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1、内容内容: :几种表达式几种表达式: :EK2+EP2= EK1+EP1 EK= EP即即 E=0即即 EK+ EP=0即即知识回顾：机械能守恒定律知识回顾：机械能守恒定律在只有重力在只有重力(或弹簧弹力或弹簧弹力)做功的情况下做功的情况下, 物体的动能和重力势能物体的动能和重力势能(或弹性势能或弹性势能)发发生相互转化生相互转化, 但机械能的总量保持不变但机械能的总量保持不变.一、机械能守恒定律的守恒条件一、机械能守恒定律的守恒条件问题问题1.1.对机械能守恒条件的理解对机械能守恒条件的理解 只受重力或系统内弹力。（如忽略空气只受重力或系统内弹力。（如忽略空气阻力的抛体运动）阻力的抛体运动）
2、 还受其他力，但其他力不做功。（如物还受其他力，但其他力不做功。（如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功）但支持力不做功） 有其他力做功，但做功的代数和为零。有其他力做功，但做功的代数和为零。2.2.判断机械能是否守恒的常用方法判断机械能是否守恒的常用方法 用做功来判断用做功来判断用能量角用能量角 度来判断度来判断a.直接看对象总机械能是否直接看对象总机械能是否变化变化b.看对象是否存在机械能与看对象是否存在机械能与其他形式能量转化或与其他其他形式能量转化或与其他对象机械能转移对象机械能转移例例2.把一个小球用细绳悬挂起来把一个小球用细绳悬挂
3、起来, 就成为一个摆就成为一个摆, 摆长为摆长为L, 最大偏角最大偏角 , 小球运动到最低位置时的小球运动到最低位置时的速度是多大速度是多大? (不计空气阻力不计空气阻力) LBAO二、应用机械能守恒定律解题的方法和步二、应用机械能守恒定律解题的方法和步骤骤明确研究对象明确研究对象( (物体或者系统物体或者系统) )明确研究对象的运动过程明确研究对象的运动过程, ,分析研究对象分析研究对象的受力情况以及各力做功的情况的受力情况以及各力做功的情况, ,判断机判断机械能是否守恒械能是否守恒恰当地选取参考平面恰当地选取参考平面( (零势能面零势能面),),并确定并确定研究对象在过程中的始末机械能研究
4、对象在过程中的始末机械能根据机械能守恒定律列出方程进行求解，根据机械能守恒定律列出方程进行求解，有时不够时再辅之以其它方程有时不够时再辅之以其它方程单体机械能守恒定律表达式：单体机械能守恒定律表达式：或用增量式：从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质量相同的几个物体，不计空气阻力，则 A它们落地时的动能都相同B它们落地时重力的即时功率不一定相同C它们运动的过程中，重力的平均功率不一定相同D它们从抛出到落地的过程中，重力所做的功不相同A B C 例7.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .解：由机械
5、能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.例 10. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= _hABO解：第一次恰能抵达B点，不难看出v B1=0由机械能守恒定律mg h1 =mgR+1/2mvB12 h1 =R第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2gt 2mg h2 =mgR+1/2mvB22h2 =5R/4h1 ：h2 = 4：5 4：5例例3. 以以10m/s的速度将质量为的速度将质量为m的物体竖直的物体竖直向上抛出向上抛出, 若空
6、气阻力忽略若空气阻力忽略, g=10m/s2, 则则:(1)物体上升的最大高度是多少物体上升的最大高度是多少?(2)上升过程在何处重力势能和动能相等上升过程在何处重力势能和动能相等?(3)上升过程重力势能和动能相等时速率上升过程重力势能和动能相等时速率 多大多大?解：解：（1）设物体抛出时的速度为）设物体抛出时的速度为v0，物体上升的最大高度为，物体上升的最大高度为h,根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律得： 1/2mv2=mgh 解得：解得：h=5m(2)设当动能和重力势能相等的时候物体距地面高度为设当动能和重力势能相等的时候物体距地面高度为h1,根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律
7、得： mgh=2mg h1 解得：解得：h1=2.5m(3)设当动能和重力势能相等的时候物体的速度为设当动能和重力势能相等的时候物体的速度为v1，根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律得： mgh= mv12 解得：解得：v1=52m/s拓展：木块拓展：木块A A和和B B用一只轻弹簧连接起来，用一只轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，放在光滑水平面上，A A紧靠墙壁，弹簧质量紧靠墙壁，弹簧质量不计。在不计。在B B上施加向左的水平力使弹簧压缩，上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列说法中正如图所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是（确的是（ ） A.AA.A离开墙壁前，离
8、开墙壁前，A A的机械能守恒的机械能守恒B.AB.A离开墙壁前，离开墙壁前，A A、B B及弹簧这一系统的机及弹簧这一系统的机械能守恒械能守恒C.AC.A离开墙后，离开墙后，A A的机械能守恒的机械能守恒D.AD.A离开墙后，离开墙后，A A、B B及弹簧这一系统的机械及弹簧这一系统的机械能守恒能守恒ABF例例2 2、如图所示，在长如图所示，在长1m1m的线下吊一个质量的线下吊一个质量为为1 1的小球。当线受到的小球。当线受到19N19N的拉力时就被的拉力时就被拉断，现将小球拉起一定高度后放开，小拉断，现将小球拉起一定高度后放开，小球到悬点正下方时线刚好被拉断，球到悬点正下方时线刚好被拉断，(
9、g=10m/s(g=10m/s2 2）求：）求：（1 1）球被拉起的高度）球被拉起的高度（2 2）线被拉断后，球）线被拉断后，球落于悬点正下方落于悬点正下方5m5m的的水平面上的位置。水平面上的位置。5ms三、机械能守恒定律的综合应用问题三、机械能守恒定律的综合应用问题（一）一个物体的运动问题（一）一个物体的运动问题解：解：刚好被拉断瞬间，向心力为刚好被拉断瞬间，向心力为所以所以从释放至刚好被拉断瞬间，机械能守恒：从释放至刚好被拉断瞬间，机械能守恒：所以所以断开后，小球做平抛运动，断开后，小球做平抛运动，所以所以例例3、在高为在高为h=1.2m的光滑平台上有一个质的光滑平台上有一个质量量m为为
10、0.5kg的小球被一细绳拴在墙上，球的小球被一细绳拴在墙上，球与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹性势能性势能Ep1=2J，当细线被烧断后，小球被，当细线被烧断后，小球被弹出，求：弹出，求：(1)小球被弹出后的速度小球被弹出后的速度v1多大？多大？(2)小球的落地速度小球的落地速度v2多大？（多大？（g=10m/s2） h解解：小小球球被被弹弹出出的的过过程机械能守恒程机械能守恒小球被弹出后的速度为：小球被弹出后的速度为：之后，小球做平抛运动，机械能守恒之后，小球做平抛运动，机械能守恒AB300例例4、如图所示如图所示,用长为用长为L的细绳悬挂一质量的细绳悬
11、挂一质量为为m的小球的小球,再把小球拉到再把小球拉到A点点,使悬线与水使悬线与水平方向成平方向成30夹角夹角,然后松手。问然后松手。问:小球运动小球运动到悬点正下方到悬点正下方B点时悬线对球的拉力多大点时悬线对球的拉力多大?解解:小小球球释释放放后后,首首先先在在重重力力作作用用下下自自由由下下落落至至C点点细细绳绳再再次次伸伸直直,由由几几何何关关系系可可知知,此此时时细细绳绳与与水水平平方方向向夹夹角角为为30,小小球球下落高度下落高度h=L。ABC300VcVc1Vc2F0mgF根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得:在在C点细绳突然张紧对小球施点细绳突然张紧对小球施以沿细绳的冲量以沿
12、细绳的冲量,使小球沿细绳使小球沿细绳方向的分运动立即消失方向的分运动立即消失,其速度其速度由由Vc变为变为Vc1之之后后,小小球球沿沿圆圆弧弧运运动动至至B点点,在在此此过过程程中中,只只有重力做功有重力做功,机械能守恒机械能守恒小小球球运运动动至至B点点时时,细细绳绳的的拉拉力力与与重重力力提提供供向向心力心力所以所以F=3.5mgABEFD例例5、质量为质量为m的小球由长为的小球由长为L的细线系住的细线系住,细线的另一端固定在细线的另一端固定在A点点,AB是过是过A的竖直的竖直线线,E为为AB上的一点上的一点,且且AE=L/2,过过E做水平做水平线线EF,在在EF上钉铁钉上钉铁钉D,如图所
13、示如图所示.若线所能若线所能承受的最大拉力是承受的最大拉力是9mg,现将小球和悬线拉现将小球和悬线拉至水平至水平,然后由静止释放然后由静止释放,若小球能绕铁钉在若小球能绕铁钉在竖直面内做圆周运动竖直面内做圆周运动,求铁钉位置在水平线求铁钉位置在水平线上的取值范围上的取值范围.不计线与铁钉不计线与铁钉碰撞时的能量损失碰撞时的能量损失.分析分析:首先需注意到题目中有两个约束条件首先需注意到题目中有两个约束条件,一个是细线承受的拉力最大不能超过一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg,再就是必须通过最高点做竖直面上的完整再就是必须通过最高点做竖直面上的完整的圆周运动的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值
14、范这样铁钉在水平线上的取值范围就由相应的两个临界状态决定围就由相应的两个临界状态决定.解解:设设铁铁钉钉在在位位置置D时时,球球至至最最低低点点细细线线所所承承受受的的拉拉力力刚刚好好为为9mg,并并设设DE=X1,由由几几何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径解以上各式得解以上各式得:球球由由C点点至至D点点正正下下方方的的过过程程中中,遵遵守守机机械械能守恒定律能守恒定律,有有球球至至D点点正正下下方方时时,由由细细线线拉拉力力和和球球的的重重力力的合力提供向心力的合力提供向心力.根据向心力公式得根据向心力公式得:再再设设铁铁钉钉在在D点点时时,小小球球刚
15、刚好好能能够够绕绕铁铁钉钉通通过过最最高高点点做做完完整整的的圆圆周周运运动动,并并设设DE=X2,由几何关系可求得球的运动半径为由几何关系可求得球的运动半径为解以上各式得解以上各式得:铁钉在水平线铁钉在水平线EF上的位置范围是上的位置范围是:球球由由C至至圆圆周周最最高高点点过过程程中中,遵遵守守机机械械能能守守恒恒定律定律,有有:球球至至圆圆周周最最高高时时,其其向向心心力力由由球球的的重重力力提提供供,根据向心力公式得根据向心力公式得:（四）系统机械能守恒的问题（四）系统机械能守恒的问题处处理理这这类类问问题题时时, ,一一是是要要注注意意应应用用系系统统机机械械能能是是否否守守恒恒的的
16、判判断断方方法法; ;再再是是要要灵灵活活选选取取机机械能守恒的表达式械能守恒的表达式. .常用的是常用的是: :例例8、如如图图所所示示,两两小小球球mA、mB通通过过绳绳绕绕过过固固定定的的半半径径为为R的的光光滑滑圆圆柱柱,现现将将A球球由由静静止止释释放放,若若A球球能能到到达达圆圆柱柱体体的的最最高高点点,求求此此时时的的速速度度大小大小(mB=2mA).解解:B球下落得高度为球下落得高度为A球上升得高度为球上升得高度为2R由由AB根据能量转化守恒定律根据能量转化守恒定律EK = -EP得得所以所以例例9、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为质量为m
17、1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系。乙两球的质量关系。m1m2分分析析：与与上上题题相相似似，只只是是甲甲乙乙的末速度为的末速度为 ，所以，所以例9、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应
18、具有的最小速度v= 。vO解：系统的机械能守恒，EP +EK=0因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30o，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A、B连接，连接，A的质量为的质量为4m，B质量为质量为m，开始时将，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下沿斜面下滑而滑而B上升。物块上升。物块A与斜面间无摩擦。设当与斜面间无摩擦。设当A沿沿斜面下滑距离斜面下
19、滑距离s后，细绳突然断了，求物块后，细绳突然断了，求物块B上上升的最大距离升的最大距离H（思考题）如图所示，物体A、B用绳子连接穿过定滑轮，已知mA=2mB, 绳子的质量不计，忽略一切摩擦，此时物体A、B距地面高度均为H，释放A，求当物体A刚到达地面时的速度多大？（设物体B到滑轮的距离大于H）例与练如图所示，如图所示，A、B两球质量分别为两球质量分别为4m和和5m,其间其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱半圆柱体的半径为体的半径为R)两球从水平直径的两端由静止两球从水平直径的两端由静止释放已知重力加速度为释放已知重力加速度为g，圆周率用，圆周率用表示
20、。表示。当球当球A到达最高点到达最高点C时，求：时，求： (1)球球A的速度大小的速度大小 (2)球球A对圆柱体的压力对圆柱体的压力 【例例7】将将质质量量为为M和和3M的的两两小小球球A和和B分分别别拴拴在在一一根根细细绳绳的的两两端端，绳绳长长为为L，开开始始时时B球球静静置置于于光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，A球球刚刚好好跨跨过过桌桌边边且且线线已已张张紧紧，如如图图所所示示当当A球球下下落落时时拉拉着着B球球沿沿桌桌面面滑滑动动，桌桌面面的的高高为为h，且且hL若若A球球着着地地后后停停止止不不动动，求求：（1）B球球刚刚滑滑出出桌桌面面时时的的速速度度大大小小（2）B球球和和A球
21、球着着地地点点之之间间的的距距离离机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用 【例例4 4】一条长为一条长为L L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大? ?【解析解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒功，故链条下滑过程中机械能守
22、恒 设链条总质量为，由于链条均匀，因此对链条所研设链条总质量为，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零势究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为：能面，则初、末状态的机械能分别为：初态：初态：末态：末态：例例1010、如如图所示，所示，质量分量分别为4m4m和和m m的的A A和和B B物体用物体用细绳连接，并跨接，并跨过装在斜面装在斜面顶端的端的无摩擦滑无摩擦滑轮上，上，A A放在放在倾角角为3030的光滑斜的光滑斜面上，面上，开始时将开始时将B按在地面上不动按在地面上不动,然后放然后放开手开手,让让A沿斜面下滑而沿
23、斜面下滑而B上升上升, 设当设当A沿斜沿斜面下滑面下滑s距离后距离后,细线突然断了细线突然断了,求物块求物块B上上升的最大距离升的最大距离H。 解：解：取取A、B及地球及地球为系系统：对B B：且且所以所以例例11、如图所示，长为如图所示，长为2L的轻杆的轻杆OB，O端端装有转轴，装有转轴，B端固定一个质量为端固定一个质量为m的小球的小球B，OB中点中点A固定一个质量为固定一个质量为m的小球的小球A，若若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求位置的过程中，求A、B球摆到最低点的速球摆到最低点的速度大小各是多少。度大小各是多少。解：解：选A A、B
24、B及地球及地球为一系一系统，此系此系统中只有中只有动能和重力能和重力势能能发生生转化，系化，系统机械能守恒，机械能守恒，有：有：又又所以所以例例12、如如图图所所示示,半半径径为为r,质质量量不不计计的的圆圆盘盘与与地地面面垂垂直直,圆圆心心处处有有一一个个垂垂直直盘盘面面的的光光滑滑水水平平固固定定轴轴O,在在盘盘的的最最右右边边缘缘固固定定一一个个质质量量为为m的的小小球球A,在在O点点的的正正下下方方离离O点点r/2处处固固定定一一个个质质量量也也为为m的的小小球球B.放放开开盘盘让让其其自由转动自由转动,求：求：（1）A球转到最低点时的线速度是多少？球转到最低点时的线速度是多少？（2）
25、在在转转动动过过程程中中半半径径OA向向左左偏偏离离竖竖直直方方向向的的最最大大角角度是多少？度是多少？AB解：解：(1)该系统在自由转动过程中该系统在自由转动过程中,只有重力只有重力做功做功,机械能守恒机械能守恒.设设A球转到最低点时的线球转到最低点时的线速度为速度为VA,B球的速度为球的速度为VB,则据则据机械能守恒定律可得机械能守恒定律可得:AB据圆周运动的知识可知据圆周运动的知识可知:VA=2VB所以所以AB所以所以(2)设设在在转转动动过过程程中中半半径径OA向向左左偏偏离离竖竖直直方方向向的的最最大大角角度度是是(如如所所示示),则则据据机机械械能能守守恒恒定定律律可得可得:例例1
26、3、如图所示如图所示,将楔木块放在光滑水平面将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面然后在木块和墙面之间放入一个小球之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为球的下缘离地面高度为H,木块的倾角为木块的倾角为,球和木块质量相等球和木块质量相等,一切一切接触面均光滑接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静放手让小球和木块同时由静止开始运动止开始运动,求球着地时球和木块的速度求球着地时球和木块的速度. V1V2解：解：因为球下落的垂直于斜面因为球下落的垂直于斜面的分速度与斜面该方向的分速的分速度与斜面该方向的分速度相等，即度相等，即由机械能守恒定律可得由机械能守恒定
27、律可得联立方程可得联立方程可得例例14、如如图图所所示示,光光滑滑的的半半圆圆曲曲面面AB,其其半半径径为为R,在在B端端有有一一光光滑滑小小滑滑轮轮,通通过过滑滑轮轮用用细细绳绳连连着着两两个个物物体体P、Q,其其质质量量分分别别为为M和和m,开开始始时时,P在在B处处附附近近,Q悬悬在在空空中中,现现无无初初速速地地释释放放P,P沿沿半半圆圆曲曲面面滑滑下下,试试求求P滑滑至至最最低点时低点时,P、Q的速度各多大的速度各多大?设绳足够长设绳足够长.ABPQMmR解解:因因系系统统内内各各物物体体间间均均无无滑滑动动摩摩擦擦力力,所所以以系系统统遵守机械能守恒定律遵守机械能守恒定律.将速度将
28、速度VP分解分解,如图所示如图所示,得得:ABPMQmVPV1V2联立两式得联立两式得例例15、如如图所示，所示，质量均量均为m的小球的小球A、B、C，用两条，用两条长均均为L的的细线相相连，置于高，置于高为h的光滑水平桌面上。的光滑水平桌面上。Lh，A球刚跨过桌面。球刚跨过桌面。若若A球、球、B球下落着地后均不再反弹，则球下落着地后均不再反弹，则C球球离开桌边缘时的速度大小是多少？离开桌边缘时的速度大小是多少？解：解：A球下落球下落带动B、C球运球运动。A球着地前瞬球着地前瞬间，A、B、C三球速率相等，且三球速率相等，且B、C球球均在桌面上。因均在桌面上。因A球着地后球着地后不反不反弹，故，故A、B两球两球间线松弛，松弛，B球球继续运运动并下落，并下落，带动小球小球C，在，在B球着地前瞬球着地前瞬间，B、C两球速率相等。两球速率相等。故故本本题题的的物物理理过过程程应应划划分分为为两两个个阶阶段段：从从A球球开开始始下下落落到到A球球着着地地瞬瞬间间；第第二二个个阶阶段段，从从A求着地后到求着地后到B球着地瞬间。球着地瞬间。 在第一个阶段，选三个球及地球为系统，在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：机械能守恒，则有：第二个阶段，选第二个阶段，选B、C两球及地球为系统，两球及地球为系统，机械能守恒，则有：机械能守恒，则有： 解得：解得：
