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1、学习必备欢迎下载分数乘法一、分数乘法(一)、分数乘法的计算法则:1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分 )2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。(二) 、规律:(乘法中比较大小时)一个数( 0 除外)乘大于 1 的数,积大于这个数。一个数( 0 除外)乘小于 1 的数( 0 除外),积小于这个数。一个数( 0 除外)乘 1,积等于这个数。(三) 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。(四) 、整数乘法的交换律、结合律和分配
2、律,对于分数乘法也同样适用。乘法交换律: a b = b a 乘法结合律: ( a b ) c = a ( b c ) 乘法分配律:( a + b )c = a c + b c a c + b c = ( a + b )c 二、分数乘法的解决问题(已知单位“ 1”的量(用乘法),求单位“ 1”的几分之几是多少)1、找单位“ 1” :在分率句中分率的前面;或“占” 、 “是” 、 “比”的后面2、求一个数的几倍:一个数几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数几几。3、写数量关系式技巧:(1) “的”相当于“”“占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ”(2)分率前是“的”:单位“1”的量分率 =
3、分率对应量(3)分率前是“多或少”的意思:单位“ 1”的量( 1分率) =分率对应量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载三、倒数1、倒数的意义:乘积是 1 的两个数互为倒数。强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数) 。2、求倒数的方法:(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。3
4、、1 的倒数是 1; 0 没有倒数。因为 11=1;0 乘任何数都得 0,01(分母不能为 0)4、对于任意数(0)a a,它的倒数为1a;非零整数a的倒数为1a;分数ba的倒数是ab;5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。分数除法一、分数除法1、分数除法的意义:分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则:除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数。3、规律(分数除法比较大小时) : (1) 、当除数大于 1,商小于被除数;(2) 、当除数小于 1(不等于 0) ,商大于被除数;(3) 、当除数等
5、于 1,商等于被除数。4、 “”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。二、分数除法解决问题(未知单位“ 1”的量(用除法):已知单位“ 1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。 )1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载(1)分率前是“的”:单位“ 1”的量分率 =分率对应量(2)分率前是“多或少”的意思:单位“ 1”的量( 1分率) =分率对应量2、解法:(建议:最好用方程解答)(1)方程:根据数量关系式
6、设未知量为X,用方程解答。(2)算术(用除法):分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量3、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数另一个数4、求一个数比另一个数多(少)几分之几: 求多几分之几:大数小数 1 求少几分之几: 1 - 小数大数或 求多几分之几(大数 -小数)小数 求少几分之几:(大数- 小数)大数三、比和比的应用(一)、比的意义1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。例如 15 :10 = 15 10= 23(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)前项比号后项比值3
7、、比可以表示两个相同量的关系, 即倍数关系。 也可以表示两个不同量的比, 得到一个新量。例:路程速度 =时间。4、区分比和比值比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载6、比和除法、分数的联系:比前项比号“: ”后 项比值除 法被除数除号“”除 数商分 数分子分数线 “”分 母分数值7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,
8、比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。体育比赛中出现两队的分是2:0 等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。(二) 、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系:商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外) ,商不变。分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外) ,分数值不变。比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外) ,比值不变。2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。4. 化简比:用比的前项和后项同时除
9、以它们的最大公因数。(1)两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。(2)用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。如: 1510 = 15 10 = 23 = 3 2 5按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如:已知两个量之比为:a b,则设这两个量分别为axbx和。6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为 5:4)工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)圆一、认
10、识圆依据比的基本性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r 表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径 :通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内, 有无数条半径,
11、 有无数条直径。 所有的半径都相等, 所有的直径都相等。7在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的21。用字母表示为: d2r 或 r 2d8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 (经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是:长方形只有 3 条对称轴的图形是:等边三角形只有 4 条对称轴的图形是:正方形 ; 有无数条对称轴的
12、图形是:圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0 刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数()。3圆周率: 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数, 我们把它叫做圆周率。用字母 (pai ) 表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载(1)、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时,一般取 3.1
13、4 。(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是 倍,而不是 3.14 倍。(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式: C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长:(1)周长的一半:等于圆的周长 2 计算方法: 2 r 2 即 r(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法 :r 2r 三、圆的面积1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S表示。2、 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围
14、成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导:(1) 、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。(2) 、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。(3) 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长因为:长方形面积 = 长宽所以:圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S圆 = r r 圆的面积公式: S圆 = r2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习必备欢迎下载4、
15、环形的面积:一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R r环的宽度)S环 = R2 2或环形的面积公式: S环= (R2 2)。5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如:在同一个圆里,半径扩大3 倍,那么直径和周长就都扩大3 倍,而面积扩大 9 倍。6、两个圆:半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。例如:两个圆的半径比是23,那么这两个圆的直径比和周长比都是23,而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:48、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,
16、长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。9、确定起跑线:(1)、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。(2)、每条跑道直道的长度都相等, 而各圆周长决定每条跑道的总长度。 (因此起跑线不同)(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2跑道的宽度(4)、当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加厘米;当一个圆的直径增加厘米时,它的周长就增加厘米。11、常用各 值结果: = 3.14 2 = 6.28 3 = 9.42 5 = 15.7 6 = 18.84 7 = 21.98 9 = 28.26 10 = 31.4 16 = 50.24
17、36 = 113.04 64 = 200.9696 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载百分数一、百分数的意义和写法1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。2、千分数:表
18、示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别:(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。(2) 区别:、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系, 不能表示具体的数量, 所以不能带单位;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0 以外的自然数。4、百分数的写法: 通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化(一)百分数与小数的互化:1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。2. 百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去
19、掉百分号。(二)百分数的和分数的互化1、百分数化成分数:先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100 的分数,能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数: 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数,再写成百分数形式。先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载21 = 0.5 = 50% 51 = 0.2 = 20% 85 = 0.625 = 62.5% 41 = 0.25 =
20、25% 52 = 0.4 = 40% 81 = 0.125 = 12.5% 43 = 0.75 = 75% 53 = 0.6 = 60% 83 = 1.375 = 37.5% 161 = 0.0625 = 6.25% 54 = 0.8 = 80% 87 = 0.875 = 87.5% 251 = 0.04 = 4252 = 0.08 = 8253 = 0.12 = 12254 = 0.16 = 16三、用百分数解决问题(一)一般应用题1、常见的百分率的计算方法:合格率 = %100产品总数合格产品数发芽率 = %100种子总数发芽种子数出勤率 = %100总人数出勤人数达标率 = %100学生
21、总人数达标学生人数成活率 = %100总数量成活的数量出粉率 = %100出粉物的重量粉的重量烘干率 = %100烘干前的重量烘干后的重量含水率 = %100烘干前的重量烘干后的重量烘干前的重量一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100% ,出米率、出油率达不到100% ,完成率、增长了百分之几等可以超过100% 。(一般出粉率在 70、80% ,出油率在 30、40% 。)2、已知单位“ 1”的量(用乘法),求单位“ 1”的百分之几是多少的问题:数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:(1)分率前是“的”:单位“1”的量分率 =分率对应量(2)分率前是“多或少”的意思:单位“
22、1”的量( 1分率) =分率对应量3、未知单位“ 1”的量(用除法),已知单位“ 1”的百分之几是多少,求单位“1”。解法: (建议:最好用方程解答)(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载(2)算术(用除法):分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:两个数的相差量单位“ 1”的量 100% 或: 求多百分之几:(大数- 小数) 小数 求少百分之几:(大数 -小数)大数(二)、折扣1、折扣:商品按原定价格的百
23、分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如八折=108=80, 六折五 =0.65=652、一成是十分之一,也就是10% 。三成五就是十分之三点五,也就是35% (三) 、纳税1、纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2、纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。3、应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。4、税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。5、应纳税额的计算方法:应纳税额 = 总收入 税率(四)利息1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。2
24、、储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。3、本金:存入银行的钱叫做本金。4、利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。5、利率:利息与本金的比值叫做利率。6、利息的计算公式:利息本金利率时间7、注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习必备欢迎下载税后利息 =利息- 利息的应纳税额 =利息-利息利息税率 =利息( 1- 利息税率)扇形统计图一、扇形统计图的意义:用整个圆
25、的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。二、常用统计图的优点:1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)圆柱与圆锥一、圆柱的特征:1、圆柱的两个圆面叫做底面,周围的面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面,。2
26、、圆柱的高:圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条。3、圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,长方形的宽等于圆柱的高, 当底面周长和高相等时, 侧面沿高展开后是一个正方形。4、圆柱的侧面积 = 底面周长高即 S侧=Ch 或 2r h 5 、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积 2 即 S 表=S侧+S底2 或 2r h + 2r26、圆柱的体积 =圆柱的底面积高,即 V=sh或 r2h 7、将一张长方形围成圆柱有两种方法,将一张长方形进行旋转一般也有两种。(进一法:实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些,因此,要保留数的时候,省略的位上的是
27、 4 或者比 4 小,都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 )二、圆锥的特征:1、圆锥只有一个底面,底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。(测量圆锥的高:先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载的距离。 )3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一, 即 V锥= 31 Sh 或 V锥= 31r2h5、常见的圆柱圆锥解决
28、问题:、压路机压过路面面积(求侧面积);、压路机压过路面长度(求底面周长) ;、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);、厨师帽(求侧面积和一个底面积);通风管(求侧面积) 。6、圆柱和圆锥的特征圆柱圆锥底面两个底面完全相同,都是圆形。一个底面,是圆形。侧面曲面,沿高剪开,展开后是长方形。曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开,展开后是扇形。高两个底面之间的距离,有无数条。顶点到底面圆心的距离,只有一条。常用单位换算长度单位换算1 千米 =1000 米 1 米=10 分米1 分米 =10 厘米1 米=100 厘米1 厘米 =10 毫米面积单位换算1 平方千米 =100 公顷1 公顷 =10000 平
29、方米1 平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1 平方厘米 =100 平方毫米体(容)积单位换算1 立方米 =1000 立方分米1 立方分米 =1000 立方厘米1 立方分米 =1 升1 立方厘米 =1 毫升1 立方米 =1000 升重量单位换算1 吨=1000 千克1 千克 =1000 克1 千克 =1 公斤人民币单位换算1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分时间单位换算1 世纪 =100 年1 年=12 月大月 (31 天)有:135781012月小月 (30 天)的有 :46911 月平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天平年全年365 天, 闰年全年366 天1 日 =24 小时1 时=60 分1 分=60 秒1 时=3600 秒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页