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1、1 【2012 考研必备资料】高等数学知识点归纳第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型: (1)数列: *( )naf n;*1()nnaf a (2)初等函数 : (3)分段函数 : *0102( )( ),( )xxfxF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合( 含) 函数: ( ),( )yf uux (5)隐式( 方程): ( , )0F x y (6)参式( 数一, 二): ( )( )xx tyy t (7)变限积分函数 : ( )( , )xaF xf x t dt (8)级数和函数 (数一, 三): 0( ),nnnS xa x
2、x 2. 特征(几何): (1) 单调性与有界性 ( 判别); ( )f x单调000,()( )()xxxf xf x定号) (2) 奇偶性与周期性 ( 应用). 3. 反函数与直接函数 : 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类型: *limnna;*lim( )xf x(含x);*0lim( )xxf x ( 含0xx) 2. 无穷小与无穷大 ( 注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,0 4. 性质: *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 11nn, 1(0)1naa, 1()max( , , )nnnnab
3、ca b c , 00!naan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页2 1(0)xx, 0lim1xxx, lim0nxxxe, lnlim0nxxx, 0limln0nxxx,0,xxex四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, sin( )( )u xu x:;tan ( )( )u xu x:;211cos ( )( )2u xux:; ( )1( )u xeu x:; ln(1( )( )u xu x:;(1( )1( )u xu x:; arcsin( )( )u xu x:; arc
4、tan ( )( )u xu x:2. 泰勒公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo x; (3)341sin()3!xxxo x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常规方法 : 前提: (1)准确判断0,1 ,0M( 其它如 :00,0, 0 ,); (2)变量代换( 如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积 (M ) (注:1sin1,xx) 3. 处理(其它如 :000 ,) 4. 左右极限 ( 包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex;1
5、(0)xex; (3)分段函数 : x , , max( )f x 5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注: 非零因子 ) 6. 洛必达法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页3 (1) 先”处理” , 后法则(00最后方法 );( 注意对比 : 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2) 幂指型处理 : ()( )ln( )( )v xv xu xu xe( 如: 1111111(1)xxxxxeeee) (3) 含变限积分 ; (4) 不能用与不便用 7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ):
6、 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : ( )lim( , )nf xF x n( 分段函数 ) 六. 非常手段 1. 收敛准则 : (1)( )lim( )nxaf nf x (2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnb ca (3)单边挤 : 1()nnaf a*21?aa *?naM *( )0?fx2. 导数定义 (洛必达 ?):00lim()xffxxVVV 3. 积分和 :10112lim( )()()( )nnffff x dxnnnnL, 4. 中值定理 : lim()( )lim( )xxfxaf xaf 5. 级数和 ( 数一三): (1)1nna收敛lim0nna
7、, ( 如2!limnnnnn)(2)121lim()nnnnaaaaL, (3)na与11()nnnaa同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价, 阶): *( ),(0)?nf xkxx:(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffaL( )()!nnnaaf xxxxnn: (2)00( )xxnf t dtkt dt:2. 渐近线 ( 含斜): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )f xaxb:(2)( )f xaxb,(10x) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数); (2)分段函数连续性 (附: 极限函数 , ( )fx连
8、续性 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页4 八. , a b上连续函数性质 1. 连通性 :( , ),fa bm M ( 注:01, “平均”值:0( )(1)( )()f af bfx) 2. 介值定理 :( 附: 达布定理 ) (1)零点存在定理 : ( )( )0f a f b0()0f x( 根的个数 ); (2)( )0( )0xaf xf x dx. 第二讲 : 导数及应用 ( 一元)( 含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 :( )fx0()( )limxf xxf xxVVV;
9、 0()fx000( )()limxxf xf xxx(1)0( )(0)(0)limxf xffx( 注:0( )lim(xf xA fx连续)(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3) 可导与连续 ; (在0x处, x 连续不可导 ; x x 可导) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dxVVVV (1)可微可导 ; (2)比较,fdf与 0 的大小比较 ( 图示); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注: ( ) )f x) 2. 法则: (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3
10、)反函数1dxdyy三. 各类求导 ( 方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( )xafx; (2)分段函数左右导 ; (3)0()()limhf xhf xhh( 注: 00( )( ),xxF xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 ( 公式加法则 ): (1) ( )uf g x, 求:0()u x( 图形题 ); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页5 (2)( )( )xaF xf t dt , 求:( )Fx (注: ( , ), ( , ),
11、( )xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx, 求00(),()fxfx及0()fx ( 待定系数 ) 3. 隐式( ,)0f x y)导:22,dyd ydxdx(1) 存在定理 ; (2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ). (3) 对数求导法 . 4. 参式导 ( 数一, 二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx 5. 高阶导()( )nfx公式: ()()axnnaxea e;( )11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn; ( )(cos)
12、cos()2nnaxaaxn( )()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uvL注: ( )(0)nf与泰勒展式 : 2012( )nnf xaa xa xa xLL()(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 ( 法线); (区别: ( )yf x上点和过点的切线 ) 2. 物理: ( 相对) 变化率速度 ; 3. 曲率(数一二 ): 23( )( 1 ( )fxfx( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值 (必求导 ) 1. 判别( 驻点0()0fx): (1)( )0
13、( )fxf x Z; ( )0( )fxf x ; (2)分段函数的单调性 (3)( )0fx零点唯一 ; ( )0fx驻点唯一 ( 必为极值 , 最值). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页6 2. 极值点 : (1)表格( )fx变号); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1) 与,ff的匹配 ( 图形中包含的信息 ); (2)实例: 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点“0xx”的特
14、点 . (3) 闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别: *单变量与双变量 ? * , xa b与 ,),(,)xax? (2)类型: *0,( )0ff a; *0,( )0ff b *0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: max( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数 : 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. y表格;(0()0fx) 2. 应用: (1)泰勒估计 ; (2)单调; (3)凹凸. 七. 罗
15、尔定理与辅助函数 : (注: 最值点必为驻点 ) 1. 结论: ( )( )( )( )0F bF aFf 2. 辅助函数构造实例 : (1)( )f( )( )xaF xf t dt(2)( ) ( )( )( )0( )( ) ( )fgfgF xf x g x(3)( )( ) ( )( )( )0( )( )f xfgfgF xg x (4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxF xef x ; 3. ( )( )0( )nffx有1n个零点(1)( )nfx有个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
16、23 页7 4. 特例: 证明( )( )nfa的常规方法 : 令( )( )( )nF xf xPx有1n个零点( )nPx待定) 5. 注: 含12,时, 分家!( 柯西定理 ) 6. 附( 达布定理 ): ( )f x在 , a b可导,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理 1. 结论: ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计: ( )ffxVV九. 泰勒公式 ( 连接,fff之间的桥梁 ) 1. 结论: 2300000011( )()()()()()( )()2!3!f xfxfxxxfxxxfxx;
17、 2. 应用: 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计十. 积分中值定理 (附: 广义): 注: 有定积分 (不含变限 ) 条件时使用 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF xc注(1)( )( )xaF xf t dt ( 连续不一定可导 ); (2)()( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x ( )f x连续) 2. 不定积分性质 : (1)( )( )f x dxf x; ( )( )dfx dxf x dx(2)(
18、 )( )fx dxf xc;( )( )dfxf xc二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212( )( )( )( )k f xk g x dxkf x dxkg x dx 3. 凑微法 ( 基础): 要求巧 , 简, 活(221sincosxx) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页8 如: 211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)( ln)1xdxdxx dxd xxx 4. 变量代换 : (1) 常用( 三角代换
19、 , 根式代换 , 倒代换 ): 1sin ,1xxtaxbttetx(2) 作用与引伸 ( 化简): 21xxt 5. 分部积分 ( 巧用): (1) 含需求导的被积函数 ( 如ln ,arctan ,( )xaxxf t dt ); (2) “反对幂三指” : ,ln,naxnx e dxxxdx(3) 特别: ( )xf x dx (* 已知( )f x的原函数为( )F x; *已知( )( )fxF x) 6. 特例: (1)11sincossincosaxbxdxaxbx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法 ; (3)( )( )nv xdxux三
20、. 定积分 : 1. 概念性质 : (1)积分和式 (可积的必要条件 : 有界, 充分条件 : 连续) (2)几何意义 (面积, 对称性 , 周期性 , 积分中值 ) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx (3)附: ( )()baf x dxM ba , ( ) ( )( )bbaaf x g x dxMg x dx ) (4)定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分( )( )xaxf t dt的处理 ( 重点) (1)可积连续, 连续可导 (2)( )xaf t dt( )f x; () ( )( )xxaaxt f t dtf t dt
21、; ( )()( )xaf x dtxa f x (3)由函数( )( )xaF xf t dt 参与的求导 , 极限, 极值, 积分( 方程)问题3. NL 公式: ( )( )( )baf x dxF bF a ( )F x在 , a b上必须连续 !) 注: (1)分段积分 , 对称性 ( 奇偶), 周期性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页9 (2)有理式 , 三角式 , 根式 (3)含( )baf t dt 的方程 . 4. 变量代换 :( )( ( ) ( )baf x dxf u t u t dt(1)
22、00( )()()aaf x dxf ax dx xat , (2)0( )()()( )()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx ( 如:4411 sindxx) (3)2201sinnnnnIxdxIn, (4)2200(sin )(cos )fx dxfx dx; 200(sin )2(sin )fx dxfx dx, (5)00(sin)(sin)2xfx dxfx dx, 5. 分部积分 (1)准备时“凑常数”(2) 已知( )fx或( )xaf x时, 求( )baf x dx 6. 附: 三角函数系的正交性 : 222000sincossincos0nxdxnx
23、dxnxmxdx2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四. 反常积分 : 1. 类型: (1)( ),( ),( )aaf x dxf x dxf x dx ( )f x连续) (2)( )baf x dx: ( )f x在,()xaxbxc acb处为无穷间断 ) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法 NL公式极限 (可换元与分部 ) 4. 特例: (1)11pdxx; (2)101pdxx五. 应用: ( 柱体侧面积除外 ) 1. 面积, (1)( )( );baSf xg x dx (2)1( )dcSfy dy ; (
24、3)21( )2Srd; (4)侧面积 :22( ) 1 ( )baSf xfx dx 2. 体积: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页10 (1)22( )( )bxaVfxgx dx; (2)12( )2( )dbycaVfydyxf x dx (3)0xxV与0yyV 3. 弧长: 22()()dsdxdy (1)( ), , yf xxa b21 ( )basfx dx (2)12( ), ,( )xx ttt tyy t2122 ( ) ( )ttsxtyt dt (3)( ),rr: 22( ) ( )
25、srrd 4. 物理(数一, 二)功, 引力, 水压力 , 质心, 5. 平均值 ( 中值定理 ): (1)1 , ( )baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t dtfx, ( 以为周期 :0( )Tf t dtfT) 第四讲 : 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解 ( 注: 应用题中的隐含条件 ) 2. 变换方程 : (1)令( )xx tyDy( 如欧拉方程 ) (2)令( ,)( , )uu x yyy x uy(如伯努利方程 ) 3. 建立方程 (应用题 ) 的能力二. 一阶方程 : 1. 形式: (1)( , )yf x y;
26、(2)( , )( ,)0M x y dxN x y dy; (3)( )y ab 2. 变量分离型 : ( ) ( )yf x g y (1)解法: ( )( )( )( )dyf x dxG yF xCg y (2) “偏”微分方程 : ( ,)zf x yx; 3. 一阶线性 ( 重点): ( )( )yp x yq x(1) 解法( 积分因子法 ): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页11 (2)变化: (
27、)( )xp y xq y; (3) 推广: 伯努利 ( 数一) ( )( )yp x yq x y 4. 齐次方程 : ()yyx (1)解法: ( ),( )ydudxuuxuuxuux(2) 特例: 111222a xb ycdydxa xb yc 5. 全微分方程 (数一): ( ,)( ,)0M x y dxN x y dy且NMxydUMdxNdyUC 6. 一阶差分方程 (数三): 1*0( )( )xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b三. 二阶降阶方程 1. ( )yfx: 12( )yF xc xc 2. ( ,)yf x y: 令( )( ,)dpyp x
28、yf x pdx 3. ( ,)yfy y: 令( )( ,)dpyp yypf y pdy四. 高阶线性方程 : ( ) ( )( )( )a x yb x yc x yf x 1. 通解结构 : (1)齐次解 : 01122( )( )( )yxc yxc yx (2)非齐次特解 :1122( )( )( )*()y xc yxc yxyx 2. 常系数方程 : ( )aybycyf x (1)特征方程与特征根 : 20abc (2)非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; (附: ( )axf xke的算子法 ) (3)由已知解反求方程 . 3. 欧拉方程 (数一): 2( )ax ybxy
29、cyf x, 令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页12 2(1) ,txex yD Dy xyDy五. 应用(注意初始条件 ): 1. 几何应用 ( 斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 ); 可设( )( ),( )0xaf x dxF x F a3. 导数定义立方程 : 含双变量条件()f xyL的方程 4. 变化率 ( 速度) 5. 22dvd xFmadtdt6. 路径无关得方程 ( 数一): QPxy7. 级数与方程 : (1) 幂级数求
30、和 ; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayayL8. 弹性问题 (数三) 第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续 , 偏导, 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyyVVVV (2)lim,lim,limyxxyfffffxy (3)22, lim()()xyfdffxfydfxyVVVV ( 判别可微性 ) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim
31、,(0,0)limxyxyf xffyfffxy2. 特例: (1)22(0,0)( , )0,(0,0)xyxyf x y: (0,0)点处可导不连续 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页13 (2)22(0,0)( , )0,(0,0)xyf x yxy: (0,0)点处连续可导不可微 ; 二. 偏导数与全微分的计算 : 1. 显函数一 , 二阶偏导 : ( , )zf x y注: (1)型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分 2. 复合函数的一 , 二阶偏导 (重点): ( , ), ( ,
32、)zf u x yv x y熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用 3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ): (1) 形式: *( , , )0F x y z; *( , , )0( , , )0F x y zG x y z( 存在定理 ) (2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性):0xyzF dxF dyF dz ( 要求: 二阶导) (3)注: 00(,)xy与的及时代入 (4)会变换方程 . 三. 二元极值 ( 定义?); 1. 二元极值 ( 显式或隐式 ): (1) 必要条件 (驻点); (2)充分条件 (判别) 2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) (注:
33、应用) (1)目标函数与约束条件 : ( , )( , )0zfx yx y, (或: 多条件 ) (2)求解步骤 : ( , , )( , )( , )L x yf x yx y, 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值 ( 重点). (1)( , )( , )( , )0zf x yMDx yx y (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算 : 1. 概念与性质 ( “积”前工作 ): (1)Dd, (2)对称性 ( 熟练掌握 ):* 域轴对称 ; * 奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ;* 重心坐标 ; (3)“分块”积分 : *12DDDU; *( , )fx y分片定义 ; *( ,)f
34、 x y奇偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页14 2. 计算(化二次积分 ): (1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换): 以“”为主 ; (2)交换积分次序 ( 熟练掌握 ). 3. 极坐标使用 (转换): 22()f xy附: 222:()()DxaybR; 2222:1xyDab; 双纽线222222()()xyaxy:1Dxy 4. 特例: (1)单变量 : ( )f x或( )fy (2)利用重心求积分 : 要求: 题型12()Dk xk y dxdy, 且已知的面积与重心( ,)x y5. 无界域上
35、的反常二重积分 ( 数三) 五: 一类积分的应用 ():;f M dDL): 1. “尺寸” : (1)DDdS ; (2)曲面面积 (除柱体侧面 ); 2. 质量, 重心(形心), 转动惯量 ; 3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 . 第六讲 : 无穷级数 (数一, 三) 一. 级数概念 1. 定义: (1)na, (2)12nnSaaaL; (3)limnnS ( 如1(1)!nnn) 注: (1)limnna; (2)nq(或1na); (3)“伸缩”级数 :1()nnaa收敛na收敛. 2. 性质:(1) 收敛的必要条件 : lim0nna; (2)加括号后发散 , 则
36、原级数必发散 ( 交错级数的讨论 ); (3)221,0nnnnss assss; 二. 正项级数 1. 正项级数 : (1)定义: 0na; (2)特征:nS Z; (3)收敛nSM( 有界) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页15 2. 标准级数 : (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn 3. 审敛方法 : ( 注:222abab,lnlnbaab) (1)比较法 ( 原理):npkan:( 估计), 如10( )nf x dx;( )( )P nQ n (2)比值与根值 : *1limnn
37、nuu*limnnnu( 应用: 幂级数收敛半径计算 ) 三. 交错级数 ( 含一般项 ): 1( 1)nna (0na) 1. “审”前考察 : (1)0?na (2)0?na; (3)绝对( 条件)收敛? 注: 若1lim1nnnaa, 则nu发散 2. 标准级数 : (1)11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn 3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛?) (1)前提: na发散; (2)条件: ,0nnaa; (3)结论: 1( 1)nna条件收敛 . 4. 补充方法 : (1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2)221,0nnnnss assss
38、. 5. 注意事项 : 对比na ; ( 1)nna ; na; 2na 之间的敛散关系四. 幂级数 : 1. 常见形式 : (1)nna x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx 2. 阿贝尔定理 : (1)结论: *xx敛*0Rxx; *xx散*0Rxx (2)注: 当*xx条件收敛时*Rxx 3. 收敛半径 , 区间, 收敛域 ( 求和前的准备 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页16 注(1),nnnnana xxn与nna x 同收敛半径 (2)nna x与20()nnaxx之间的转换
39、 4. 幂级数展开法 : (1) 前提: 熟记公式 ( 双向, 标明敛域 ) 23111,2!3!xexxxRL24111()1,22!4!xxeexxRL35111(),23!5!xxeexxxRL3511sin,3!5!xxxxRL2411cos1,2!4!xxxRL; 211,( 1,1)1xxxxL; 211,( 1,1)1xxxxL2311ln(1),( 1,123xxxxxL2311ln(1), 1,1)23xxxxxL3511arctan, 1,135xxxxxL (2)分解: ( )( )( )f xg xh x( 注: 中心移动 ) (特别: 021,xxaxbxc) (3)
40、考察导函数 : ( )( )g xfx0( )( )(0)xf xg x dxf (4)考察原函数 : 0( )( )xg xf x dx( )( )fxgx 5. 幂级数求和法 (注: * 先求收敛域 , *变量替换 ): (1)( ),S x (2)( )S xL,( 注意首项变化 ) (3)( )()S x, (4)( )( )S xS x的微分方程 (5) 应用:( )(1)nnnnaa xS xaS. 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用 ( 数三): (1) 复利: (1)nAp; (2)现值: (1)nAp五. 傅里叶级数 (数一):(2T) 精选学习资料 - - - - -
41、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页17 1. 傅氏级数 ( 三角级数 ): 01( )cossin2nnnaS xanxbnx 2. Dirichlet 充分条件 ( 收敛定理 ): (1) 由( )( )f xS x( 和函数 ) (2)1( )()()2S xf xf x 3. 系数公式 : 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnaf xnxdxaf x dxnbf xnxdxL 4. 题型:( 注: ( )( ),?f xS x x) (1)2T且( ),(,f xxL( 分段表示 ) (2)(,x或0,2 x (3)0,
42、x正弦或余弦*(4)0,x( T) *5. 2Tl 6. 附产品 : ( )f x01( )cossin2nnnaS xanxbnx00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x第七讲 : 向量, 偏导应用与方向导 ( 数一) 一. 向量基本运算1.12k ak brr; ( 平行bavv) 2. ar; (单位向量 (方向余弦 )01(cos ,cos,cos )aaauu vvv) 3. a br r; ( 投影:( )aa bbavv vvv; 垂直:0aba bvvv v; 夹角:( , )a ba ba bv vv vSv v) 4. abrr;
43、( 法向:,naba bvvvv v; 面积:SabYvv) 二. 平面与直线1. 平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页18 (1)特征( 基本量 ): 0000(,)( ,)Mxy znA B Cv (2)方程( 点法式):000:()()()00A xxB yyC zzAxByCzD (3)其它: *截距式1xyzabc; *三点式 2. 直线 (1)特征( 基本量): 0000(,)( , ,)Mxyzsm n pv (2)方程( 点向式): 000:xxyyzzLmnp (3)一般方程 (交面式 ):
44、1111222200A xB yC zDA xB yC zD (4)其它: *二点式;* 参数式 ;( 附: 线段AB的参数表示:121121121()() ,0,1()xaaa tybbb t tzccc t) 3. 实用方法 : (1) 平面束方程 : 11112222:()0A xB yC zDA xB yC zD (2)距离公式 : 如点000(,)Mxy到平面的距离000222AxByCzDdABC(3) 对称问题 ; (4)投影问题 . 三. 曲面与空间曲线 ( 准备) 1. 曲面 (1)形式: ( , )0F x y z或( , )zf x y; (注: 柱面( , )0f x
45、y) (2)法向(,)(cos ,cos,cos )xyznF FFv ( 或(,1)xynzzv) 2. 曲线(1) 形式( ):( )( )xx tyy tzz t, 或( , , )0( , , )0F x y zG x y z; (2) 切向: ( ),( ),( )sx ty tz tr ( 或12snnvu vu u v) 3. 应用 (1)交线, 投影柱面与投影曲线 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页19 (2)旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ; (3)锥面计算 . 四. 常用二次曲面 1
46、. 圆柱面 :222xyR2. 球面: 2222xyzR变形: 2222xyRz,222()zRxy, 2222xyzaz, 2222000()()()xxyyzzR3. 锥面: 22zxy变形: 222xyz, 22zaxy4. 抛物面 : 22zxy, 变形: 22xyz, 22()zaxy5. 双曲面 : 2221xyz 6. 马鞍面 : 22zxy, 或zxy五. 偏导几何应用1. 曲面 (1)法向: ( , , )0(,)xyzF x y znF FFv, 注: ( , )(,1)xyzf x ynffv (2)切平面与法线 : 2. 曲线 (1)切向: ( ),( ),( )( ,
47、 )xx tyy tzz tsxy zv (2)切线与法平面 3. 综合: 00FG , 12snnvu vu u v六. 方向导与梯度 (重点) 1. 方向导 ( 方向斜率 ): (1) 定义(条件):(, ,)(cos,cos,cos)lm n pv (2)计算( 充分条件 : 可微): coscoscosxyzuuuul附: 0( , ),cos , sin zf x ylu rcossinxyzfflr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页20 (3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyfff
48、fl 2. 梯度(取得最大斜率值的方向 ) : (1)计算: ( )( , )(,)xya zf x yGgradzffu v; ( )( , , )(,)xyzb uf x y zGgraduu u uu v (2)结论ul0G lu ru r; 取 lGu rv为最大变化率方向 ; 0()G Mu r为最大方向导数值 . 第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一) 一. 三重积分 (fdV ) 1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ): (1)对称性 ( 重点): 含: 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心 (2) 投影法 : 22212(, )( , )( ,)xyDx yxyRz x
49、 yzzx y(3) 截面法 : 222( )(, )( )D zx y xyRzazb(4) 其它: 长方体 , 四面体 , 椭球 2. 的特征 : (1)单变量( )f z, (2)22()f xy, (3)222()f xyz, (4)faxbyczd 3. 选择最适合方法 : (1) “积”前 : *dv; *利用对称性 (重点) (2)截面法 ( 旋转体 ): ( )baD zIdzfdxdy( 细腰或中空 , ( )f z, 22()fxy) (3)投影法 ( 直柱体 ): 21( , )( , )xyzx yzx yDIdxdyfdz (4)球坐标 ( 球或锥体 ): 22000
50、sin()RIddfd, (5)重心法 (faxbyczd): ()Iaxbyczd V精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页21 4. 应用问题 : (1) 同第一类积分 : 质量, 质心, 转动惯量 , 引力 (2)Gauss公式二. 第一类线积分 (Lfds) 1. “积”前准备 : (1)LdsL ; (2)对称性 ; (3)代入“”表达式 2. 计算公式 :22( ) , ( ( ), ( ) ( ) ( )( )baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t 3. 补充说明 : (1)
51、重心法 : ()()Laxbyc dsaxbyc L; (2)与第二类互换 : LLAdsA dru v vu vv 4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积,Lz x y ds三. 第一类面积分 (fdS) 1. “积”前工作 ( 重点): (1)dS;( 代入:( , , )0F x y z) (2)对称性 ( 如: 字母轮换 , 重心) (3) 分片2. 计算公式 : (1)22( , ),(,)( , ( , )1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy(2) 与第二类互换 : A ndSA dSu v vu vu v四: 第二类曲线积分 (1
52、):( , )( , )LP x y dxQ x y dy ( 其中有向 ) 1. 直接计算 : ( )( )xx tyy t,2112:( )( )ttt ttIPx tQy tdt常见(1) 水平线与垂直线 ; (2)221xy 2. Green公式: (1)()LDQPPdxQdydxdyxy?; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页22 (2)()L AB: *PQyy换路径 ; *PQyy围路径 (3)L?(xyQP但内有奇点 )*LL蜒(变形) 3. 推广( 路径无关性 ):PQyy (1)PdxQdy
53、du( 微分方程 )()BAL ABu( 道路变形原理 ) (2)( , )( , )LP x y dxQ x y dy与路径无关 ( 待定): 微分方程 . 4. 应用功(环流量 ): IF dru vv ( 有向,( ,)FP Q Ru v,(,)drdsdx dy dzvv) 五. 第二类曲面积分 : 1. 定义: PdydzQdzdxRdxdy, 或( , , )R x y z dxdy ( 其中含侧 ) 2. 计算: (1) 定向投影 (单项):( , , )R x y z dxdy, 其中:( , )zz x y( 特别: 水平面 ); 注: 垂直侧面 , 双层分隔(2) 合一投影
54、 (多项, 单层):(,1)xynzzv()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy (3)化第一类 (不投影 ): (cos,cos,cos)nv(coscoscos )PdydzQdzdx RdxdyPQRdS3. Gauss公式及其应用 : (1)散度计算 : PQRdivAxyzu v (2)Gauss公式: 封闭外侧 , 内无奇点Pdydz QdzdxRdxdydivAdvu v (3)注: *补充“盖”平面 :0; *封闭曲面变形( 含奇点 ) 4. 通量与积分 : A dSu vu v( 有向,AP Q Ru v,(,)d SndSdydz dzdx dxdyu
55、 vv) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页23 六: 第二类曲线积分 (2): ( , , )( , , )( , , )P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 1. 参数式曲线 : 直接计算 ( 代入) 注(1) 当0rot Au vv时, 可任选路径 ; (2)功(环流量 ): IF dru vv 2. Stokes公式: (要求: 为交面式 ( 有向), 所张曲面含侧 ) (1)旋度计算 : (,)( ,)RAP Q Rxyzu vu v (2)交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 : 00FG同侧法向,xyznFFFv或,xyzGGG; (3)Stokes公式( 选择): ()A drA ndSu vvu vv? ()化为Pdydz QdzdxRdxdy; ()化为( , , )R x y z dxdy; ()化为fdS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页
