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1、名师总结优秀知识点函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点:1、函数奇偶性的概念一般地,对于函数)(xf,如果对于函数定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做偶函数。一般地,对于函数)(xf,如果对于函数定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。理解:(1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是,奇偶性是一个“ 整体 ” 性质,单调性是一个“ 局部 ” 性质;(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类,函数可分为四类:奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数
2、、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象:奇函数图象关于原点成中心对称的函数,偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质:具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说, 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。常用的结论:若f(x)是奇函数,且x 在 0 处有定义,则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函数 f(x)在区间 a,b(0ab)上单调递增 (减) ,则 f(x)在区间 b,a上也是单调递增 (减);偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同。偶函数 f(x)在区间 a,b(0ab)上单调
3、递增(减) ,则 f(x)在区间 b,a上单调递减(增)任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x),f(x),fg(x)的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时, y=fg(x)是奇函数; u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法:、定义法:对于函数( )f x的定义域内任意一个x,都有xfxf或1xfxf或0xfxf函数 f (x)是偶函数;对于函数( )f x的定义域内任意一个x,都有xfxf或1xfx
4、f或0xfxf函数 f (x)是奇函数;判断函数奇偶性的步骤:、判断定义域是否关于原点对称;、比较)( xf与)(xf的关系。、扣定义,下结论。、图象法:图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;图象关于y轴对称的函数是偶函数。 ,、运算法:几个与函数奇偶性相关的结论:奇函数 +奇函数 =奇函数;偶函数+偶函数 =偶函数;奇函数奇函数=偶函数;奇函数偶函数=奇函数。若( )f x为偶函数,则()( )(|)fxf xfx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页名师总结优秀知识点二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性:分析
5、:判断函数的奇偶性,先要求定义域,定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数,若定义域关于原点对称,再看f(x)与 f(x)的关系 . 【例 1】 判断下列函数的奇偶性:(1).2( )21;fxxx(2) .223( ),0 ;3xxf xxxxx解:()f x函数的定义域是(),2()21f xxx,2()()21fxxx221( )xxf x,2()21f xxx为偶函数。(法 2图象法):画出函数2( )21f xxx的图象如下:由函数2()21fxxx的图象可知,2()21f xxx为偶函数。说明:解答题要用定义法判断函数的奇偶性,选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解:
6、由303xx,得x(, 3(3,+).定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性:(1). 24( );33xfxx(2). 021()1xfxx。解: (1). 由240330xx,解得2206xxx且定义域为 2 x0或 0x2 ,则2244();33xxf xxx. 224()4()( ) ;xxfxf xxx. 24()33xf xx为奇函数 . 说明:对于给出函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下,先将函数解析式变形化简,然后再进行判断。(2). 由2010xx,解得01xx,函数定义域为0,1xR xx,又022111()011xf xxx,
7、()0fx,()( )fxfx且()()fxf x,所以022111()011xf xxx既是奇函数又是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页名师总结优秀知识点【例 3】 判断下列函数的奇偶性:(1). (1) , (0)( )0 ,(0)(1), (0)xxxf xxxxx解析 (1) . 函数的定义域为R,当0x时,0 ,()()(1)(1)();xfxxxxxfx当0x时,0 ,()0();xfxf x当0x时,0 ,()() 1()(1)( ).xfxxxxxf x综上可知,对于任意的实数x,都有()()
8、fxf x,所以函数()f x为奇函数。说明:分段函数判断奇偶性,必分段来判断,只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性,也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性:【例 4】 已知函数()(0) ,fxxRx且对任意的非零实数1 ,2,xx恒有1212()()() ,f xxfxf x判断函数()(0)f xxRx且的奇偶性。解:函数的定义域为(,0)(0 ,),令121xx,得(1)0f,令121xx,则2( 1)(1) ,( 1)0 ,fff取121 ,xxx,得()( 1)( ) ,fxffx()( ) ,fxf x故函数()(0)fxxRx且为偶函数。3、函数奇偶性的应用:
9、(1) .求字母的值:【例 5】已知函数21( )( ,)axf xa b cZbxc是奇函数,又(1)2f,(2)3f,求,ab c的值 . 解:由()( )fxf x得()bxcbxc,0c。又(1)2f得12ab,而(2)3f得4132ab,4131aa,解得12a。又aZ,0a或1a. 若0a,则12bZ,应舍去;若1a,则1bZ b=1Z. 1,1,0abc。说明 :本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想(建立方程或不等式,组成混合组) ,使问题得解 . 有时也可用特殊值,如f(1)=f(1),得 c =0。 (2) .解不等式:【例 6】若 f(x)是偶函数,当x0,+) 时, f
10、(x)=x1,求 f(x1)0 的解集。分析:偶函数的图象关于y 轴对称,可先作出f(x)的图象,利用数形结合的方法 . 解:画图可知f(x)0 的解集为x1x1,f(x1)0,即 1x-11,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页名师总结优秀知识点解集为 x0x2. (3)函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合) 7.已知 f(x)=x5+ax3- bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2). 解: 法一: f(- 2)=(-2)5+(- 2)3a- (- 2)b-8=- 32- 8a+2b- 8=- 40-
11、 8a+2b=10 8a- 2b=- 50 f(2)=25+23a- 2b- 8=8a- 2b+24=- 50+24=- 26 法二:令g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(- 2)=- g(2) f(- 2)+8=- f(2)- 8 f(2)=- f(- 2)- 16=- 10- 16=- 26. 8. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x0 时, f(x)=x2- x,求当 x 0 时, f(x)的解析式,并画出函数图象. 解: 奇函数图象关于原点对称,x0 时,xxxxxfxf22)()()()(, 又 f(0)=0 ,如图9. 设定义在 - 3,3上的偶函数f(x)在0,3上是单调递增,当f(a- 1)f(a)时,求 a的取值范围 . 解: f(a- 1)f(a) ,偶函数 f(x)在0, 3上是单调递增f(| a- 1|) f(| a|) 必有 | a- 1| ,| a| 0,3 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页