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1、精品资料欢迎下载函数恒成立问题恒成立问题的基本类型:类型 1:设)0()(2acbxaxxf,(1)Rxxf在0)(上恒成立00且a;(2)Rxxf在0)(上恒成立00且a. 类型 2:设)0()(2acbxaxxf(1)当0a时,,0)(xxf在上恒成立2( )0baf或20ba或2( )0baf,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff(2)当0a时,,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立2( )0baf或20ba或2()0baf类型 3:min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切. 类型 4:)()()()()()()(maxmi
2、nIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切典例精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精品资料欢迎下载例 1()已知关于x的不等式03)1(4)54(22xmxmm对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围解: 首先讨论0542mm时,此时5m或1m. (1)当5m时,原不等式变为0324x,解得不等式为81x,与对一切实数x恒成立矛盾 . 所以不合题意. 当1m时,原不等式变为03,对一切实数x恒成立 , 所以符合题意. (2)0542mm,不等式是二次不等式,要使得不等式对一切实数x恒成立,需
3、要,满足0)54(12)1(16054222mmmmm,解得191m. 综上所述,实数m的取值范围为191m. 【本题中重点要注意二次项系数是否为0, 当二次项系数是为0 时, 代入不等式得到当1m时,对一切实数x恒成立;当二次项系数不为0 时,借助于二次函数图象得到函数】【本题中重点要注意二次项系数是否为0, 当二次项系数是为0 时, 代入不等式得到当1m时,对一切实数x恒成立;当二次项系数不为0 时,借助于二次函数图象得到函数】巩固练习1. ()若不等式02) 1()1(2xmxm的解集是R,求m的范围 . 解: (1)当01m时,原不等式化为02恒成立,满足题意;(2)01m时,只需0)
4、1( 8) 1(012mmm,所以,)9 , 1m. 【解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m ,所以要讨论m-1 是否是 0. 题目中没有说是一元二次不等式,所以二次项系数可以为 0. 】2. () 已知函数2( )3f xxaxa,若2 ,2x时,( )0f x恒成立, 求a的取值范围 . 解:22( )324aaf xxa,令( )f x在2,2上的最小值为( )g a. (1)当22a,即4a时,( )( 2)730g afa73a又4aa不存在 . (2)当222a,即44a时,2( )( )3024aag afa精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精品资料欢迎下载62a又44a42a(3)当22a,即4a时,( )(2)70g afa7a又4a74a综上所述,72a. 【此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间定】例 2 ()设124( )lg,3xxafx中aR,如果(.1)x时,( )f x恒有意义,求a的取值范围 . 解:如果(.1)x时,( )f x恒有意义1240xxa,对(,1)x恒成立 .212(22)4xxxxa(.1)x恒成立 . 令xt2,)()(2tttg又)1 ,(x则),21(2xt)(tga
6、对),21(2xt恒成立,又)(tg在),21(2xt上为减函数,max13( )()24tgg34a【如果(.1)x时,( )f x恒有意义,则可转化为1240xxa恒成立,即参数分离后212(22)4xxxxa,(.1)x恒成立, 接下来可转化为二次函数区间最值求解】巩固练习1.()已知当Rx时,不等式xxasin452cos恒成立,求实数a的取值范围.解:原不等式xxa2cossin45当Rx时,不等式xxa2cossin45恒成立即min)2cossin45(xxa设1)1(sin2)2sin2(sin2sin21sin452cossin45)(222xxxxxxxxf 1 , 1si
7、n x2a. 【不等式中含有两个变量a 及 x,本题必须由x 的范围( xR)来求另一变量a 的范围,故可考虑将a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精品资料欢迎下载例 3 () 已知函数)(xf是定义在 1 , 1上的奇函数, 且1)1(f,若 1 , 1,ba,0ba,有0)()(babfaf,(1)证明)(xf在 1 , 1上的单调性;(2)若12)(2ammxf对所有 1 ,1a恒成立,求m的取值范围 . 【分析: 第一问是利用定义来证明函数的单调
8、性,第二问中出现了3 个字母, 最终求的是m的范围,所以根据上式将m当作变量,a作为常量,而x则根据函数的单调性求出( )f x的最大值即可】解: (1)任取12,1,1x x且12xx,则21,1x1212()()0fxfxxx1212()()0xxf xfx又( )f x是奇函数1212()()0xxf xf x( )f x在1,1上单调递增。(2)解:2( )21f xmam对所有1,1x,1,1a恒成立,即2max21mamf,max(1)1ff2221120mammam即2( )20g aamm在1,1上恒成立( 1)1 20(1)1 20gaga1212aa1122a. 【对恒成立
9、问题,当字母比较多时,可以考虑换位思考,转化成另一个字母的函数,特别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精品资料欢迎下载是已知参数范围求自变量范围,会有助于解这类问题. 】巩固练习() 对于满足2|a的所有实数a, 求使不等式xaaxx212恒成立的x的取值范围 .【分析: 在不等式中出现了两个字母:x及a, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在-2 ,2 内关于a的一次函数大于0恒成立的问题】解:原不等式转化为012)1(2xxax, 设12) 1()(2xxaxaf, 则)(af在-2,2上恒大于0,故有:)2(0)2(ff即0103422xxx解得:1113xxxx或或1x或3x. 回顾总结(1)函数恒成立问题的理解:_ _ (2)函数恒成立问题常见的几种解法:_ _ (3) 转换主元法的使用类型:_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页