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1、精品资料欢迎下载第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性(1)定义:设函数y=f(x) 的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2) ) ,那么就说f(x) 在区间D上是 增 函 数 ( 减 函 数 ) , 区 间D为 函 数y=f(x) 的 增 区 间 ( 减 区 间 ) 概 括 起 来 , 即1212121212121212()()()()()()()()xxxxf xf xf xf xxxxxf xf xfxf x增函数或“同增异减 ”减函数或(2)函数单调性的证明的一般步骤:设1x,2x是区间D上的任意
2、两个实数,且12xx作差12()()f xf x,并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子;确定12()()f xf x的符号;给出结论证明函数单调性时要注意三点:1x和2x的任意性,即从区间D中任取1x和2x,证明单调性时不可随意用量额特殊值代替;有序性,即通常规定12xx;同区间性,即1x和2x必须属于同一个区间。(3)设复合函数xgfy是定义区间M上的函数,若外函数f(x)与内函数g(x) 的单调性相反,则xgfy在区间 M上是减函数;若外函数f(x) 与内函数g(x) 的单调性相同,则xgfy在区间 M上是增函数。概括起来,即“同增异减II号”(4)简单性质
3、:( )f x与( )f x单调性相同;( )f x与( )f x及1( )f x单调性相反在公共定义域内:增函数)(xf增函数)(xg是增函数;减函数)(xf减函数)(xg是减函数;增函数)(xf减函数)(xg是增函数;减函数)(xf增函数)(xg是减函数。(5)必须掌握特殊函数单调性 一次函数ykxb:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精品资料欢迎下载 二次函数2yaxbxc: 反比例函数kyx: 双钩函数kyxx:注:函数的多个单调区间通常不能用并集联接;单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出
4、来就是“向上”,减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值(1)定义:( )f x的最大值:( )f x最大的函数值;( )f x的最小值:( )f x最小的函数值(2)求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1定义 : 设 y=f(x),定义域为A且 A 关于原点对称,如果对于任意xA,都有()( )fxf x,称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x) ,定义域为A且 A关于原点对称, 如果对于任意xA,都有()( )fxf x,称y=f(x)为奇函数。概括起来,即( )( )()( )f xf xfxf x定义域关于原点对称为偶函数,( )( )()( )f xf xfxf x定义域关于
5、原点对称为奇函数2 函数奇偶性的判断的步骤:求( )f x定义域,若( )f x定义域不关于原点对称,则函数( )f x既不是奇函数也不是偶函数;若( )f x定义域关于原点对称,则判断( )f x与()fx的关系判断( )f x与()fx的关系,若()( )fxf x,则( )fx为偶函数;若()( )fxf x,则( )f x为奇函数;若()( )fxf x且()( )fxf x,则( )f x既是奇函数又是偶函数;若()( )fxf x且()( )fxf x,则函数( )f x既不是奇函数也不是偶函数3. 性质:(1)若( )f x为奇函数,则:()( )fxf x;( )f x图像关于
6、原点对称;0 在( )f x定义域内时有(0)0f;( )f x在关于原点对称的区间上单调性相同几种特殊的奇函数yx,3yx,1yx,sinyx(2)若( )f x为偶函数,则:()( )fxf x;( )f x图像关于y轴对称( )f x在关于原点对称的区间上单调性相反;几种特殊的偶函数:yx,2yx,cosyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精品资料欢迎下载注:若二次函数2yaxbxc为偶函数,则0b;在同一定义域内,=奇偶 奇,=奇奇奇,=偶偶 偶;既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式( )0f x二、典
7、例例题解析:题型一单调性的定义例 1 定义在R上的函数( )f x对任意两个不相等的实数,a b总有( )( )0f af bab, 试判断( )f x单调性。例 2 若( )f x在区间( , )a b上是增函数,在区间( , )b c上也是增函数,则函数( )f x在区间( , )( , )a bb c 上()A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有个若12,x xI,当12xx时,12()()f xf x,则( )yf x在I上是增函数函数2yx在R上是增函数;函数1yx在定义域上是增函数;1yx的单调区间是(,0)(0,)题型二单调
8、性的证明例1 证明函数1yxx在区间(0,1)上为减函数例2 证明函数2( )1f xxx在其定义域内是减函数例3 已知函数( )yf x在(0,)上为增函数,且( )0(0)f xx,试判断1( )( )F xf x在(0,)上的单调性,并给出证明过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精品资料欢迎下载题型三利用单调性求函数值域和最值例1 求下列函数的最值( )12f xxx;( )33f xxx;( )11f xxx1( )22f xxx1( ),1,)xf xxx变式如果函数2( )-23fxxx,求( )f x
9、的单调区间和值域例2 已知2( )2(1)2f xxa x在 (,4 ,上是减函数,求a的取值范围变式 1 已知2( )2(1)2f xxa x的减区间是(,4,求a的值变式 2 函数 f(x)= x 2 + 3x +2 在区间 (-5,5)上的最大值、最小值分别为()A、42,12 B、 42,-14C、 12,-14D、无最大值,最小值-14.变式 3 函数 y2x2(a1)x 3 在 (, 1内递减,在(1, ) 内递增,则 a 的值是() A.1B.3 C.5 D. 1 例 3若1( )2axf xx在区间(-2,)上是减函数,求a的的取值范围变式 1 函数( )yf x的图象如图所示
10、:则12( )logg xfx的单调减区间是()X Y O 121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精品资料欢迎下载2. 1,2.,1. 0,12,.,12,2ABCD和和变 式2 、 已 知3141l o g1aaxaxfxxx是 R 上的减函数,那么a的取值范围是()1111. 0 , 1.0 ,.,., 13737ABCD题型四抽象函数的单调性例1 已知函数( )yf x是 (,) 上的增函数,且(23)(56)fxfx,求x的取值范围变式已知函数( )yf x的定义域为 2,2,且( )f x在区间2, 2上
11、是增函数且(1)()fmf m,求m的取值范围例2 已知函数( )yf x在0,)上是减函数,比较3()4f与2(1)f aa的大小例3 已知定义在区间(0,)上的函数( )f x满足()( )( )xff xf yy, 且当1x时( )0fx求(1)f的值; 判定( )f x的单调性; 若(3)1f,求( )f x在2,9上的最小值变式已知定义在区间(0,)上的增函数( )f x满足()( )( )xff xfyy,(2)1f,解不等式1( )()23f xfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精品资料欢迎下载例4
12、 函数 f(x) 是定义在 (0 , ) 上的减函数,对任意的x,y(0 , ) ,都有 f(x y) f(x)f(y) 1,且 f(4)5. (1) 求 f(2) 的值; (2)解不等式f(m 2) 3 变式已知函数( )f x定义域为R,且对,m nR,恒有()()( )1f mnf mf n,且1()02f,当12x时,( )0f x求1( )2f 证明:( )f x在R上为增函数题型五 函数的奇偶性概念例 1 下列说法中错误的个数为()图像关于坐标原点对称的函数是奇函数图像关于y轴对称的函数是偶函数奇函数的图像一定过坐标原点 偶函数的图像一定与y轴相交A.4 B.3 C.2 D.0 变
13、式下列判断正确的是()A.定义在R上的函数( )f x,若( 1)(1)ff,且( 2)(2)ff,则( )f x是偶函数B.定义在R上的函数( )f x满足(2)(1)ff,则( )f x在R上是增函数C.定义在R上的奇函数( )f x在区间(,0上是减函数, 则在区间(0,上也是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六函数奇、偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性(定义法)31( )f xxx1( )(1)1xfxxx21( )22xf xx2( )21f xxx( )22f xxx22( )11f xxx1212)(xxxf)1lg()1lg()(xxxf例 2 判断下列函数奇偶
14、性(定义法或图像法)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精品资料欢迎下载(1),0( )(1),0x xxf xx xx22230( )00230xxxf xxxxx( )2,2, 1,0,1,2f xx例 3 判断下列函数奇偶性(抽象函数)( )( )()F xf xfx( )( )()F xf xfx( )( )()F xf xfx,其中( )f x为奇函数 函数( )f x定义域为R,并且对任意x y R、均满足()( )( )f xyf xf y,判断( )f x奇偶性,并证明。设函数( )(0)yfxx并且对
15、任意非零实数x y,均满足()( )( )f xyf xf y,求证 :( )f x为偶函数函数( )f x不恒为 0()xR,对任意x y R、均满足()()2 ( )( )f xyf xyf x f y求证 :( )f x为偶函数题型七奇偶性的应用1 求函数值例 1 已知53( )8f xaxbxcx且(3)10f,求( 3)f变式 1 已知f(x)=x5+ax3+bx6 且,f(3)=10 ,则f(-3) 的值为变式 2 已知定义在R上的奇函数f(x) 和偶函数g(x) 满足f(x) g(x) axax2 (a0,且a1)若g(2) a,则f(2) ( ) A2 B.154 C.174
16、Da2变式 3 已知 g(x)为奇函数,xxgxxxf2)()1(log)(22,且 f(-3)=841,求 f(3);变式 4 设f(x) 是定义在R上的奇函数,当x0 时,f(x) 2x2x,则f(1) ( ) A 3 B 1 C1 D3 变式 5 已知( )f x是定义在R上的奇函数, 若(2)( )f xf x,则(6 )f的值为 _ 2 求解析式例 1已知( )f x是奇函数,当0x时,( )2f xx x,求0x时,( )f x解析式变式 1 奇函数f(x) 在(0 , ) 上的解析式是f(x) x(1x) ,则在 ( , 0) 上f(x) 的函精选学习资料 - - - - - -
17、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精品资料欢迎下载数解析式是 ( ) Af(x) x(1 x) Bf(x) x(1 x) Cf(x) x(1 x) Df(x) x(x1) 变式 2 设 f(x) 为偶函数, g(x) 为奇函数,又f(x)+g(x)= 11x求 f(x)和 g(x). 例2 函数2( )=1axbf xx是定义在( 1,1)上的奇函数,且12()25f,求( )f x解析式变 式1若 函 数2()3fxa xxb是R上 的 奇 函 数 , 则)(xf的 解 析 式 为_ 变式 2 若函数(1)()yxxa为偶函数,求a3 解不等式例 1
18、 设( )f x为定义在R上的偶函数, 在(,0)上递增, 且(1)(21)f afa,求a的取值范围变式 1 已知偶函数f(x) 在区间 0 , ) 上单调递增,则满足f(2x1)f13的x取值范围是( )A.13,23 B.13,23 C.12,23 D.12,23变式 2( )f x为偶函数,在0,)上单调递减,且(21)(3)fxf x,求x的取值范围4 奇偶性与单调性的综合应用例1 设( )f x是R上的偶函数,( )f x在0,)上单调递增,试比较( 2),(3),( )fff大小例2 ( )f x是定义在R上的偶函数,且(3)0f,( )fx在0,)上单调递增,则不等式( )0f x的解集为 _ 变式 1 定义在 R上的偶函数f(x) , 对任意x1,x20 , )(x1x2) , 有2121()()0f xf xxx, 则( ) Af(3)f( 2)f(1) Bf(1)f( 2)f(3) Cf( 2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f( 2) 变式 2 设( )f x是定义在R上的奇函数, 且(2)0f,( )f x 在0,1上单调递增, 在1,)上单调递减,则不等式( )0f x的解集为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页