金融数学概述

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1、第一章 利息与现金流量第一章第一章 利息与现金流量利息与现金流量主要包括以下内容：n利 息n现金流量n利率、终值与现值n利息力n现金流量的现值n利息收入n固定利率n名义利率与名义贴现率n价值方程和交易收益率第一节 利 息n利息与利率 n单利n复利 利息与利率利息与利率n利息(interest)指借用某种资本(capital)的代价或借出某种资本的报酬。即借债人除偿还出借人(放款人)原来出借的资本外，还要支付一个附加的补偿，这个补偿叫做利息。n单位本金在单位时间（一个计息期）所获得的利息即效用利率 (effective rate of interest)，又称实际利率，简称为利率。单 利n假定一

2、个单位本金的投资在每一个单位时间所得的利息是相等的，而利息并不用于再投资。按这种形式增长的利息称为单利。n如果一位投资者把总额为C的本金存入单利为i的帐户(这期间没有其他存款和提款)那么，n年以后可得的利息为 第n年末的本利和，则 复 利 n复利就是假定每个计息期所得的利息可以自动地转成投资(本金)以在下一个计息期赚取利息n一般地，如果将本金C存入复利为i的帐户，我们假定之后没有对该帐户的存款和提款，设表示第n年末的本利和，那么，第n 1年的利息为 则第n 1年末的本利和为 复 利第二节 现金流量 n精算师在实际工作中经常涉及到对各种现金流量(cash flows)的管理，现金流量就是在不同时

3、期支出或收入的资金金额。 例如，一家保险公司会得到保费和投资收入，并支出理赔和支付管理费用。从公司的角度，我们把保费和投资收入看作是具有正值的现金流量(指获得的资金)，而理赔和管理费用的支出看作是负值的现金流量(指支出的资金)。n主要包括以下内容： 一、偿债抵押 二、无息债券 三、固定利息债券 四、指数关联证券 五、基本人寿保险一、偿债抵押n假设一个人为了买一所房子，想从建设银行或一家其他银行借一笔钱。银行可能会与他签订一个贷款合同，根据合同，借款者在每月月末支付一系列款项，一直到偿还完全部贷款为止。获准用贷款购买的房地产通常作为该项贷款的抵押物。我们通常称之为房屋抵押贷款。一、偿债抵押n例如

4、，假设一家银行准备发放一笔80万元的贷款，贷款分次偿还，在20年内每月偿还5000元。从借款者的角度看，这项交易的现金流量如下所示： 注意，在上表中，时间是从贷款之日起按月计量的。二、无息债券 n“无息债券”(zero-coupon bond)是指这样一种证券，它没有固定的利息支付，而只是在未来的某一特定日期支付一笔约定的金额。例如，某种债券承诺在2010年10月1日支付给持有者70,000元，此外没有其他支付，这种债券就是一种无息债券，假定在1998年10月1日这种债券的价格是35,160元，对于一个在这一天购买该债券的投资者来说，其现金流量如下所示： 三、固定利息债券n政府或公司常常会通过

5、发行债券的方式筹措资金，在许多情况下这种筹措资金以固定利息债券的形式出现，这种债券以某一个确定的名义金额的债券形式发行。最简单的是：债券持有者在未来某些特定时间将得到约定金额的一次总付款以及一系列约定的利息报酬。n在一些国家里政府发行的固定利息债券通常被称为“金边债券”或“金边证券”(“gilt edged stocks”或“gilts”)。 三、固定利息债券n例如，一个票息为7.6%，2016年到期的财政债券，持有一张这种面额为1,000元的债券的人有以下权利：每年获得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2016年9月30日(包括这一天也支付利息)，并且在这一天偿还本金1,000元。

6、设想一名投资者在1998年9月30日以P元的价格购买了这样一张债券(刚好在当时到期的利息被支付以后)。如果该投资者不必纳税并且持有该债券直至最后偿付日(而不是在早一些时候卖出)，他这项交易的现金流量如下表13所示：n 三、固定利息债券n如果在上例中，利息改为分期支付，每半年支付一次(每次金额为38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2016年9月30日(包括这一天也支付利息)，则他这项交易的现金流量如表14所示： n表14 四、指数关联证券 n传统的固定利息债券每期的利息支付都是同样的金额。如果经济活动中的通货膨胀得不到控制，随着时间的流逝，一定金额的货币的购买力会减少，尤其当通货

7、膨胀率高时效果更为明显。由于这种原因，一些投资人被这样一种证券所吸引，这种证券的利息支付和最终本金返还的实际现金量是与一种反映通货膨胀影响的适当的指数相关联的。n最主要的这种指数是零售物价指数(retail prices index)或简称为RPI。该指数的值每月公布，有时要调整基准。例如英国的指数是以1987年1月为100作为基准的。8年以后的1995年1月，该指数值为146.0，从1987年1月至1995年1月，该指数和年平均增长率为4.844% 。本书对指数关联证券不做详细讨论，但是，我们值得注意的是英国政府于1975年6月发行了指数关联国民储蓄存单(index-linked natio

8、nal savings certificates)并于1981年3月首次发行了指数关联债券。 四、指数关联证券五、基本人寿保险 n（一）定期寿险保单 定期寿险保单是这样一种合同；当保单持有人(即投保人)在保单规定期限内死亡时，寿险公司一次性给付一笔保险金(sum assured)，这种保单的期限可能会很长(例如20年)，也可能会较短(例如一年甚至更短)。 定期寿险保单通常以每年支付一定保费的方式购买，保费通常(但不是必须)是固定金额。年保费通常在保单期限内的每年年初支付，直到被保险人死亡终止或期满，但是，偶尔保费也可能在较短一些的时期里付清或者可以用单独一笔保费购买保单（称为趸缴保费）。 五、

9、基本人寿保险n（一）定期寿险保单 例如，考虑如下这个期限为15年的定期寿险保单，保险金额为1,000,000元，每年初支付保费2,000元，保险金在死亡之年年末给付(在保单期限内)。这里的保费金额相对较小，它反映出保单持有人的年龄较小以及相应的死亡风险费低。 如果保单持有人在投保第九年死亡，那么从人寿保险公司的角度看，该保单能够提供九次数额为正值的现金流量，分别在0，1，2，8时刻(从开始投保起按年计)，每次金额为2,000元，该保单在时刻9发生一次负值的现金流量(金额为1,000,000元)。但是，如果保单持有人在保单期限内没有死亡，人寿保险公司将获得每次金额为2,000元的15次数额为正值

10、的现金流量，并且不必返还任何款项。 五、基本人寿保险n（二）两全保险保单 两全保险保单是这样一种合同：当被保险人在保险期内死亡时，或在保险期满时他还活着，寿险公司一次性给付一笔保险金。这种保单经常以每年预付一定水平的保费的方式购买、在被保险人死亡时或在保单期满时终止。 考虑如下这个期限为15年的两全保险保单，投保金额为1,000,000元，每年初支付保费58,000元，应付死亡保险金在死亡之年年末支付。对于该保单来说，如果保单持有人在投保第九年死亡，那么从人寿保险公司的角度看，该保单能够提供九次数额为正值的现金流量，分别在0，1，2，8时刻；以及在时刻9的一次数额为负值的现金流量(金额为1,0

11、00,000元)。如果保单持有人在保单期限内没有死亡，人寿保险公司将获得15次每次金额为58,000元的数额为正值的现金流量(在0，1，2，14时刻)以及在时刻15的一次数额为负值的现金流量(金额为1,000,000元)。 五、基本人寿保险n（三）年金保单 两全保险金是一次性地给付一笔保险金。年金保单是给付一系列有规律的返还款项作为保险金，年金给付的确切条件有明确的规定。 最简单的年金可能是这样：在保单持有人生存期间，每年年末给付一定的水平的款项，假如，设想现在发行一种为年龄60岁的女性准备的保单，人寿保险公司一次性收取100，000元的保费，在保单持有人生存期间每年年末付9，400元。 如果

12、保单持有人在保单第七年死亡(即在6和7时刻之间死亡，时间是从发行保单之日起按年计算)，人寿保险公司的该合同的现金流量将包括在时刻0的一笔数额为正值的现金流量(100，000元)和以后的在1，2，3，6时刻的数额为负值的现金流量(每次9，400元)，但是如果保单持有人在保单生效后一年内死亡，人寿保险公司，无论怎样都不会发生数额为负值的现金流量。 还存在其他种类的年金保险合同，例如，保单条款可能会规定在保单持有人生存期间每年年末给付年金，但是给付次数有一个总的上限。这种保单被称为定期生命年金。第三节 利率、终值与现值n一、实际利率与名义利率的含义n二、终值n三、现值一、实际利率与名义利率的含义 n

13、（一）实际利率 我们考虑一种投资，其本金和利息在固定期限的期末支付，没有期中支付的任何数额的利息和本金。 在讨论利息问题中时间单位是个重要的概念，它可能是1个月或1年，在实践中较常用的是一年，然而，在某些情况下，选择一个其他的时间单位(例如6个月)也可能会简化问题。 设想一个从t时刻开始，期限为1时间单位的金额为1元的投资，假设在t 1时刻返还1i (t)，i (t)即前面提到的该时期的实际利率(effective rate of interest)，称为实际利率是为了把它同下面将讨论的名义利率表面利率区分开来(rates of norminal or flat interest)。如果假定利

14、率不取决于投资的金额，那么在t时刻的投资C在t 1时刻返还的现金是C1 i (t)。容易看出，C从时刻0到时刻n(n是整个正整数)的本利总和为： 一、实际利率与名义利率的含义n（一）实际利率一、实际利率与名义利率的含义n（二）名义利率 名义利率是相对于实际利率而言的。我们通过一个例子来说明名义利率的概念。 一、实际利率与名义利率的含义n（二）名义利率二、终值 n在一定的利率情况下，一笔款项A经过K个时间单位后，其本利和成为B，我们称B为A经过K个时间单位后的终值，A为B在K个时间单位前的现值。n以计息期为一年的情况来说，假定各年的利率水平是不变的，初始时的1元到了1年后变成了（1i）元， 2年

15、后变成了（1i）2，我们称（1i）为1元钱在1年后的终值，称（1i）2为1元钱在2年后的终值。例如，年利率为5%时，1元钱在1年后的终值为1.05元（图11），12年后的终值为（10.05）12=1.79586元（图12）。 n一般地，1元经过n年后变成了（1i）n，C元经过n年后变成了元，我们称（1i）n为1元钱在n年后的终值，称C（1i）n为C元钱n年后的终值。 二、终值三、现值 三、现值第四节 利息力 n一、利息力与终值函数n二、利息力与现值函数一、利息力与终值函数一、利息力与终值函数一、利息力与终值函数一、利息力与终值函数二、利息力与现值函数 二、利息力与现值函数第五节 现金流量的现值

16、n一、离散的现金流量n二、连续的现金流量n三、现金流量的估值一、离散的现金流量二、连续的现金流量 二、连续的现金流量二、连续的现金流量n到此为止，我们假定所有的支付，不论是离散的，还是连续的，都是正值，如果某人有一系列的收入款项(可以把它看作是正值)以及一系列的支出款项(可以看作是负值)，则它们的净现值(net present value)被定义为数额为正值的现金流量总和与数额为负值的现金流量总和的差。 三、现金流量的估值 三、现金流量的估值三、现金流量的估值三、现金流量的估值三、现金流量的估值第六节 利息收入 n考虑这样一位投资者，他不希望扩大本金，但是想获得一种收入，同时保持他的本金固定在

17、数额C上，如果利率固定为每单位时间i，并且投资者希望在每单位时间末端获得利息收入，很显然，他的收入将是在每个单位时间末端的iC，直至他提取了本金。第六节 利息收入第六节 利息收入第六节 利息收入第七节 固定利率 第七节 固定利率n这样，为了在时间1能够得到1元的返还，投资者必须在时间0投入(1d)元资金。这就相当于1单位时间后到期的1元钱，在单位时间里产生的利息为d。因此d被称为单位时间贴现率。为了避免与名义贴现率混淆，d有时被称为单位时间实际贴现率。n我们举例来说明贴现率的概念。如果A有一张一年后到期的面额为100元的票据，他想立即到银行兑现，银行只给他兑现了90元，也就是说银行扣去了10%

18、，我们称10%为实际贴现率，简称贴现率。n例如，某人以8%的实际贴现率向银行贷款100元，银行将先收取8元的利息而只给92元，一年后，他向银行偿还贷款100元。n显然，实际贴现率是在一年内的利息量（或称贴现量）与期末资金总额的比率。第七节 固定利率第七节 固定利率第八节 名义利率与名义贴现率 第八节 名义利率与名义贴现率第八节 名义利率与名义贴现率第八节 名义利率与名义贴现率第八节 名义利率与名义贴现率第八节 名义利率与名义贴现率第八节 名义利率与名义贴现率n因此，如果采用一个四分之一年作为基础时间单位，并且使用3%作为实际利率，则我们可以简单地估计未来的支付。 也就是说，选择与名义利率计息(转换)频率相符的期间为基本的时间单元，使用作为每单元时间的实际利率。例如，对于按月计息的年名义利率18%，我们便可以将一个月作为时间单位且1.5%作为每个时间单位的利率。 第八节 名义利率与名义贴现率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率第九节 价值方程和交易收益率