2022年对数函数知识点练习

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1、学习必备欢迎下载对数练习例 2（1）计算：9log 27，345log625解：设x9log 27则27xa，2333x, 32x；令 x345log625，345625x, 44355x, 5x（2）求 x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210xxxx，0x舍去 ，从而2x（3）求底数：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；77888722x, 2x例：求下列各式中x 的值：(1)(2) (3) lg100=x (4) 思路点拨： 将对数式化为指数式，

2、再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是 x=2；(4)由. 求值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页学习必备欢迎下载解：. 总结升华： 对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式 1】求的值(a，b，cR+，且不等于 1，N0) 思路点拨： 将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：例 3计算：（1）lg14 21g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg解： （1）解法

3、一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg23lg10323 2lg32lg 212lg10例 4计算： （1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32精选学习资料 - - - - - - - -

4、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页学习必备欢迎下载解： （1）原式 = 0.251log3log3555151553；（2） 原式 = 2345412log452log213log21232例 5已知18log9a，185b，求36log45（用 a, b 表示） 解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836例 6设1643tzyx，求证：yxz2111证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztyt

5、x，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5解：8log 3p，)5lg1 (32lg33lg33log2ppp，又q3lg5lg5log3，)5lg1 (33lg5lgpqq，pqpq35lg)31 (pqpq3135lg例：已知 lg2=a，lg3=b，用 a、b 表示下列各式 . (1) lg9 (2) lg64 (3) lg6 4) lg12 (5) lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

6、 页，共 40 页学习必备欢迎下载(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b （4）原式 =lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a (6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 求值(1)(2)lg2lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2

7、(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 4(1)已知 logxy=a， 用 a 表示；(2)已知 logax=m， logbx=n， logcx=p， 求 logabcx. 解：(1)原式=；(2)思路点拨： 将条件和结论中的底化为同底. 方法一： am=x， bn=x， cp=x ，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页学习必备欢迎下载方法二：. 求值： (1)；(2)；(3). 解：(1)(2)；(3)法一：法二：. 总结升华： 运用换底公式时，理论上换成以大于0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题

8、， 一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以 10 为底的常用对数也可. 求值：解：另解：设=m (m0).， lg2=lgm， 2=m，即. 已知： log23=a， log37=b，求：log4256=? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页学习必备欢迎下载解：，已知 3a=5b=c，求 c 的值. 解：由 3a=c 得：同理可得. 设 a、b、c 为正数，且满足 a2+b2=c2.求证：. 证明：. 已知： a2+b2=7ab，a0，b0. 求证：. 证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即

9、 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb 即. 例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log 3.42log 8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

10、- - -第 6 页，共 40 页学习必备欢迎下载（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log 5.1alog 5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log 5.1alog 5.9a例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8lo

11、g 10，3log2log 0.8（3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 4已知log4log4mn，比较m，n的大小。解：log4log4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01

12、m，1n， 01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页学习必备欢迎下载例 5求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a且1a） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3ay， 即值域为log3,)a，当01a时，log 3ay， 即值域为

13、(,log3a例：函数 y=f(2x)的定义域为 -1，1，求 y=f(log2x)的定义域 . 思路点拨 ：由 -1x1，可得 y=f(x) 的定义域为 ，2，再由log2x2 得 y=f(log2x)的定义域为 ，4. 例 6判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )fx为奇函数。例 7求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，又23

14、20xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页学习必备欢迎下载所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，函数2logyu为减函数，2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3, 2精选学习资料 - -

15、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页学习必备欢迎下载1.若点(a，b)在 ylg x 图象上， a1，则下列点也在此图象上的是() A.(1a，b)

16、 B.(10a,1b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页学习必备欢迎下载C.(10a，b1) D.(a2，2b) 已知函数 f(x)log2x，x0，2x，x0，若 f(a)12，则 a 的值为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页学习必备欢迎下载(1)lg5(lg8lg1000)(lg23)2lg16lg0.06；(2)化简： log34273log5；(3)已知： lgxlgy2lg(2x3y)，求的值精选学习资料 - - -

17、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页学习必备欢迎下载若将本例 (3)中条件变为： lg(x3y)lg(xy)lg2lgxlgy，求xy的值若 60a3，60b5.求 12)1(21bba的值. 解： a=log603，blog605，1b1log605log6012，1ab1log603log605log604，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页学习必备欢迎下载bba1112log4log6060log124，12)1(21bba124log2112122lo

18、g122. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页学习必备欢迎下载【解析】如图，由 f(a)f(b)，得|lga|lgb|. 设 0a2 ab2. 已知 f(x)logax(a0 且 a1)，如果对于任意的x13，2都有|f(x)|1 成立，试求a 的取值范围【解】f(x)logax，则 y|f(x)|的图象如图：由图示，要使 x13，2时恒有|f(x)|1，只需|f(13)|1，即 1loga131，即 logaa1loga13logaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

19、- - - -第 18 页，共 40 页学习必备欢迎下载亦当 a1 时，得 a113a，即 a3；当 0a1 时，得 a113a，得 01 时， 1loga13logaxloga21，a3. 当 0a1 时， 1loga2logaxloga131，01，在区间 (， 1上是减函数，g(x)x2axa 在区间 (， 1上也是单调减函数，且g(x)0. 1a2g 1 0，即a21aa0，a2a12xm 恒成立，求实数 m 的取值范围【解】(1)f(x)f(x)，1ax1x1axx1x11ax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共

20、 40 页学习必备欢迎下载1axx1x11ax，即(1ax)(1ax)(x1)(x1)，a1. (2)令 u(x)x1x1，则 u(x)12x1设 x1x21，u(x1)u(x2)2x112x212 x2x1x11 x210，即 u(x1)u(x2)，u(x)在(1， )上单调递减，f(x)x1x1在(1， )上为增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料

21、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页学习必备欢迎下载例 1已知过原点 O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识

22、，考查学生的分析能力和运算能力. 知识依托： (1)证明三点共线的方法： kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标. (1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知： x11,x21, 则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2. 因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以228118loglogxxxx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

23、- - - - -第 26 页，共 40 页学习必备欢迎下载点 C、D 坐标分别为 (x1,log2x1),(x2,log2x2), 由于 log2x1=2loglog818x=2logloglog,log38282218xxx3log8x2, 所以 OC 的斜率： k1=118212log3logxxxx, OD 的斜率： k2=228222log3logxxxx，由此可知： k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上 . (2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=31log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得：x13log8x1=3x

24、1log8x1,由于 x11 知 log8x10,x13=3x1.又 x11,x1=3, 则点 A 的坐标为 (3，log83). 例：设函数 f(x)=loga(x3a)(a0 且 a1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点 Q(x2a,y)是函数 y=g(x)图象上的点 . (1)写出函数 y=g(x)的解析式；(2)若当 xa+2,a+3时，恒有 |f(x)g(x)|1,试确定 a 的取值范围 . 解：(1)设点 Q 的坐标为 (x,y),则 x=x2a,y=y.即 x=x+2a,y=y. 点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上， y=loga(x+2

25、a3a), 即 y=logaax21,g(x)=logaax1. (2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20; ax1=aa)3(10,又 a0 且 a1,0a1, |f(x)g(x)|=|loga(x3a)logaax1|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1, 1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页学习必备欢迎下载f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函

26、数，从而 (x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a), 于是所求问题转化为求不等式组1)44(log1)69(log10aaaaa的解. 由 loga(96a)1 解得 0a12579,由 loga(44a)1 解得 0a54, 所求 a 的取值范围是 0a12579. 例：已知函数 f(x)=logax(a0 且 a1),(x(0,+),若 x1,x2(0,+), 判断21f(x1)+f(x2)与 f(221xx)的大小，并加以证明 . 解： f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x1,x2(0,+),x1x2

27、(221xx)2(当且仅当 x1=x2时取“=”号)，当 a1 时，有 logax1x2loga(221xx)2, 21logax1x2loga(221xx)，21(logax1+logax2)loga221xx, 即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(当且仅当 x1=x2时取“=”号) 当 0a1 时，有 logax1x2loga(221xx)2, 21(logax1+logax2)loga221xx, 即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(当且仅当 x1=x2时取“ =”号）. 例：已知函数 x,y 满足 x1,y1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga

28、(ay2)(a0 且 a1), 求 loga(xy)的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页学习必备欢迎下载解：由已知等式得： loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即(logax1)2+(logay1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy, 则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v. 在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系 v=u+k 有公共点，分两类讨论 . (1)当 u0,v0 时，即 a

29、1 时，结合判别式法与代点法得1+3k2(1+2); (2)当 u0,v0,即 0a1 时，同理得到 2(12)k13.x 综上，当 a1 时，logaxy 的最大值为 2+22，最小值为 1+3；当 0a1 时，logaxy 的最大值为 13，最小值为 222. 例：设不等式 2(log21x)2+9(log21x)+90 的解集为 M，求当 xM 时函数 f(x)=(log22x)(log28x)的最大、最小值 . 解： 2(21logx)2+9(21logx)+90 (221logx+3)(21logx+3)0. 321logx23. 即21log(21)321logx21log(21)

30、23(21)23x(21)3,22x8 即 M=x|x22,8 又 f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页学习必备欢迎下载22x8,23log2x3 当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0. 已知函数f ( x)=logax(a0, a1)，如果对于任意 x3，+）都有 | f ( x)| 1 成立，试求 a 的取值范围 .解当 a1 时，对于任意 x 3，+）

31、，都有 f (x)0.所以， |f (x)|=f (x),而 f (x)=logax 在3，+）上为增函数，对于任意x 3，+），有 f (x) loga3. 因此，要使 |f (x)| 1 对于任意 x 3，+）都成立.只要 loga3 1=logaa 即可，1a 3. 当 0a1 时，对于 x 3，+），有 f (x)0, |f (x)|=-f (x). f （x）=logax 在3，+ -f （x）在 3，+）上为增函数.对于任意x 3，+|f (x)|=-f (x) -loga3. 因此，要使 |f (x)| 1 对于任意 x 3，+只要-loga3 1 loga3 -1=logaa1

32、,即a1 3,31 a1.综上，使 |f (x)| 1 对任意 x 3，+）都成立的 a 的取值范围是： (1，331，1）. 已知函数 f （x）=log2(x2-ax-a)在区间（ -,1-3上是单调递减函数 .求实数 a 的取值范围 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 40 页学习必备欢迎下载解令 g(x)=x2-ax-a, 则 g(x)=（x-2a）2-a-42a,由以上知 g(x）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上 .因为函数 f (x)=log2g(x)的底数 21,在区间（ - ,1-3上是减函数

33、，所以 g(x)=x2-ax-a 在区间（ - ,1-3上也是单调减函数，且g(x)0.0)31 ()31(3220)31(2312aaaga，即解得 2-23 a2.故 a 的取值范围是 a|2-23 a2. 已知函数 f (x)=loga(x+1)( a1), 若函数 y=g(x) 图象上任意一点 P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数 f (x) 的图象 .（1）写出函数 g(x) 的解析式；（2）当 x0，1）时总有 f ( x)+g( x) m成立，求 m的取值范围 .解（1）设 P（x，y）为 g(x)图象上任意一点，则 Q （-x，-y）是点 P关于原点的对称点， Q （-x，-y）

34、在 f (x)的图象上， -y=loga（-x+1） ，即 y=g(x)=-loga(1-x).（2）f (x)+g(x) m ,即 logaxx11 m .设 F（x）=logaxx11,x 0，1） ，由题意知，只要 F（x）min m即可. F（x）在 0，1）上是增函数， F（x）min=F（0）=0.故 m 0 即为所求 . 已知函数 y=log2a( x2-2ax-3) 在(- ,-2) 上是增函数，求 a 的取值范围 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 40 页学习必备欢迎下载解因为 ( x)=x2-2ax

35、-3 在(- , a上是减函数，在a,+)上是增函数，要使 y=log2a(x2-2 ax-3) 在(- ,-2)首先必有 0a21,即 0a1 或-1 a0, 且有,2,0)2(a得 a-41. 综上，得 -41a0 或 0a1. (1)设 0a1，实数 x、y 满足 logax3logxalogxy=3，如果有最大值，求这时与 的值yax24(2)f(x)=logx3logx212212讨论函数的单调性及值域解(1)log x= 3log y = log xaaa2由已知，得，3logloglogaaaxyx3log x3 = (log x)aa23234 ，关于 为减函数即有最大值时，0

36、a1log yyylog yaa24有最小值 log24a当时，log x =3log=34aa224，得，ax = aa =14x =18343224解R (2)t = log xx0tt = log x(0)1212设，则 ， ，且是， 上的减函数f(t) =t3t2()2 是 ，上的增函数，是， 上的3232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 40 页学习必备欢迎下载减函数时，t =x = 2 232函数 在，上是增函数，在，f(x) =log x3log x2(02 2122122 2 )上是减函数又，值域是，f(

37、x) =(t)(3214142对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a 的取值范围；（3）若函数在), 1内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1 ,(，求实数a 的值；（5）若函数的值域为1,(，求实数a 的值；（6）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a 的取值范围 . 解答 记2223)(32)(aaxaxxxgu，（1）Rxu对0恒成立，33032minaau，a的取值范围是)3,3(；（2）这是一个较难理解的问题。从“xalog的值域为R” ，这点思考， “u2

38、1log的值域为 R”等价于“)(xgu能取遍), 0(的一切值”，或理解为“)(xgu的值域包含了区间),0(”)(xgu的值域为),0(),32a命题等价于33032minaaau或，a 的取值范围是),33,(；（3）应注意“在), 1内有意义”与定义域的概念是不同的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 40 页学习必备欢迎下载命题等价于“), 10)(xxgu对恒成立”，应按)(xg的对称轴ax0分类，33121012410)1(12aaaaaaga或或，a的取值范围是)3,2(；（4）由定义域的概念知，命题等价于

39、不等式0322axx的解集为 31|xxx或，3, 121xx是方程0322axx的两根，, 2322121axxaxx即 a 的值为 2；（5）由对数函数性质易知：)(xg的值域为),2，由此学生很容易得2)(xg，但这是不正确的.因为“2)(xg”与“)(xg的值域为),2”并不等价， 后者要求)(xg能取遍),2的一切值 （而且不能多取） . )(xg的值域是),32a，命题等价于123)(2minaaxg；即 a 的值为 1；（6）命题等价于：0)1 (1 1 ,(0)( 1 ,()(0gaxxxgxg恒成立对为减函数在，即21aa，得 a 的取值范围是)2, 1. 评析 学习函数知识

40、及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验. 例：设集合03log21log2|8221xxxA，若当Ax时，函数4log2log)(22xxxfa的最大值为2，求实数 a 的值 . 解析 3log21|03log7log2|2222xxxxxA82|xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 40 页学习必备欢迎下载而axaxxaxxf2log)2(log)2)(log(log)(222

41、22，令321,82,log2txtx，atattgxf2)2()()(2，其对称轴22at，当4722at，即12)3()(23maxagtga时，适合；当6132)21()( ,23,4722maxagtgaat时即，适合；综上，6131或a. 例 2.设 a0 且 a 1,求证：方程ax+ax=2a 的根不在区间 1,1内解：设 t=ax,则原方程化为：t22at+1=0 (1) 由=4a24 0 得 a 1,即 a1 令 f(t)= t22at+1 f(a)=a22a2+1=1 a20 且 a 1，试求使方程)(log)(log22axakxaa有解的 k 的取值范围解：原方程即22l

42、og)(logaxakxaa即220axakx分别解关于ax的不等式、方程得：kkaxk212(k 0 时) 所以kkk212解得 k 1 或 0k1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 40 页学习必备欢迎下载又当 k=0 时，代入原式可推出a=0 与已知矛盾，故k 的取值范围为(, 1) (0,1) 已知函数f （x）=log2(x2-ax-a) 在区间（ - ,1-3上是单调递减函数. 求实数 a 的取值范围 .解： 令 g(x)=x2-ax-a, 则 g(x)= （x-2a）2-a-42a,由以上知 g(x ）的图

43、象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x) 的底数 21,在区间（ - ,1-3上是减函数，所以 g(x)=x2-ax-a 在区间（ - ,1-3上也是单调减函数，且g(x) 0.0)31()31 (3220)31 (2312aaaga，即解得 2-23a2.故 a 的取值范围是 a|2-23a 2. 18定义在 R 上的单调函数f( x) 满足 f(3)=log23，且对任意x，yR 都有 f( x+y)=f( x)+ f( y) (1) 求证 f( x) 为奇函数；(2) 若 f( k3x)+ f(3x-9x-2) 0 对任意 xR恒成立，求实数k 的取值

44、范围点拨： 欲证f( x) 为奇函数即要证对任意x 都有f(- x)=- f( x) 成立在式子f( x+y)= f( x)+ f( y) 中，令y=-x 可得f(0)= f( x)+ f(- x) 于是又提出新的问题，求f(0) 的值令x=y=0 可得 f(0)= f(0)+ f(0) 即 f(0)=0 ， f( x) 是奇函数得到证明(1) 证明： f( x+y)= f(x)+f(y)( x，yR) ，令 x=y=0，代入式，得f(0+0)= f(0) +f (0) ，即f(0)=0 令 y=-x，代入式，得f( x-x)=f( x)+ f(- x) ，又 f(0)=0 ，则有0=f( x

45、)+ f(- x) 即 f(- x)=- f( x)对任意 xR成立，所以f( x) 是奇函数(2) 解：f(3)=log230，即 f(3) f(0) ，又 f( x) 在 R上是单调函数， 所以 f( x) 在 R上是增函数， 又由 (1) f( x)是奇函数f( k 3x) - f(3x-9x-2)= f(-3x+9x+2) ，k 3x-3x+9x+2，32x-(1+ k)3x+20 对任意 xR成立令 t=3x0，问题等价于t2-(1+ k)t+2 0 对任意 t0 恒成立令 f(t)=2(1)2tk t,其对称轴12kx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

46、- - - - - - -第 36 页，共 40 页学习必备欢迎下载当102k即1k时，(0)20f，符合题意；当102k时，对任意0t，( )0f t恒成立2102(1)420kk解得1122k综上所述，当122k时 f(k3x)+f(3x-9x-2)0 对任意 x R 恒成立反思 ：问题 (2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)= t2- (1+k)t+2 对于任意t 0 恒成立 对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3x -3x+9x+2 得2313xxk2313xxu221，即 u 的最小值为2 21要

47、使Rx对不等式2313xxk恒成立，只要使k0，即(ba)xk又a1b0，ba1 xlogbak 为其定义域满足的条件，又函数f (x) 的定义域恰为(0,+) ， logbak =0，k=1f (x)=lg(axbx)若存在适合条件的a，b 则 f (3)=lg( a3 b3)= lg4 且 lg(axbx)0 对 x1 恒成立，又由题意可知f (x)在(1,+)上单调递增x1 时 f (x) f (1) ，由题意可知f (1)=0 即 a b=1 又 a3b3=4 注意到 a1b0，解得 a=215,b=215存在这样的a， b满足题意已知常数 a，b 满足 a1b0，若 f(x)=lg(

48、ax-bx)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 40 页学习必备欢迎下载(1) 求 y=f(x) 的定义域；(2) 证明 y=f(x) 在其定义域内是增函数；(3) 若 f(x) 恰在(1，+) 上恒取正值，且 f(2)=lg2，求 a，b 的值(2) 任取 x1，x2(0 ，+) ，且 x1x2因为 a1，所以 g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax20故 f(x)=lg(ax-bx) 在(0 ，+) 内是增函数(3) 因为 f(x) 在(1， +)内为增函数，所以对于 x(1， +) 内每一个 x 值， 都有 f

49、(x) f(1) 要使 f(x) 恰在(1 ，+) 上恒取正值，即 f(x) 0 只须 f(1)=0 于是 f(1)=lg(a-b)=0，得 a-b=1又 f(2)=lg2，所以 lg(a2-b2)=lg2 ，所以 a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2 而 a-b=1，所以 a+b=2设 0x1，a0 且 a1，试比较 |loga(1-x)|与|loga(1+x)| 的大小解作差比较精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 40 页学习必备欢迎下载因为 0x1，所以 01-x 1，11+x2，01-x21当 a1 时，|l

50、oga(1-x)|=-loga(1-x) ，|loga(1+x)|=loga(1+x) 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x) =-loga(1-x2) 0 即 |loga(1-x)|loga(1+x)| 当 0a1 时，|loga(1-x)|=loga(1-x) ，|loga(1+x)|=-loga(1+x) 所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x) =loga(1-x2)0 即 |loga(1-x)|loga(1+x)| 例：若不等式0log2xax，当)21,0(x时恒成立，求实数a

51、的取值范围 . 解析要使不等式xaxlog2在)21, 0(x时恒成立，即函数xyalog的图象在)21, 0(内恒在函数xy2图象的上方，而xy2图象过点)2,21(.由图可知，221loga，显然这里, 10a函数xyalog递减，又,log221log2aaa212a，即.)21(22a所求的a的取值范围为.1)21(22a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 40 页学习必备欢迎下载点评原问题等价于当)21, 0(x时，xy21的图象在xyalog2的图象的下方，由于a的大小不确定，当1a时，显然12yy，因此a必为小于1 的正数，当2y的图象通过点)2,21(时，2y满足条件，此时.)21(220a那么a是大于0a还是小于0a才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画，这样可以对数形结合的方法有更好地掌握。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 40 页