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1、学习必备欢迎下载圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充 )2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行
2、线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页学习必备欢迎下载相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;图 1rRd图3rR
3、d五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即:AB是直径ABCDCEDE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O中,ABCD弧AC弧BD例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是()A平分一条直径的弦
4、必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦图 2rRd图4rRd图 5rRdOEDCBAOCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页学习必备欢迎下载C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中,正确的是() A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示, 如果油的最大深度为 16cm,那
5、么油面宽度AB 是_cm. 2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为_cm. 3、如图,已知在O中,弦CDAB,且CDAB,垂足为H,ABOE于E,CDOF于F. ( 1)求证:四边形OEHF是正方形 . ( 2)若3CH,9DH,求圆心O到弦AB和CD的距离 . 4、已知: ABC 内接于 O,AB=AC ,半径 OB=5cm ,圆心 O 到 BC 的距离为 3cm,求 AB 的长5、如图, F 是以 O 为圆心, BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点, AD BC 于 D,求证: AD=21BF. 例题 3、度数问题1、已知:在O
6、中,弦cm12AB,O点到AB的距离等于AB的一半,求:AOB的度数和圆的半径. 2、已知: O 的半径1OA,弦 AB、AC 的长分别是2、3.求BAC的度数。例题 4、相交问题如图,已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E,AE=6cm ,EB=2cm, BED=30 ,求 CD 的长 . 例题 5、平行问题在直径为50cm 的 O 中,弦 AB=40cm ,弦 CD=48cm,且 ABCD,求: AB 与 CD 之间的距离 . 例题 6、同心圆问题A B D C E O OABDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
7、,共 11 页学习必备欢迎下载如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证:22baBDAD. 例题 7、平行与相似已知:如图,AB是O的直径,CD是弦,于CDAEE,CDBF于F.求证:FDEC. 六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,则可以推出其它的3 个结论,即:AOBDOE;ABDE;OCOF;弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:AOB和ACB是弧AB所对的圆心
8、角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在O中,C、D都是所对的圆周角CD推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在O中,AB是直径或90CFEDCBAOCBAODCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页学习必备欢迎下载90CAB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在ABC中,OCOAOBABC是直角三角形或90C注:此推论实是
9、初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19 所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?【例 2】如图,已知O中, AB为直径, AB=10cm ,弦 AC=6cm , ACB的平分线交 O于 D,求 BC 、 AD和 BD的长【例 3】如图所示,已知AB为 O的直径, AC为弦, OD BC ,交 AC于 D,BC=4cm ( 1)求证: AC OD ;(2)求 OD的长;(3)若 2sinA 1=0,求 O的直径【例 4】四边形ABCD 中, AB DC , BC=b ,AB=AC=A
10、D=a ,如图,求BD的长【例 5】如图 1,AB是半 O的直径,过A 、B 两点作半 O的弦,当两弦交点恰好落在半O上 C 点时,则有AC ACBC BC=AB2( 1)如图 2,若两弦交于点P在半 O内,则 AP AC BP BD=AB2是否成立?请说明理由( 2)如图 3,若两弦 AC 、BD的延长线交于P点,则 AB2= 参照( 1)填写相应结论,并证明你填写结论的正确性CBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页学习必备欢迎下载八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角
11、。即:在O中,四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC例 1、如图 7-107 , O中,两弦AB CD ,M是 AB的中点,过M点作弦 DE 求证: E,M ,O ,C四点共圆九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。EDCBANMAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、 - -第 6 页,共 11 页学习必备欢迎下载以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA利用切线性质计算线段的长度例 1:如图,已知: AB是 O的直径, P为延长线上的一点,PC切 O于 C,CD AB于 D,又 PC=4 , O的半径为 3求: OD的长利用切线性质计算角的度数例 2: 如图,已知: AB是 O的直径, CD切 O于 C,AECD于 E,BC的延长线与AE
13、的延长线交于F,且AF=BF 求: A的度数利用切线性质证明角相等例 3: 如图,已知: AB为 O的直径,过A作弦 AC 、AD ,并延长与过B的切线交于M 、N求证: MCN=MDN PBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页学习必备欢迎下载利用切线性质证线段相等例 4: 如图,已知: AB是 O直径, CO AB ,CD切 O于 D,AD交 CO于 E求证: CD=CE 利用切线性质证两直线垂直例 5: 如图,已知:ABC中, AB=AC ,以 AB为直径作 O ,交 BC于 D,DE切 O于 D,交 AC于
14、 E求证:DE AC十一、圆幂定理(1)相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在O中,弦AB、CD相交于点P,PA PBPC PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在O中,直径ABCD,2CEAE BEPODCBAOEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页学习必备欢迎下载( 3)切割线定理 :从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在O中,PA是切线,PB是割线2PAPC PB(4)割线定理 :
15、从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在O中,PB、PE是割线PC PBPD PE例1. 如图 1,正方形ABCD的边长为 1,以 BC为直径。在正方形内作半圆O,过 A作半圆切线,切点为F,交 CD于 E,求 DE :AE的值。例2. O 中的两条弦AB与 CD相交于 E,若 AE 6cm ,BE 2cm,CD 7cm,那么 CE _cm 。图2 例3. 如图 3,P是O 外一点, PC切O 于点 C,PAB是O 的割线,交O于 A 、B 两点,如果PA :PB1:4,PC 12cm,O 的半径为 10cm,则圆心O到 AB的距离是 _cm。
16、图3 例4. 如图 4,AB为O 的直径,过B点作O 的切线 BC ,OC交O 于点 E,AE的延长线交BC于点 D, (1)求证:; (2)若 AB BC2厘米,求CE 、CD的长。图4 DECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页学习必备欢迎下载例5. 如图 5,PA、PC切O 于 A、C,PDB为割线。求证: AD BC CD AB图5 例6. 如图 6,在直角三角形ABC中, A90,以AB边为直径作 O ,交斜边BC于点 D,过 D点作O 的切线交 AC于 E。图6 求证: BC 2OE 。十二、两圆
17、公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:12O O垂直平分AB。即:1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:12RtO O C 中,22221122ABCOOOCO;(2)外公切线长:2CO是半径之差;内公切线长:2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算(1)正三角形在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行::1:3 : 2ODBDOB;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE中进行,:1:1:2OEAE OA:BAO1O2CO2O1BADCBAOECBADO精选学习资
18、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页学习必备欢迎下载(3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB中进行,:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n Rl;(2)扇形面积公式:213602n RSlRn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h3 .圆锥侧面展开图(1)SSS侧表底=2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr hBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页