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1、精品资料欢迎下载ABOCD1500m 4560解直角三角形(三角函数)例 1.如图 1,海上有一灯塔P,在它周围6 海里内有暗礁一艘海轮以18 海里 /时的速度由西向东方向航行,行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60 的方向上,继续向东行驶20 分钟后,到达 B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45 方向上,如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险? 解:过 P 作 PCAB 于 C 点,根据题意,得AB182060 6, PAB 90 60 30 ,PBC90 45 45 , PCB 90 ,PCBC在 RtPAC 中,tan30 6PCPCABBCPC,即336PCPC,解得 PC 3 3
2、3 3 33 6,海轮不改变方向继续前进无触礁危险例 2.如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度已知在离地面1500m 高度 C 处的飞机上,测量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为60 和 45 求隧道AB 的长 (31.73) 解: OA350033150030tan1500,OB=OC=1500 ,AB=635865150035001500(m). 答:隧道AB 的长约为635m. 例 3.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面的夹角为20 (即图 2 中 ACB=20 )时最为合适,已
3、知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD 的长度(参考数据: sin200.3420,cos20 0.9397,精确到 0.1m). 由题意可知: ABBC在 RtABC 中, sinACB=ABACAC= ABsin ACB= 1.5sin20 = 1.50.3420 4.39mCD = AC+AD= 4.39+0.5 = 4.89 4.9m答:木板的长度约为4.9m.例 4.九( 1)班的数学课外小组,对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案:如图7,站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向,再向正
4、北方向前进10 米到达 B 处,又测得石雕C 在其南偏东30 方向你认为此方案A B P 北东图 1 A B P 6045北东C A B C D 图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精品资料欢迎下载NMBADCFEDCBA45376537北北A C B D B A D C 北东西南能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗?若可以,请计算此距离是多少米(结果保留到小数点后一位)?解:此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离过点 A 作南岸所在直线的垂线,垂足是点D,AD 的长即为所求在RtADC中
5、,9045ADCDAC ,DCAD在RtBDC中,9030BDCDBC ,3BDCD由题意得:103ABBDADADAD,解得13.7AD答:该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7 米例 5.如图,一巡逻艇航行至海面B处时,得知其正北方向上C处一渔船发生故障已知港口A处在B处的北偏西37方向上,距B处 20 海里;C处在 A 处的北偏东65方向上求,B C之间的距离(结果精确到0.1 海里)参考数据:sin370.60 cos370.80 tan370.75,sin 650.91 cos650.42 tan652.14.,解:过点 A 作ADBC,垂足为D在RtABD中,20AB,37B
6、,sin3720sin3712ADAB 3 分cos3720cos3716BDAB 在RtADC中,65ACD,125.61tan652.14ADCD5.61 1621.6121.6BCBDCD (海里)答:BC,之间的距离约为21.6 海里例 6.如图所示, A、B 两地之间有一条河,原来从A 地到 B 地需要经过桥DC,沿折线ADCB 到达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB 从 A 地到达 B 地已知BC=12km ,A=45 , B=37 桥 DC 和 AB 平行,则现在从A 地到达 B 地可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km参考数据:1.412,sin37 0.60,cos3
7、70.80)解:过 C、D 分别作 CNAB,DM AB 垂足分别为N,M 在 RtBCN 中, sin37 =BCCN, CN=120.60=7.20 cos37 =BCBN, BN=120.80=9.60 (2 分) 在 RtADM 中, A=45 CN=DM=AM=7.20Cos45 =ADAMAD=AM2=1.41 7.20=10.15 (AD+DC+BC)-AB=(AD+DC+BC)-(AM+MN+MN) =(AD+BC)-(AM+BN)=( 10.15+12)-(7.20+9.60)=5.35 5.4答:从 A 地到达 B 地可比原来少走5.4 路程精选学习资料 - - - - -
8、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精品资料欢迎下载A B C D 例 7.如图,斜坡AC 的坡度(坡比)为1:3 ,AC10 米坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带AB 相连, AB 14 米试求旗杆BC 的高度解:延长 BC 交 AD 于 E 点,则 CEAD 在 RtAEC 中, AC 10,由坡比为1: 可知: CAE 30 , CEAC sin30 10 5 AEAC cos30 10 在 RtABE 中,BE=11 BEBCCE, BCBECE 11-56(米)答:旗杆的高度为6 米例 8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子
9、灵踪塔始建于北宋(公元1112 年),为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动,在一个阳光明媚的上午,他们去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有:测角仪、皮尺、小镜子. (1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图 1 为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测出看塔顶()M的仰角35,在A点和塔之间选择一点B,测出看塔顶()M的仰角45,然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan350.7,结果保留整数). (2)如果你是活动小组的一员,正准备测量塔高,而此时塔影NP的长为am(如图
10、2) ,你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能,请回答下列问题:在你设计的测量方案中,选用的测量工具是: ;要计算出塔的高,你还需要测量哪些数据?. 解:(1)设CD的延长线交MN于E点,MN长为xm,则(1.6)MExm. 045,1.6DEMEx.1.6 18.617CExx. (第 22ABCDMN图 1 图 2 PMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精品资料欢迎下载0tantan35MECE,1.60.717xx,解得45xm. 太子灵踪塔()MN的高度为45m(2) 测角仪、皮尺; 站在 P点看塔顶的
11、仰角、自身的高度. (注:答案不唯一) 例 10 如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ 移动,已知台风移动的速度为30 千米 /时,受影响区域的半径为200 千米, B 市位于点 P 的北偏东75 方向上,距离点P 320 千米处 . (1) 说明本次台风会影响B 市;(2)求这次台风影响B 市的时间 . (1) 作 BH PQ 于点 H, 在 RtBHP 中, 由条件知 , PB = 320, BPQ = 30 , 得 BH = 320sin30 = 160 200, 本次台风会影响B 市. (2) 如图 , 若台风中心移动到P1时 , 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P2时, 台风
12、影响结束 . 由( 1)得 BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, 所以 P1P2 = 222160200=240, 台风影响的时间t = 30240= 8(小时 ). 例 9.如图,某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30 方向直线延伸,测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在 A 市东偏北60 方向,测绘员沿主输气管道步行2000 米到达 C处,测得小区M 位于 C 的北偏西60 方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN的长 . 解:过 M 作 MN AC,此时 MN 最小,AN 1500 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页