导公式教学目标：1、掌握同角三角函数基本关系式：1cottan,tancossin,1cossin22；2、掌握正弦、余弦的诱导公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33
13、页名师精编精品教案教学重点：同角三角函数的基本关系式和诱导公式。教学难点：三角公式的运用。考点一：同角三角函数的基本关系式1、关系式：（1）平方关系：1cossin22；22cos1tan1；（2）商数关系：tancossin；（3）倒数关系：1cottan2、变形：22cos1sin，tancossin，cot1tan，22sin1cos。3、深化：（1）正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角”那么基本关系式就成立，不拘泥于“角的形式”，如：14cot4tan, 14cos4sin22等都是成立的，但1cossin22就不一定成立。（2）在应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在
14、的象限，进一步确定三角函数值的符号。（3）同角三角函数的基本关系式及其等价形式，对于使等式两边都有意义的角来说都成立，也就是说在角自变量允许的范围内，不论角取什么值等式都成立，所以它们都是三角恒等式。（4）注意三个式子之间的关系：cossin,cossin,cossin考点二：诱导公式1、公式：公式一：tan)2tan(,cos)2cos(,sin)2sin(kkk，其中Zk；公式二：coscos,sin)sin(；公式三：cos)cos(,sin)sin(；公式四：cos)cos(,sin)sin(；公式五：cos)2cos(,sin)2sin(。2、深化：（1）五组诱导公式可概括为：奇变偶
15、不变，符号看象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页名师精编精品教案（2）诱导公式的作用是把任意角的三角函数化为锐角的三角函数，从中体现了化归思想。例题讲解：例 1、已知,0,51cossin，求tan的值。解：51cossin，251cossin21,251)cos(sin2即2512cossin0cos,0sin, 0，0cossin,2且5725241cossin21cossin34cossintan,53cos,54sin例 2、已知cos)cot()2sin(,21)sin(求的值。解：21sin,21s
16、in)sin(cos)sin()cos(sincos)cot(sincos)cot()2sin(2sin1sincossinsincossin222注： （1）已知一个角的某个三角函数值，求该角的其它三角函数值，如果这个角所在的象限确定，此类情况只有一组解；如果角所在的象限不确定，解题时首先根据已知的三角函数值确定这个角可能所在的象限，然后分不同的情况求解；如果这个角的某个三角函数值是用字母给出的，这时就根据条件及角在各个不同的象限分别求解，此种情况一般有两组解。（2）由已知条件求一个三角表达式的值，一般是先利用公式将表达式化简，然后再把已知条件代入；如果已知条件也比较复杂就需要对其先化简然后
17、再应用。需要指出的是不论条件化简还是结论式化简，都必须是恒等变形。例 3、化简：6644sincos1sincos1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页名师精编精品教案解：原式 =32)sin(cossincos3sincos2cossin)cos(sinsincos)cos(sin2222226632244222例 4、化简：)cos(1sin1cos)sin(kkkk。解：法一（对k 分奇数和偶数讨论）当 k 为偶数时，记Znnk,2原式1cossincossincossincossin2cos12sin12c
18、os)2sin(nnnn当 k 为奇数时，记12nk，Zn原式1cossincossincossincossin12cos112sin112cos12sinnnnn注： （1）利用同角三角函数基本关系式化简三角表达式除从正面直接利用公式外，还要特别注意公式的逆用以及变形应用，常用到的两个技巧为：一是“1”的代换，二是“弦切互化”。（2）用诱导公式化简三角表达式一般从正面直接应用公式进行化简，在此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号。例 5、求证：sintansintansintansintan。证明：左边cos1sincostantansintan右边cos1sincos1sinsinco
19、s1sincos1sincos1sintancostantan22左边右边，原等式成立。例 6、已知：2cos2sin。求证：53sincos32cos5sin。证明：2cos2sin，cos2sin，即cos2sin左边53cos2cos3cos5cos2sincos3cos5sin右边53sincos32cos5sin注：三角恒等式的证明方法灵活多样，可总结如下: (1)从一边开始直接推证得它等于另一边，一般地如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法，即由繁到简。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页名师精
20、编精品教案（2）左右归一法，即将所证恒等式左右两边同时推导变形，直接推得左右两边都等于同一个式子。（3）比较法，即设法证明“左边右边0”或“1右边左边” 。（4）分析法，从被证的等式出发，逐步地探求使等式成立的充分条件，一直到已知条件或显然成立的结论为止，就可以判断原等式成立。例 7、是否存在,0,2,2，使等式cos2cos3,2cos23sin同时成立？若存在，求出,的值；若不存在，说明理由。解：由条件得cos2cos3sin2sin，两式平方相加得2cos3sin2222sin2,2，44或当4时，代入可得6。当4时，代入求不出满足条件的的值。综上所述，存在6,4满足条件。知识运用：第三
21、节、两角和与差的三角函数教学目标：1、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页名师精编精品教案教学重点：掌握三角公式。教学难点：运用公式解决有关问题。考点一、两角和与差的正弦、余弦、正切1、两角和与差的余弦sinsincoscoscos,sinsincoscoscos2、两角和与差的正弦：sincoscossinsin,sincoscossinsin3、两角和与差的正切：tantan1tantantan,tantan1tantantan4、
22、诱导公式六：cos2sin,sin2cos5、深化：（1）两角和与差的三角函数公式，其内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”。不同角的三角函数关系式使用起来与同角的三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养。（2）两角和的余弦公式是整个三角变换的基础，其它和角、差角以及倍角公式都是通过对此公式中的角进行不同的变换整理而得。（3）和（差）角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是和（差）角公式的特例。（4）注意各个公式成立的条件，特别是两角和与差的正切公式。（5）明确各公式的结构特征，在应用时应注意
23、公式的逆用或变形应用。考点二：二倍角的正弦、余弦、正切1、二倍角的正弦：cossin22sin2、二倍角的余弦：2222sin211cos2sincos2cos3、二倍角的正切：2tan1tan22tan4、深化：（1）二倍角公式是由两角和公式中令得出，注意公式成立的条件。（2）要熟悉各种形式的两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍， 其它如4是2的二倍，42是的二倍等，所有这些都可以利用二倍角公式。（3）注意二倍角公式的变形应用与逆用，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33
24、 页名师精编精品教案证明中有广泛的应用。（4）为了计算的需要，有时要对题中涉及的角进行变换，以便能利用和、差、倍角公式进行计算，常用到的变换有：2 ,456015000等等， 在具体问题中常根据已知条件中的角与待求问题中的角的具体形式进行变换。例题讲解：例 1、求0000008sin15sin7cos8sin15cos7sin的值。解：原式000000000000000000008sin15sin8sin15sin8cos15cos8sin15cos8sin15cos8cos15sin8sin15sin815cos8sin15cos815sin3230sin30cos115sin15cos21
25、5sin15sin215cos15sin8cos15cos8cos15sin000000000000例 2、设2, 0,2,322sin,912cos其中，求cos。解：2, 0,2，2,42,4295481112cos12sin2359412sin12cos22sin2sin2cos2cos22cos2cos275795432359172923912757212cos2cos22注： （1）求三角函数式的值往往所给的角都是非特殊角，解决这类问题的思路主要有：化为特殊角的三角函数值；化为正负相消的项，消去求值；化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值。（2）解决给式（值）求值问题常注意：注意整
26、体思想在解题中的应用；要注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把“待求角”用“已知角”表示出来；要注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及到的每一个角的范围，以免出现增（失）解。例 3、化简：000040tan20tan340tan20tan。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页名师精编精品教案解：原式00000040tan20tan340tan20tan1)4020tan(340tan20tan340tan20tan330000例 4、已知xxxf11)(，若,2，则_)cos()(cosff。解：
27、)2sin21(1)12cos2(1)12cos2(1)2sin21 (1cos1cos1cos1cos1)cos()(cos2222ff2sin22cos22cos2sin22222,42,2csc2sin2112cos2sin2cos2sin2sin22cos2cos2sin22原式注： （1）利用两角和、差的三角函数公式化简三角关系式一般多采用对公式的逆用或变形应用，因此要善于观察和分析所要化简的表达式，对比它与和、差、倍角公式结构上的相似之处，以便确定相应的公式进行化简整理。（2）如果要化简的式子中三角函数的系数出现1 和3（或2321，） 、)222 （或，则一般是将它们转化为相应特
28、殊角的三角函数，以便构造条件利用和、差、倍角公式进行化简。例 5、求证：xxxx4cos1)4cos3(2cottan22。证明：右边xxxxxxx222222cossin4)2cos1(22sin2)2cos22(22sin2)4cos12(2左边xxxxxxxxxxxx22224422222222cottancossin2)cos(sin2cossin2)sin(cos)cos(sin等式成立。例 6、已知三点)sin,(cos),sin,(cos),sin,cosCBA（。若向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 3
29、3 页名师精编精品教案),20(0)2(kkOCkOBkOA为常数且求cos的最大值、最小值及相应的k的值。解：由已知，得0sin)2(sinsin0cos)2(coscoskkkk即sin)2(sinsincos)2(coscoskkkk，两式平方相加，可得1cos)2(2)2(22kkkk2) 1(231)2(231)2(2342cos22kkkkkkk)cos(1, 20时，当kk有最小值21；又cos, 1cos故有最大值1，此时)2(231kk知识运用：第四节、三角函数的化简与证明教学目标：1、能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式的证明；2、初步体会化归思想在三角函数
30、式的化简、恒等变形和证明三角恒等式中的应用。教学重点：运用三角公式解决问题。教学难点：三角函数式的化简与证明中的技巧。例题讲解：例 1、化简：xxxx4sin2sin41sincos88。解：原式xxxxxx2cos2sin21sincossincos24444精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页名师精编精品教案xxxxxx2cos2sin21)sin(cossincos24422xxxxxxxxx2cossincos2coscossin2sincos2cos2222244例 2、化简：00050sin10cos3
31、10tan。解：原式000000000050sin10cos60cos60sin10cos10sin50sin10cos60tan10tan260cos150sin10cos60cos10cos)50sin(50sin10cos60cos10cos60sin10cos60cos10sin00000000000000注： （1）三角函数化简的基本思路为：统一函数名称，一般有弦化切与切化弦，涉及到割函数则一般化为弦函数。统一角度，即涉及到单角、倍角、半角等角时，可根据具体情况由倍角公式及其变形将角转化为同一个角。统一次数，即式子中各项的次数大小不一样时，可考虑升幂或降幂，使各项次数统一起来。（2）
32、三角函数化简的基本要求为：能求出具体值的要求算出数值；三角函数的种类要尽量减少；各项的次数应尽可能地降低；出现的项数尽可能地少；一般要使分母或根号下面不含三角函数式。例 3、求证：cossin11sectan1sectan。证明：左边cos1sincos1sincos) 1(sincos1sincos1sin1cos1cossin1cos1cossin22cossin1cossin2sin2sin21cossincos1sin2sin2222右边等式成立例 4、已知)(Znn，求证：tantantantantantan。证明：)(Znn，nntantan，即tantantan1tantanta
33、ntantantantantantantantantantantan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页名师精编精品教案注： （1）常见的三角恒等式包括无条件恒等式和由条件恒等式两种类型。对无条件恒等式的证明，多用综合法、比较法、分析法证明，一般有“化繁为简法”即从等式比较复杂的一边出发，进行变换逐步推出另一边；“左右归一法”即将等式两边同时变换、化简，得到同一个式子，从而证明等式成立；“变更论证法”即首先将原结论变形为另一等价形式，通过证明这个等价式成立，从而证得原式成立。对有条件恒等式的证明关键在于分析已知条件
34、与求证结论之间的区别与联系。一般有两种思路：一种是将条件代入求证式，再证其相等，这种方法叫做代入法；另一种是从条件式出发，作以求证式为目标的变形逐步推出求证式，这种方法叫推出法。（2）如果要证明“角角” ，则需分三步完成：先证明某同名三角函数值相等；再证明两个角在该三角函数的同一个单调区间内；最后由函数的单调性得出两个角相等。特别要注意， 前两步缺一不可。例 5、已知 A、B、C 是ABC的三个内角，)cos(cossin2cotCBAAAy。若任意交换两个角的位置， y 的值是否变化？试证明你的结论。剖析：这是探究条件变化后结论是否变化的问题。三角形中有三个角，任意两角交换位置后，本题有三种
35、情况，从结构上来看，交换B,C 两角的位置显然y 值无变化，但该结构对于角A 与角B 交换、角A 与角 C 交换并没有这么一目了然的效果。于是我们要对该结构进行变形后探究。)cos(cos()sin(2cotcoscossin2cotCBCBCbACBCBCBAy）=CBACBCBCbAcotcotcotsinsinsincoscossincot可见，任意交换两个角的位置，y 值都不变化。反思：本题采用的是猜测探究法，从角A 与角 C 交换后， y 的值无变化，便大胆地猜想角A 与角 B 交换、角A 与角 C 交换后， y 的值也无变化。而对称轮换式具有这样的性质。于是目标转化为化简y，看它是
36、否对称轮换式。大胆猜测必须小心推证。其本质上是一个对称式以部分对称或不对称的形式出现，关键是对式子结构进行变形，还其对称式的面目，故本题也可理解为是探究结构规律（特征） 。第五节、三角函数的求值教学目标：能正确运用三角函数公式及其变形，进行简单三角函数式的求值。教学重点：三角函数公式的运用。教学难点：三角函数的求值。例题讲解：题型 1、给角求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页名师精编精品教案例 1、 （1）cos30sin30sin00的值为（A）A、1；B、1； C、21；D、与有关（2）_58cos77si
37、n148cos347sin0000。22注：给角求值问题，比较简单的一类是直接利用三角公式求解，此时涉及到的角多为特殊角，较为复杂的一类是给定非特殊角求值，解决这类问题的基本思路有：（1）化为特殊角的三角函数值，此法关键在于找出所给非特殊角与特殊角的关系；（2）化为正负相消的项，消去非特殊角求值；（3）化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。除上面的变化外，还要注意函数名称和次数的变化，一般地， 如果待求值的三角式子中涉及弦函数、切函数以及割函数，则需要考虑“切割化弦”或“弦化切”，如果涉及到高次式则用倍角公式或其变形统一次数。题型二、给值求值例 2、已知53sin,1312cos,432，
38、求2sin的值。解：23,432为锐角，且13513121cos1sin2254531sin1cos22sincoscossinsin2sin655653131254135例 3、设471217,534cosxx，求xxxtan1sin22sin2的值。解：4tan2sintan4tan1tan4tan2sintan1tan12sintan1)cossin1 (2sintan1sin22sin2xxxxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页名师精编精品教案257153214cos2)4(2cos
39、22cos2sin22xxxx又2435,471217xx344tan x原式752834257)4tan(2sinxx注：求解给值求值问题需要注意以下几点：（1）注意整体思想在解题中的应用，例如已知,24,412sin且求sincos的值可直接把“sincos”用“2sin”表示出来而不必求出cos,sin的具体值。（2）注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，特别是相互之间的和、差、倍、半关系，灵活进行角的转化。（3）要注意条件中所给的角的范围以及所给的角的函数值对所求角的函数值的制约作用。题型三、给值求角例 4、已知1sin4tan3, 3sin4tan，且是第三象限角，是第四象限角，求
40、角,的值。解：由1sin4tan33sin4tan可得21sin1tan由,1tan是第三象限的角，得Zkk,452；由,21sin是第四象限的角，得Zkk,62。注：解决给值求角问题的要求和基本方法如下：（1）已知某个角的某个三角函数值，如果是一个特殊角则要直接写出这个角的大小。（2）如果要求解的角是由一些条件表达式给出，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定：一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数，若角的范围是2, 0，正余弦函数均可；若
41、角的范围是, 0时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页名师精编精品教案一般选余弦函数；若角的范围是2,2，则一般选正弦函数。例 5、由四个数排成2 行 2 列所得的数表称为22矩阵。例如31A42是一个22矩阵。设矩阵caAdb，geBhf。（1）若hdgcfbea,，则称矩阵A 与 B 相等，记为A=B 。（2）定义两个矩阵A 与 B 的和为gceaBAhdfb。若 已 知2t ansi nco sBAADAAcoscos，2cot1BEAAsinsin，310169109F13172a，FED，且 A,B 为
42、ABC的内角，求： （1）)cos(BA； （2）2tanBA的值。解： （1）由矩阵定义和题中条件可得2)sin(cos3102cot2tan1317cossin169109)1sincosaAABBAAAA（解得54cos53sin135cos1312sinBBAA655653131254135)cos(BA（2）BA为锐角，113)sin()cos(12tan,6533)sin(BABABABA反思：本题形式上以矩阵出现，根据矩阵定义推出四个三角等式，再依据三角恒等式、倍角公式、半角公式、万能公式等求得最后结果。本题也可将矩阵换为行列式，重新命题。知识运用：精选学习资料 - - - -
43、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页名师精编精品教案第六节、三角函数的图像和性质教学目标：1、了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数)sin(xAy的简图，理解,A的物理意义。2、会由已知三角函数值求角。3、了解周期函数与最小正周期的意义。教学重点：三角函数的图像和性质。教学难点：三角函数的图像和性质的运用。考点一、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质1、图像与性质：xysinxycosxytan图像定义域R R Zkkxx,2值域11yy11yyR 周期性最小正周期2T最小正周期2T最小正
44、周期T递增区间Zkkk22,22Zkkk2,2Zkkk2,2递减区间Zkkk232,22Zkkk2,2奇偶性奇函数偶函数奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页名师精编精品教案对称轴Zkkx,2Zkkx,对称点Zkk0 ,Zkk0,2Zkk0 ,22、深化：（1）由基本三角函数的图像可以看出，正弦曲线、 余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线，正切曲线只是中心对称曲线。（2）正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期；正弦
45、曲线、 余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点，相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着。 正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点，用平行于x 轴的直线去截正切曲线，相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期。（3）函数RxxAy,sin和函数RxxAy,cos的单调区间以及对称轴、对称中心可利用整体代换法由正弦函数、余弦函数的单调区间、对称轴、对称中心求解。考点二、函数xAysin的图像1、五点作图法：五点作图法画xAysin，0,0,ARx的图像的基本步骤是：取值、列表、描点、连线、延伸。其中“五点”是指函数一个周期内
46、的五个点，它们分别为：起点、最高点、中间点、最低点、终点。这五个点的具体找法如下表。x 222232x0 2232y 0 A 0 A0 五个点的坐标依次为0 ,2,23,0,22,0AA，. 2、图像变换法：函数xAysin，其中0,0A的图像可以用以下方法得到：先把曲线上所有的点向左（0）或向右（0）平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短1或伸长10到原来的1倍（纵坐标不变） ，再把所的图像上各点的纵坐标伸长1A或缩短10A到原来的A 倍（横坐标不变） 。经过上述变化， 可以把xysin的图像变换为)0,0)(sin(AxAy的图像。精选学习资料 - - - - - - - - -
47、名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页名师精编精品教案3、深化：（1）图像变换法有两种情形，注意它们之间的区别与联系。（2）确定函数xAysin的解析式关键是，A的确定。一般地，A 可由图像的最高点或最低点确定，可通过函数的周期2T来确定，可以用代入法确定，即把一个已知点代入函数解析式求解而得，也可以用五点作图法的五点求解。（3）当函数0, 0, 0),sin(AxxAy表示一个振动量时，A 称为这个振动的振幅， T 称为这个振动的周期，Tf1称为这个振动的频率，x称为相位，称为初相。例题讲解：例 1、用五点作图法画出函数2cos2sin3xxy的图像，并说明这个图
48、像是由xysin的图像经过怎样的变换得到的。解：62sin22cos2sin3xxxy列表如下：62x0 2232x 332353831162sin2xy0 2 0 20 在坐标系中描出相应的五点：0 ,311,2,38,0,35,2,32,0,3。用平滑的曲线将这五个点连结起来，最后将其向两端伸展一下。将xysin的图像向左平移6个单位得到6sin xy的图像， 再将6sin xy的图像上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到62sinxy的图像，再将62sinxy的 图 像 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的2 倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 即 得精选学习
49、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页名师精编精品教案62sin2xy的图像。注：作三角函数图像的方法有五点作图法和图像变换法以及三角函数线画法，其中以五点作图法和图像变换法为主。例2、设函数)10)(6tan()(),10(cos3sin)(mmxxgaaxaxxf。已知函数)(xf，)(xg的最小正周期相同，且)1 (2)1 (gf。（1）试确定)(xf，)(xg的解析式；（2）求函数)(xf的单调递增区间。解： （1）)10(3sin2)(aaxxf)(),(xgxf的最小正周期相同，ma2，即ma2又6tan23si
50、n2),1 (2) 1(magf即把6tan32sin2mmma代入得226cos06sinmm或由)(6,06sinZkkmm得，这与10m相矛盾由)(46,46,226cosZkkmkmm或得由6,1210amm得612tan)(,36sin2)(xxgxxf（2）由)(112512223622Zkkxkkxk得故)(xf的单调增区间为)(112, 512Zkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页名师精编精品教案例 3、设xxbxxacos,cos,cos,sin3，若函数mbaxf)(。（1）写出)(xf的
51、最小正周期T 及单调递增区间；（2）当3,6x时，函数)(xf的最小值为2，求此时函数)(xf的最大值，并指出x 取何值时)(xf取到最大值。解： （1）mxxxmxxxxxf2coscossin3cos,coscos,sin3)(2162sin22cos12sin23mxmxx)(xf的最小正周期为由226222kxk，得)( ,63Zkkxk)(xf的增区间是)(6,3Zkkk（2）1sin21,65626,36xxx当2162sinx时，22121,2)(minmxf即2562sin)(, 2xxfm当6,262, 162sinxxx即时，)(xf取得最大值27注： （1）求三角函数定义
52、域时既要注意一般函数求定义域时对自变量x 的限制，如分母不为零，偶次根式被开方数非负等，又要注意三角函数中正切函数等函数本身对自变量的限制。在全面考虑上述对x 的限制后，列出关于x 的最简三角不等式（组）。（2）求三角函数的值域（或最值）既与一般函数的值域（最值）求法有关，又有其自身的特点与特殊方法： 利用三角函数的有界性等；利用三角函数的增减性；利用变量替换把三角函数值域（或最值）问题转化为代数函数值域（最值）求解；利用几何模型例如斜率公式，距离公式等求解。此类问题在求解过程中要特别注意函数xx cos,sin自身的范围以及条件中角的范围。（3）判断三角函数的单调性（区间）的一般步骤：求复合
53、函数的定义域；对三角函数式化简变形，使三角函数达到“统一”标准（即一个函数名，一个角，次数为一次）；利用复合函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页名师精编精品教案数的单调性的判断方法确定函数的单调性（区间）。（ 4）求三角函数的周期的一般方法：公式法：将三角函数式化简为“xAysin，xAycos，xAytan”的形式，然后利用周期公式或TT2求解。图像法： 如果解析式中含有绝对值符号可考虑利用图像判断；定义法： 对定义域中的每一个自变量 x，先由解析式观察初步确定周期T，然后再利用定义)()(xfTxf验证。例4
54、、已知函数0,0,sinARxxAy的图像在y 轴右侧的第一个最高点为)22,2(M，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为0,6N,则这个函数的解析式为（B ）. A 、481sin22xy； B、48sin22xy； C、481sin22xy； D 、48sin22xy例 5、如图是某地一天从6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数bxAysin。（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。解：注：确定函数解析式的关键在于参数，A的确定， 其中 A：可由图像的最高 （低）点确定，或先求出，再代入已知点求解而得。：一般通过周期公式TT或2来求解，因而要求出，关键在于求出周期。
55、一般地函数的周期可以由最高点、最低点、零点的坐标或者对称轴的方程、对称中心的坐标等来求解。：代入法，即把图像上一个已知点代入求解，此时要注意这个已知点是最值点还是零点，如果是零点还要看清它是在递增区间上还是递减区间上；五点法， 即令2,23,2,0x中的某一个， 然后把相应的x 值代入即得。 注意在求的值时要看清题目条件中对的范围限制。例 6、已知函数)(325cos35cossin5)(2Rxxxxxf。（1）求)(xf的最小正周期； （2）求)(xf的单调区间； （3）求)(xf图像的对称轴，对称中心。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
56、-第 25 页，共 33 页名师精编精品教案解：32522cos1352sin25325cos35cossin5)(2xxxxxxf)32sin(5x222T单调递增区间：Zkkxk,223222，即Zkkx,12512。递减区间：ZkkxkZkkxk,1211125,2233222即所以函数的单调递增区间为：Zkkk,125,12；单调递减区间为：Zkkk,1211,125。例 7、已知函数)2,0,0)(sin()(1AxAxf的一段图像过点1 , 0，如图所示。（1）求)(1xf的表达式； （2）将函数)(1xf的图像向右平移4个单位得到函数)(2xf的图像，求)()(21xfxfy的最
57、大值，并求此时自变量x 的集合。解： （1）由图可知，函数)(1xf的周期)121(1211T，22T又0,12为函数)(1xf的图像在一个周期内五点的起点，所以0122，6此时有)62sin()(1xAxf又)(1xf的图像过点1 , 0，)602sin(1A，故2A)62sin(2)(1xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页名师精编精品教案（2）由题意，)32sin(2642sin2)(2xxxf122sin2232sin262sin2)()(21xxxxfxfy函数)()(21xfxfy的最大值为22，此
58、时Zkkx,22122即Zkkx,247，所以自变量x 的集合为Zkkxx,247注：三角函数图像和性质的综合问题一般涉及三角函数的化简、三角函数的作图、三角函数图像变换、三角函数各种性质的判断与求解等各个方面，解决这类综合问题的基本步骤是：（1）先化简，一般题设中给出的三角函数表达式比较复杂，其图像、性质等不易直接判断求解，因 而先化简，多数情况下都可以将三角函数化为xAyxAycossin或或xAytan三种标准形式之一， 其中0,0A.此外还有可能在上述标准形式后带有一个常数项，如BxAysin的形式。（2）若考察函数图像变换，则按题目要求对函数进行相位变换、周期变换、振幅变换、上下平移
59、变换，注意各种变换顺序的不同对平移大小的影响。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页名师精编精品教案第七节、解斜三角形教学目标：1、掌握三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理，并能运用它们解决三角形的有关问题；2、会用正弦定理、余弦定理解决一些简单的实际问题。教学重点：正弦定理、余弦定理。教学难点：正弦定理、余弦定理的运用。考点：1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin。推论：RCcBbAa2sinsinsin，R 为三角形外接圆的半径；CRcBRbARasin2,s
60、in2,sin2; CAcaCBcbBAbasinsin,sinsin,sinsin；BacAbcCabSsin21sin21sin21。2、余弦定理：在三角形中，任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2 倍，即CabbacBaccabAbccbacos2,cos2,cos2222222222推论：abcbaCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos2222222223、深化：（1）利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页名师精编精品
61、教案已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。（2）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题：已知两边求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。（3）三角形中常用的其它几个结论：大角对大边，大边对大角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三个内角的和为，例题讲解：例 1、在ABC中，已知,45,2,30Bba求角 A，C 和边 c 的值。解：ABCabB,904500且有两解由正弦定理，得23245sin3sinsin,sinsin0bBaABbAa即0012060 或A（1）当000007560451806
62、0CA时，此时22645sin75sin2sinsin00BCbc（2）当00015)(180120BACA时，此时22645sin15sin2sinsin00BCbc所以226,15,120226,75,600000cCAcCA或例 2、已知ABC的一个内角为060，面积为2310cm，周长为20cm，求此三角形的各边长。解：设ABC的三边长分别为a,b,c，且060B，依题意有2031060sin21260cos02220cbaacacbca，即20402222cbaacaccab，解得578875cbacba或所以三角形的三边长分别为5cm，7cm，8cm。注： （1） “已知三角形的两
63、边和其中一边的对角”解三角形，这类问题可分为一解、二解和无解三种情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页名师精编精品教案（2）注意正弦定理、余弦定理的结构特征，灵活地把题目条件进行变形，构造正、余弦定理形式解题。例 3、在ABC中，已知BbAacoscos，则ABC的形状为（C ）A、等腰三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形或直角三角形；D、等腰直角三角形解：法一（消边）由已知得abBAcoscos，又由正弦定理得ABabsinsinBABBAAABBA2sin2sin,cossincossin,sinsinc
64、oscos即BABA2222或2BABA或,即ABC为等腰三角形或直角三角形例 4、在ABC中，三个内角A，B，C 依次成等差数列，又三边a，b，c 依次成等比数列。试判断ABC的形状。解：CBA,成等差数列，CAB2又3,3,BBCBA又 a，b，c 成等比数列，可得acb2由余弦定理accabBaccab222222cos2得0222caaccaac，即，caABC为等边三角形。注：根据已知条件判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有CRcBRbARasin2,sin2,sin2；CBcbCAcaBAbasinsin,sinsin,sinsin；B
65、acbcaAbcacbCabcbacos2,cos2,cos2222222222(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin；cbCBcaCAbaBAsinsin,sinsin,sinsin；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页名师精编精品教案abcbaCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos222222222。例 5、在ABC中，证明：2222112cos2cosbabBaA。证明：左边2222222222222211sin2sin2sin2sin
66、211sin21sin21baBRBARAbabBaA右边故原命题得证。例 6、 在A B C中，a， b， c 分别是 A， B， C 的对边。已知 a， b， c 成等比数列， 且bcacca22，求 A 的大小及cBbsin的值。解：cba,成等比数列，acb2又bcacbbcacca22222,在ABC中，由余弦定理得212cos222bcacbA060A由正弦定理得0260,sinsinAacbaAbB2360sin60sinsin002acbcBb注： （1）三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的
67、化简问题。（2）这种证明问题常考虑两种途径：一是把角的关系转化成边的关系；二是把边的关系转化为角的关系。例 7、如图在海岸A 处发现北偏东045方向，距A 处13海里的 B 处有一艘走私船。在A处北偏西075方向， 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以310海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海里 /时的速度，从B 处向北偏东030方向逃窜。问：缉私船沿什么方向行使才能最快截获走私船？并求出所需时间。解：设缉私船应沿CD 方向行使t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则tCD310海里，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
68、 - - -第 31 页，共 33 页名师精编精品教案tBD10海里，在ABC中，由余弦定理，有6120cos2132213cos2022222AACABACABBC6BC海里又226120sin2sinsin,sinsin0BCAACABCABCACABC045ABCB 点在 C 点的正东方向上，0001203090CBD在BCD中，由正弦定理得CBDCDBCDBDsinsin, 0030,21310120sin10sinsinBCDttCDCBDBDBCD故缉私船沿北偏东060方向行驶又在BCD中，0030,120BCDCBD610,300tBCBDD即，分钟小时15106t缉私船沿北偏东
69、060方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15 分钟。注：应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是：（1）根据题意，抽象或者构造出三角形；（2）确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系；（3）选用正弦定理或余弦定理或二者相结合求解；（4）给出结论。例 8、在AOB中，已知2,bababOBaOA。当AOB的面积最大时，求a与b的夹角。解：设AOB2, 2BAbaba，8,422222bababa即在AOB中，由余弦定理得babaBAba22cos222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共
70、33 页名师精编精品教案由面积公式得2222241212121sin21bababababaSAOB48214821421242222aaaabaAOBSa时当42最大，此时42b因此当AOB面积最大时，060,2142444cos即注：此题是以向量为背景考查正弦定理和余弦定理的运用，并且涉及到二次函数求最值问题。解决该题的关键是利用正弦定理的面积公式把三角形面积用向量的模表示出来，通过二次函数求最值的方法求出面积最大时的模，从而由余弦定理求出夹角。可见正、 余弦定理不仅是解三角形的依据，也是分析几何量之间关系的重要公式。知识运用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页
