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1、精品资料欢迎下载高等数学期末复习第九章多元函数微分学一、内容要求1、会求简单二元函数定义域2、会求多二元函数表达式和值3、会求简单二元函数的极限4、掌握二元函数偏导数定义,性质,能确识别二元函数偏导数定义形式,得出偏导数正确表达5、会求二元函数偏导数值:求偏导函数,代入点求值6、会求二元函数微分值:求偏导函数,代入点求微分表达式7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数12、会求二元函数驻点,判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况14、能应用
2、多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度二、例题习题1、二元函数xyzarcsin的定义域是 ( ) A.|),(xyyxB. 0|),(xxyyxC. 0|),(xxyyxD. 0|),(xxyyx解: 使函数xyzarcsin有意义,只要| 1,0yxx,即| | |,0yxx,所以,选B.(内容要求 1)2、函数221( , )ln()f x yxyxy的定义域为;解: 使函数221( , )ln()f x yxyxy有意义,只要220,0xyxy,所以填22(, ) |
3、0,0x yxyxy(内容要求1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精品资料欢迎下载3、设22(,),f xy xyxy则( , )f x y( ). (A) 22xy(B)22xy(C)2()xy(D)xy解: 令,uxy vxy,则,22uvuvxy,于是22(,)f xy xyxy( , )f u vuv即由函数与自变量记号选取无关性有( , )fx yxy。所以选D。 (内容要求2)4、设22( ,)2xyf x yxy,则(2,3)f;解:4913(2, 3)1212f,所以填1312。 (内容要求2)5
4、、( , )(0,0)11limx yxyxy( );A.21B. 41C. 1D. 0解:( , )(0,0)( , )(0,0)( , )(0,0)11(1 1) (11)112(11)1 1limlimlimx yx yx yxyxyxyxyxyxyxy所以选 A。 (内容要求3)6、( ,)(0,0)sinlimx yxyx;解:( , )(0,0)( ,)(0,0)( ,)(0,0)( ,)(0,0)sinsinsinlimlimlimlim0x yx yx yx yxyxyxyyyxxyxy所以填 0。 (内容要求3)7、( , )(2,0)sinlimx yxyy;解:( , )
5、(2,0)( ,)(2,0)(, )(2,0)sinsinlimlimlim2x yx yx yxyxyxyxy,所以填2。 (内容要求3)8、函数),(yxf在点)0, 0(处存在偏导数,则xxffx)0,2()0, 0(lim0( );A)0, 0(21xfB)0, 0(21xfC)0, 0(2xfD)0,0(2xf解: 由偏导数定义,00(0,0)(2 ,0)(2 ,0)(0,0)lim2lim2(0,0)2xxxffxfxffxx所以选 C。 (内容要求4)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精品资料欢迎下载
6、9、 函数),(yxf在点)0,0(处存在偏导数,则yyffy2),0()0,0(lim0( );A)0,0(21yfB)0,0(21yfC)0,0(2yfD)0,0(2yf解: 由偏导数定义,00(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1limlim(0,0)222yyyffyfyffyy所以选 B。 (内容要求4)10、函数),(yxf在点),(00yx处存在偏导数,则xyxxfyxfx),(),(lim00000( );A),(00yxfxB),(00yxfxC),(00yxfyD),(00yxfy解: 由偏导数定义,000000000000(,)(,)(,)(,)limlim(,)xxx
7、f xyf xx yf xx yf xyfxyxx所以选 A。 (内容要求4)11、函数),(yxf在点),(00yx处偏导数存在是),(yxf在点),(00yx处连续的 ( );A充分必要条件B必要条件C充分条件D既不充分也不必要条件解: 选 D。 (内容要求4)12、设函数2( , )f x yxxy,则(1,1)yf( ). (A) 1 (B) 2(C) 12(D) 3解:( , )2yxfx yy,所以1(1,1)2yf,所以选C。 (内容要求5)13、设2yzx,则2(1, 1)zx y( ). (A) 2(B) 1(C) 2(D) 1解:22222,zyzyxxx yx,所以2(1
8、, 1)2zx y,所以选 C。 (内容要求5)14、22ln(1)zxy,则12d|xyz解:222222,11zxzyxxyyxy,所以,112212|,|33xxyyzzxy,故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精品资料欢迎下载1212d33|xyzdxdy,所以填1212d33|xyzdxdy。 (内容要求6)15、设221ln(1)2zxy,则(1,1)d |z解:2222,11zxzyxxyyxy,所以,111111|,|33xxyyzzxy,故1111d33|xyzdxdy,所以填1111d33|xy
9、zdxdy。 (内容要求6)16、设xyzarctan,则xz( );A. 222yxxB. 22yxyC. 221yxD. 22yxy解:22221()1()zyyyxxxyx,所以选D。 (内容要求7)17、 设sinyzx,则zy( ). (A) 1cosyxx(B) 1cosyxx(C) 2cosyyxx(D) 2cosyyxx解:11coscoszyyyx xxx,所以选A。 (内容要求7)18、设22sin()zxy,则22zx( ). (A) 22sin()xy(B) 22sin()xy(C) 2224sin()xxy(D) 222222cos()4sin()xyxxy解:222
10、2222222 cos(),2cos()4sin()zzxxyxyxxyxx,所以选 D。 (内容要求7)19、设xyzln,则xz( );A. yxB. xyC. y1D. x1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精品资料欢迎下载解:21()zxyxyxx,所以选D. (内容要求7)20、设yxyz)1 (,yz解:1(1)ln(1) (1)(1) ln(1)1yyyzxxyxxyxyxyxyyxy,所以填(1) ln(1)1yxxyxyxy。 (内容要求7)21、 若函数222xyxz,则xz解:24zxyx,所
11、以填24xy。 (内容要求7)22、设)2(cos22yxz,验证02222yxzyz。解:22cos ()cos(2)1,2sin(2),sin(2)2yzzzxxyxyxyxy2222cos(2),cos(2)zzxyxyx yy,将上述导数代入式子左端得0, 所以等式成立。(内容要求7)23、设44224zxyx y,求222222,zzzzxyx yy x. 解:22322248,128,16zzzxxyxyxyxxx y由, x y在表达式中的对称性,2222128,16zzyxxyyy x。 (内容要求8)24、设22yxz,求2222yzxz解:2222222222 322 31
12、,()()zxzxyxxxyxyxyxy由, x y在表达式中的对称性,22222 3()zxyxy, 所以,2222221zzxyxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精品资料欢迎下载(内容要求8)25、设)ln(yxz,求yzyxzx解:11122()zxxyxyx,由, x y在表达式中的对称性,11122()zyxyxyy,所以,12zzxyxy(内容要求8)26、设)ln(22yxz,求yxzyzxz22222,. 解:2222222222222222222224224,()()()zxzxyxzxyx
13、xyxxyxyxyx yxy,由, x y在表达式中的对称性,222222222()zxyxxy。 (内容要求8)27、设)ln(yxeez,验证22xz22yz-22yxz=0. 解:2222222,()()()xxxxyxyxyxyxyxyxyzezeeezexeexeeeeeex yee由, x y在表达式中的对称性,222()xyxyzeyee,将上述各导数代入式子左端得0,所以等式成立。(内容要求8)28、设tyxz22,txsin,tycos,求全导数tzdd. 解:2 cos2 sin1dzxtytdt。 (内容要求9)29、ln ,zuv uxy vxy,求,zzxy及全微分d
14、z. 解:lnln()zuxyv yyxyxvxy,lnln()zuxyv xxxyyvxy,全微分为ln() ln()xyxydzyxydxxxydyxyxy。 (内容要求9)30、设22zyfxy, 其中f u可微,则zzyxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精品资料欢迎下载解:22222,12zzxfxyyfxyxy,所以zzyxxxy,所以填x. (内容要求 9)31、设22(,)xyzf xye,其中f有一阶连续偏导数,求yzxz,. 解:12122,2xyxyzzxfye fyfxe fxy量(内容
15、要求9)32、设22(,)x yzf xye,其中f有一阶连续偏导数,求yzxz,. 解:12122,2x yx yzzxfefyfefxy。 (内容要求9)33、),(yxxzzyfu有连续偏导数,求zuyuxu解:231312,uuuffffffxyz,所以,0uuuxyz(内容要求9)34、设,xzxyy则z的全微分dz( ). (A) 21()d()dxyxxyyy(B) 21()d()dxyxxyyy(C) 1()d()dxyxxyyy(D) 11()d()dyxxyyy解:21,zzxyxxyyy所以21d()d()dxzyxxyyy,所以选 A。 (内容要求10)35、函数)ln
16、(yxz的全微分为解:11,zzxxyyxy,所以1()dzdxdyxy。所以填1()dzdxdyxy。(内容要求10)36、设0yyxe,则ddyx( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精品资料欢迎下载(A) 1yyexe(B) 1yyexe(C) 1yyxee(D) 1yyxee解:()001yyyyyeyxeyexe yyxe,所以选B。 (内容要求11)37、设( , )zz x y是由方程0zexyz所确定的隐函数,则zx( ). (A) zyzexy(B) zyzexy(C) zxyeyz(D)
17、zxyeyz解:0zzzzzyzeyzxyxxxexy,所以选B。 (内容要求11)38、设( , )zz x y是由方程330zxyz所确定的隐函数,则有( ). (A) zzxyxy(B) zzxy(C) zzxy(D) zzyxxy解:223330zzzyzzyzxyxxxzxy,同理,2zxzyzxy,所以选A。 (内容要求 11)39、设方程zxyze确定了二元函数( ,)zf x y,则zx解:111zzzzzexxxe,所以填11ze。 (内容要求11)40、 设方程20zxyez确定了二元函数( , )zf x y,则zy解:2201zzzzzeyyye所以填21ze。 (内容
18、要求11)41、设方程zexyz确定了二元函数),(yxz,则yz; 解:zzzzzxzxzxyeyyyexy,所以填zxzexy。 (内容要求11)42、设方程22240xyzz确定了二元函数),(yxz,则yz; 解:22402zzzyyzyyyz,所以填2yz。 (内容要求11)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精品资料欢迎下载43、设方程0sin zzxy确定了二元函数),(yxz,则xz; 解:cos0cos1zzzyyzxxxz,所以填cos1yz。 (内容要求11)44、设函数22( ,)22013f
19、 x yxyy,则( )(A) (0,1)不是( , )f x y的驻点(B) (0,1)是( , )f x y的驻点,但非极值点(C) (0,1)是( , )f x y的极小值点(D)(0,1)是( , )f x y的极大值点解:( , )2 ,( , )22,( , )2,( ,)0,( , )2xyxxxyyyfx yx fx yyfx yfx yfx y因为(0,1)满足( , )0xfx y,( , )0yfx y,所以是驻点,又(0,1)2,(0,1)0,(0,1)2xxxyyyAfBfCf有20,0AACB,(0,1)是( , )f x y的极大值点。故选D。 (内容要求12)4
20、5、设yxxz33,则它在点 (1,0)处( ) A.取得极大值B.无极值C.取得极小值D. 无法判断是否有极值解:233,1zzxxy,所以yxxz33无驻点, 不存在偏导数不存的点,故选 B。(内容要求12)46、设22)(4yxyxz,则它在点 (2,-2)处( ) A.取得极大值B.无极值C.取得极小值D.无法判断是否有极值解:2222242 ,42 ,2,0,2zzzzzxyxyxx yy,故选 A。 (内容要求12)47、 函数22( ,)42f x yxyx在驻点(1, 0)处 ( )(A) 取到极小值(B) 取到极大值(C) 取不到极值(D) 无法判断是否有极值解:( , )2
21、2,( , )8 ,xyfx yxfx yy( , )2,( , )0,( ,)8,xxxyyyfx yfx yfx y故选 A。 (内容要求 12)48、 二元函数512632yxyxz在)2,3(处( ); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精品资料欢迎下载A. 无法判断是否有极值B. 取不到极值C. 取到极大值D. 取到极小值解:22222226,312,2,0,6zzzzzxyyxyxx yy,故选 C。 (内容要求12)49、 二元函数xyxyxz9332233的极小值点为( ); A. )0 ,3(B.
22、 )2,3(C. )0, 1(D. )2, 1(解:2222222369,36 ,66,0,66zzzzzxxyyxyxyxx yy,故选C。(内容要求12)50、 二元函数xyxyxz9332233的极大值点为( ); A. )0 , 1(B. )2, 1 (C. )0, 3(D. )2 ,3(解:2222222369,36 ,66,0,66zzzzzxxyyxyxyxx yy,故选D。(内容要求12)51、 函数2423yxz的极大值为;解: 显然在( 0,0)处取极大值3,所以填3。 (内容要求13)52、 函数5342yxz的极小值为解: 显然在( 0,0)处取极小值5,所以填5。 (
23、内容要求13)53、某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾),乙种鱼放养y(万尾),收获时两种鱼的收获量分别为:xyx)3(和yyx)24(, (0) ,求使产鱼总量最大的放养数 . 解: 产鱼总量223422zxyxxyy,所以32204240zxyxzxyy解得22223243,22(2)xy,由实际问题,产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养22223(万尾),乙种鱼放养)2(23422(万尾)(内容要求14)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精品资料欢迎下载54、曲面221zxy在点(2,1,4)的切平面方程
24、为( ). (A) 4260xyz(B) 42140xyz(C) 214421xyz(D) 214421xyz解:2 ,2zzxyxy,所以,221zxy在点(2,1,4)的法向量为4,2,1 ,所以在点(2,1,4)的切平面方程为4(2)2(1)(4)0xyz,整理得4260xyz。所以选 A。 (内容要求15)55、曲面2210xyz在点(2,1,4)的法线方程为( ). (A) 4260xyz(B) 42140xyz(C) 214421xyz(D) 214421xyz解: 由前题已求得在(2,1,4)的法向量为4,2,1,所以选C。 (内容要求15)56、 曲面3zezxy在点(2,1,
25、0)处的切平面方程为( ). (A) 21123xyz(B) 4xyz(C) 240xy(D) 240xy解: 令( , , )3zF x y zezxy,则,1zFFFyxexyz,由此得(2,1,0)处法向量为1,2,0,所以得切平面方程为240xy,所以选C。 (内容要求15)57、曲面2850xxyxz在点(2,3,1)处的法线方程为( ). (A) 231121xyz(B) 231121xyz(C) 250xyz(D) 231xtytzt解 : 令2( , )85F x y zxxyxz,则28,1FFFxyxxyz,由 此得(2,3,1)处法向量为 1, 2,1 ,所以法线方程为2
26、31121xyz,所以选A。 (内容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精品资料欢迎下载要求 15)58、曲面9222zyx在点)2, 2, 1(处的切平面方程为,法线方程为解: 令222( , , )9F x y zxyz,2 ,2 ,2FFFxyzxyz,由此得)2,2,1 (处法向量为2,4,4,切平面方程为2(1)4(2)4(2)02290xyzxyz法线方程为122122244122xyzxyz。 (内容要求15)59、曲线xt,2yt,3zt在对应于1t点处的切线方程是( ). (A) 123146xy
27、z(B) 123126xyz(C) 111123xyz(D) 111126xyz解:21,2 ,3xyt zt, 在1t点处的切向量为1,2,3, 所以切线方程为C。 所以选 C。(内容要求16)60、曲线23, 1tztyx在点) 1, 1, 1 (处的切线方程为,法平面方程为; 解:20,3 ,2xytzt,所以切向量为0, 3, 2,切线方程为111032xyz,法平面方程为0(1)3(1)2(1)03250xyzyz(内容要求16)61、在曲线32,tztytx上求出其切线平行于平面42zyx的切点坐标 . 解: 设切点处参数为t,由21,2 ,3xyt zt,得切点处切向量为21,2
28、 ,3tt。又平面42zyx的法向量为1,2,1,于是21211 430,13tttt,故切点坐标为)1,1,1(或)271,91,31(。 (内容要求16)62、函数xyez2在点 P(1,0)处从点 P(1,0)到 Q(2,-1)的方向的方向导数为( ) A. 221eB. 221eC.221eD.221e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精品资料欢迎下载解: 点 P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1) 的方向向量为1, 1,单位化得11,22,又222,xxzzyeexy,故222coscosxxz
29、yeel,2101|2xyzel,所以选 A。 (内容要求 17)63、函数222),(zyxzyxf在点 (1,-1,2)处梯度为 ( ) A.(2, -2,4)B. (-2,-2, 4) C.(-2,2,-4) D.(2, 2,4) 解:( , , )2 ,( , , )2 ,( , , )2 ,xyzfx y zx fx y zy fx y zz所以rad2,2,4gf,所以选 A。(内容要求18)64、函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M的梯度radgu( ). (A) 1 22,9 99(B) 23(C) 13(D)2 44,9 99解:222222222222,uxuyuzxxyzyxyzzxyz,2 44rad,9 99gu,所以选 D(内容要求18)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页