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1、名师总结优秀知识点等差数列知识点1. 等差数列的定义:daann1(d为常数)(2n) ;2等差数列通项公式:*11(1)()naanddnad nN,首项 :1a,公差 :d ,末项 :na推广:dmnaamn)(从而mnaadmn;3等差中项(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即:2baA或baA2(2)等差中项:数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式:1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn(其中 A、B是常数,所以当d0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为0)特别地,当项
2、数为奇数21n时,1na是项数为2n+1 的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5等差数列的判定方法(1) 定义法: 若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列(2)等差中项:数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa数列na是等差数列bknan(其中bk,是常数)。(4)数列na是等差数列2nSAnBn, (其中 A 、B是常数)。6等差数列的证明方法定义法:若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 提醒 :(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5 个元素
3、:1a、d、n、na及nS,其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2。(2)设项技巧:一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差,可设为,2 , ,2ad ad a ad ad(公差为d) ;偶数个数成等差,可设为,3 ,3ad ad ad ad, ( 注意;公差为2d)8. 等差数列的性质:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页名师总结优秀知识点(1)当公差0d时,等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和211
4、(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0. (2)若公差0d,则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。(3)当mnpq时, 则有qpnmaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa. 注:12132nnnaaaaaa,(4)若na、nb为等差数列,则12nnnabab,都为等差数列(5) 若na是等差数列,则232,nnnnnS SSSS,也成等差数列(6)数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列(7)设数列na是等差数列, d 为公差,奇S是奇数项的和,偶S是偶数
5、项项的和,nS是前 n 项的和1. 当项数为偶数n2时,121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana偶11nnnnSSnanan aa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时,则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶(其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) (8) 、nb的前n和分别为nA、nB,且( )nnAf nB,则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
6、 - - - - - -第 2 页,共 7 页名师总结优秀知识点(9) 等差数列na的前 n 项和mSn, 前 m 项和nSm, 则前 m+n 项和m nSmn(10) 求nS的最值法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性*nN。法二: ( 1) “首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和即当,001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当,001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项法三:直接利用二次函数的对称性
7、:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,nS取最大值(或最小值) 。若S p= S q则其对称轴为2pqn注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于1a和d的方程;巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量等差数列基础练习题一、填空题1. 等差数列 8,5,2,的第 20 项为_. 2. 在等差数列中已知a1=12, a6=27, 则 d=_ 3. 在等差数列中已知13d,a7=8,则 a1=_ 4.2()ab与2()ab的等差中项是 _- 5. 等差数列 -10 ,-6 ,-2 ,2,前 _项的和
8、是 54 6. 正整数前 n 个数的和是 _ 7. 数列na的前 n 项和23nSnn,则na_. 8. 在等差数列中已知a1=12, a6=27, 则 d=_ 9. 在等差数列中已知13d,a7=8,则 a1=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页名师总结优秀知识点10.在等差数列 an 中,an=m ,an+m=0 ,则 am= _ 。11 在等差数列 an 中,a4+a7+a10+a13=20 ,则 S16= _ 。12 在等差数列 an 中,a1+a2+a3+a4=68 ,a6+a7+a8+a9+a10=30
9、 ,则从 a15 到 a30 的和是 _ 。13 已知等差数列 110, 116, 122 ,则大于 450而不大于 602的各项之和为 _ 。14 若是方程的解,则_。15 若公差, 且是关于的方程的两个根,则_。二、选择题1 若lg 2,lg(21),lg(23)xx成等差数列,则 x 的值等于() A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或 32 2、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a :b 等于 ( )A、 B、 C、或 1 D、3. 在等差数列na中31140aa,则45678910aaaaaaa的值为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
10、结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页名师总结优秀知识点A.84 B.72 C.60 . D.48 4. 在等差数列na中,前 15 项的和1590S,8a为()A.6 B.3 C.12 D.4 5. 等差数列na中, 12318192024,78aaaaaa, 则此数列前 20下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 6. 在等差数列na中, 若34567450aaaaa,则28aa的值等于()A.45 B.75 C.180 D.300 7. 设nS是数列na的前 n 项的和,且2nSn,则na是() A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列
11、C.等差数列,且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列8. 数列 3,7,13,21,31,的通项公式是() A. 41nan B. 322nannn C. 21nann D.不存在9、设数列 an 和bn 都是等差数列,其中a1=25, b1=75,且a100+b100=100 ,则数列 an+bn 的前 100 项和为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页名师总结优秀知识点A、 0 B、 100 C、10000 D、505000 10. 等差数列na中, 12318192024,78aaaaaa, 则此数列
12、前20下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 11 一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是 24 与 30, 若此数列的最后一项比第-10 项为 10,则这个数列共有( )A、 6 项 B 、8 项 C、10 项 D 、12 项三、计算题1. 求集合|21,*60Mm mnnNm,且中元素的个数,并求这些元素的和2. 设等差数列na的前 n 项和公式是253nSnn,求它的前 3 项,并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页名师总结优秀知识点求它的通项公式3. 如果等差数列na的前 4 项的和是 2,前 9 项的和是 -6,求其前 n项和的公式。4. 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列na的有关未知数:(1)151,5,66nadS求 n 及na; (2)12,15,10,nndnaaS求及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页