第四章-傅里叶变换和系统的频域分析

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1、Chapter 4傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析Fourier Transform and Frequency-Domain Analysis of Systems Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析 第二、三章中分别讨论了连续时间系统和离散时第二、三章中分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的间系统的时域分析法时域分析法。以冲激函数或单位序列为基本。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而而系统的响应（零状态响应

2、）是输入信号与系统冲激系统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积响应或单位序列响应的卷积。2Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 本章主要讨论连续信号的本章主要讨论连续信号的傅里叶变换傅里叶变换和连续系统和连续系统的的频域分析法频域分析法。 以非周期信号为例：以非周期信号为例： 所谓傅里叶变换（含正变换和逆变换），其目的是所谓傅里叶变换（含正变换和逆变换），其目的是以正弦函数或虚指数函数以正弦函数或虚指数函数 为基本信号，将任意连续为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对

3、于周期信号）或积分（对于非周期信号）。数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。3Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 接下来我们可证明，连续接下来我们可证明，连续LTI系统对虚指数函数系统对虚指数函数 的响应仍是同频率的虚指数函数，只是乘上了一的响应仍是同频率的虚指数函数，只是乘上了一个与个与 有关的复常数。有关的复常数。 输出输出 输入输入4Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法卷积卷积 乘积乘积5Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析频域分析法的优点：频域分析法的优点： 1. 将卷积运算转换为乘积运算，使运算简化。将

4、卷积运算转换为乘积运算，使运算简化。 2. 物理意义更明确。【物理意义更明确。【 不存在，正余弦函数常见】不存在，正余弦函数常见】 3. 将反卷积运算转换为除法运算。将反卷积运算转换为除法运算。6Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析$4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（ ）$4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱（能量谱定义能量谱定义 功率谱定义及二者关系功率谱定义及二者关系）线性线性 奇偶性奇偶性 对称性对称性 尺度变换尺度变换 时移时移 频移频移卷积定理卷积定理 时域微积分时域微积分 频域微积分频域微积分 相关定理相关定理 第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和

5、系统的频域分析$4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数（正交函数集的定义正交函数集的定义 信号分解公式信号分解公式）$4.2 傅里叶级数傅里叶级数（三角函数形式三角函数形式 奇奇/偶函数的级数特点偶函数的级数特点 指数形式指数形式）$4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱（频谱定义频谱定义 矩形脉冲频谱特点矩形脉冲频谱特点 信号功率信号功率）$4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱（引出傅里叶变换引出傅里叶变换 某些特殊函数结果某些特殊函数结果）$4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换（求解方法求解方法 与傅里叶级数关系与傅里叶级数关系）$4.8 LTI系统的频域分析系统的频域

6、分析（频率响应及频域分析频率响应及频域分析 无失真传输无失真传输 理想低通理想低通）$4.9 取样定理取样定理（信号的取样信号的取样 时域取样定理时域取样定理 频域取样定理频域取样定理）7Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。的概念类似。为为 轴和轴和 轴的单位矢量轴的单位矢量, 组成一个二维正交矢量集。组成一个二维正交矢量集。 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号矢量正交分解的概念可以

7、推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。8Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 一一. 正交函数集正交函数集1. 正交函数正交函数 在在 区间上定义的非零区间上定义的非零实实函数函数 和和 , 若若满足条件满足条件 ，则称函数，则称函数 和和 为在为在区间区间 的正交函数。的正交函数。2. 正交函数集正交函数集 在在 区间上定义的区间上定义的 个非零实函数个非零实函数 ，其中

8、任意两个均满足其中任意两个均满足 ,则称函数集则称函数集 为在为在 的正交函数集。的正交函数集。9Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 3. 完备正交函数集完备正交函数集 如果在正交函数集如果在正交函数集 之外不存在函数之外不存在函数 满足等式满足等式 ，则称该，则称该函数集为完备正交函数集。函数集为完备正交函数集。例：三角函数集例：三角函数集在区间在区间 组成完备正交函数集。其中，组成完备正交函数集。其中， 。原因：原因：*（自己下去验证，后同）（自己下去验证，后同）10Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为

9、正交函数信号分解为正交函数 *对任意的对任意的 和和注意注意：正弦函数集：正弦函数集 是正交函是正交函数集，但不是完备正交函数集。数集，但不是完备正交函数集。如果是如果是复复函数集，若函数集，若 在区间在区间 满足：满足：，则称此函数为正交函数集。，则称此函数为正交函数集。11Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 例：复函数集例：复函数集 在区间在区间 组成组成完备正交函数集。其中，完备正交函数集。其中， 。原因：原因：* 式式(a)二二. 信号分解为正交函数的线性组合信号分解为正交函数的线性组合 设有设有 个函数个函数 在区间在区间 构

10、成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数个正交函数的线性组合来的线性组合来近似近似，可表示为：，可表示为：（自己下去验证）（自己下去验证）12Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 显然，应选取各系数显然，应选取各系数 使实际函数与近似函数在使实际函数与近似函数在区间区间 内的误差为最小。为防止正负误差相互抵消内的误差为最小。为防止正负误差相互抵消的情况，通常采用的情况，通常采用最小均方误差准则最小均方误差准则。其中的均方误。其中的均方误差定义为：差定义为：在在 中，为求得中，为求得 ，必须使，必

11、须使 。即：。即：式式(b)13Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 根据根据【所有交叉项【所有交叉项 的积分为零】的积分为零】【 中不含中不含 项】项】【求和号【求和号 去掉】去掉】【求和号【求和号 去掉】去掉】14Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 可推得：可推得：交换微分与积分次序，可得：交换微分与积分次序，可得：式中式中 。式式(c)15Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析【 】 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 展开前面的式展开前面的式(b)，可得：

12、，可得：由于由于 , 得：得：16Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 由于由于 ，显然当所取的项数，显然当所取的项数 越大时，均越大时，均方误差方误差 越小。（越小。（ 越大，越大， 越接近于越接近于 ）当当 时，时， 。此时有：。此时有：(1) 物理意义物理意义：信号可展开为无穷多项正交函数的线性：信号可展开为无穷多项正交函数的线性组合，各项的展开系数按式组合，各项的展开系数按式(c)计算。计算。(2) 物理意义物理意义：信号：信号 的能量等于各正交分量的能量和。的能量等于各正交分量的能量和。【 的能量为的能量为 】17Chapter

13、 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 本节的任务是将周期信号本节的任务是将周期信号 在区间在区间 展开成在完备正交函数集中的无穷级数。如展开成在完备正交函数集中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅三角型傅里叶级数里叶级数”或或“指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。18Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 一一

14、. 周期信号的分解周期信号的分解 （结果为三角函数的形式）（结果为三角函数的形式） 设有一个周期信号设有一个周期信号 , 它的周期是它的周期是 , 角频率角频率, 它可分解为它可分解为:（前提：满足狄里赫利条件）（前提：满足狄里赫利条件） 其中其中 称为傅里叶系数。称为傅里叶系数。教材教材P12019Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶系数傅里叶系数 可按可按$4.1中的相关公式计算：中的相关公式计算：20Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 因此，在最终展开式中的常数项为因此，在最终展开式中的常数项为 。

15、为保证为保证 计算公式的统一起见，定义：计算公式的统一起见，定义：*是关于是关于 的偶函数。即：的偶函数。即： 。是关于是关于 的奇函数。即：的奇函数。即： 。类似地，可得出类似地，可得出 的计算公式：的计算公式：*21Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 由于由于 和和 是同频率项，可进行合并。是同频率项，可进行合并。式中：式中：是关于是关于 的偶函数。即：的偶函数。即： 。是关于是关于 的奇函数。即：的奇函数。即： 。22Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 总结总结：任何满足狄里赫利条件：任何满足狄里赫利条件

16、 的周期函数可的周期函数可分解为直流和许多余弦（正弦）分量。其中第一项分解为直流和许多余弦（正弦）分量。其中第一项 是常数项，它是周期信号所包含的直流分量；式中是常数项，它是周期信号所包含的直流分量；式中第二项第二项 称为基波或一次谐波，其角频称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同，率与原周期信号相同， 是基波振幅，是基波振幅， 是基波初相是基波初相角；式中第三项角；式中第三项 称为二次谐波；以此称为二次谐波；以此类推，还有三次、四次、类推，还有三次、四次、 谐波。一般而言，其中的谐波。一般而言，其中的 称为称为 次谐波。总之，周期信号可分解次谐波。总之，周期信号可分解为各次谐波分量。为

17、各次谐波分量。23Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 例例4.2-1 将如图所示的方波信号将如图所示的方波信号 展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：24Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 25Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 26Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 下面考察当用有限项级数逼近下面考察当用有限项级数逼近 时引起的误差时引起的误差 ：当取一、三次谐波时：当取一、三次谐波时：当取一、三、五次谐波时：当取一、三

18、、五次谐波时：当取一、三、五、七次谐波时：当取一、三、五、七次谐波时：当只取基波时：当只取基波时：【 】 27Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 TT/ 20t(a) 基波基波0T/ 2Tt (b) 基波基波+三次谐波三次谐波0T/ 2Tt(c) 基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波0T/ 2Tt(d) 基波基波+三次三次+五次五次+七次谐波七次谐波28Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 (1) 级数所取项数愈多，合成波形（除间断点外）愈级数所取项数愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号接近于原

19、方波信号,其均方误差越小。其均方误差越小。低频成分低频成分 合成波形的主体轮廓。合成波形的主体轮廓。高频成分高频成分 合成波形的细节部分。合成波形的细节部分。(2) 级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。间断点。(3) 即使即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，(4)有约有约 的偏差。但在均方（整体）的意义上，合成的偏差。但在均方（整体）的意义上，合成(5)波形同原方波的真值之间没有区别。波形同原方波的真值之间没有区别。 (吉布斯现象吉布斯现象）29Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶

20、级数傅里叶级数 二二. 奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 若给定的若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使得计算较为简便。系数将等于零，从而使得计算较为简便。1. 为偶函数为偶函数即有：即有： , 波形对称于纵坐标轴。波形对称于纵坐标轴。30Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 2. 为奇函数为奇函数即有：即有： , 波形对称于原点。波形对称于原点。31Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 注意注意：任意信号都可以分为：任意信号都可以分为奇奇函数和函数和偶偶

21、函数两部分。函数两部分。其中：其中：式式(a)式式(b)式式(a) 式式(b)*32Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析任意周期信号可以分为任意周期信号可以分为奇奇函数和函数和偶偶函数两部分，函数两部分，是否会简化傅里叶级数系数的计算？是否会简化傅里叶级数系数的计算？思思 考考： 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 不能。不能。因为仍要计算两类系数。因为仍要计算两类系数。回回 答答：33Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 3. 为奇谐函数为奇谐函数 如果函数如果函数 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半后，与后半周期波形相对于横轴对称，

22、即：周期波形相对于横轴对称，即： ，则称，则称该函数为该函数为奇谐函数。奇谐函数。此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即：含有偶次谐波分量。即： 例：例：34Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 证：证：【 】令令 ，可得：，可得：35Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 【令【令 】当当 为偶数时，为偶数时， 。当当 为奇数时，为奇数时， 。的证明类似。的证明类似。得证得证。36Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅

23、里叶级数傅里叶级数 例例4.2-2 正弦交流信号正弦交流信号 经全波或半波整流后经全波或半波整流后的波形如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。的波形如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。(a) 全波整流信号全波整流信号(b) 半波整流信号半波整流信号解：解：(1) 全波整流信号全波整流信号37Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 为偶函数，为偶函数， 。令令 ，可得：，可得：方法一方法一38Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 39Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 注意注

24、意： 同样可看成是周期为同样可看成是周期为 的周期函数。的周期函数。此时，此时， 对应的基波角频率为对应的基波角频率为 。方法二方法二仍为偶函数，仍为偶函数， 。40Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 令令 ，可得：，可得：【 】【 】41Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 令令 ，可得：，可得：【 】【 】42Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 (2) 半波整流信号半波整流信号令令方法一方法一43Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶

25、级数 44Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 令令【 】45Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 对于半波整流信号，也可分解为奇函数与对于半波整流信号，也可分解为奇函数与偶函数两部分进行求解。偶函数两部分进行求解。方法二方法二46Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 47Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 三三. 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式设设 ，对上式中第三项进行变量替换：，对上式中第三项进行变量替换：【三角形式】【

26、三角形式】48Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 如将上式中的如将上式中的 写成写成 （其中（其中 ），则），则 上式可写成：上式可写成： 利用利用 ， ，可得：，可得：49Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 令令复复数量数量 ，称其为复傅里叶系数，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。可得指数形式的傅里叶级数为：简称傅里叶系数。可得指数形式的傅里叶级数为：*其中的傅里叶系数为：其中的傅里叶系数为：【教材【教材P127式式（4.2-18）中多）中多 了一个了一个1/2】50Chapter 4 傅里叶变换和系统的频

27、域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 讨论讨论： 与与 的关系。的关系。展开式的对比展开式的对比：三角形式：三角形式：指数形式：指数形式：51Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 例例4.2-3 周期锯齿波的信号如图所示，求其周期锯齿波的信号如图所示，求其指数形式指数形式的傅里叶级数展开式。的傅里叶级数展开式。解：解：52Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 当当 时，有：时，有：【 】分部积分法：分部积分法：53Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 4.3 周期信号

28、的频谱周期信号的频谱一一. 周期信号的频谱周期信号的频谱单边谱单边谱：. 横坐标横坐标. 纵坐标纵坐标单边幅度频谱，单边幅度频谱，简称简称单边幅度谱单边幅度谱。. 横坐标横坐标. 纵坐标纵坐标单边相位频谱，简称单边相位频谱，简称单边相位谱单边相位谱。54Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 (a) 单边幅度谱单边幅度谱(b) 单边相位谱单边相位谱幅度谱线：幅度谱线： 幅度谱中的每条竖线代表幅度谱中的每条竖线代表 该频率分量的幅度。该频率分量的幅度。相位谱线：相位谱线： 相位谱中的每条竖线代表相位谱中的每条竖线代表 该频率分量的相位。该频率分量的相

29、位。包络线：包络线： 连接各幅度谱线顶点连接各幅度谱线顶点 的曲线。的曲线。55Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 双边谱双边谱：双边相位频谱，简称双边相位频谱，简称双边相位谱双边相位谱。. 横坐标横坐标. 纵坐标纵坐标. 横坐标横坐标. 纵坐标纵坐标双边幅度频谱，双边幅度频谱，简称简称双边幅度谱双边幅度谱。56Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 (a) 双边幅度谱双边幅度谱(b) 双边相位谱双边相位谱57Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期

30、信号频谱的共同点：周期信号频谱的共同点：第一为第一为离散性离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。谱或离散谱。第二为第二为谐波性谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有波频率的整数倍频率上，即含有 的各次谐波分量的各次谐波分量 ，而决不含有非，而决不含有非 整数倍的谐波分量。整数倍的谐波分量。第三为第三为收敛性收敛性，各次谐波分量的振幅虽然随，各次谐波分量的振幅虽然随 的变的变化有起伏变化，但总的趋势是随着化

31、有起伏变化，但总的趋势是随着 的增大而逐渐的增大而逐渐减小。当减小。当 时，时， 。58Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 二二. 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为设有一幅度为1，脉冲，脉冲宽度为宽度为 的周期性矩形脉冲，的周期性矩形脉冲，其周期为其周期为 ，求其，求其复复傅里叶级数。傅里叶级数。解：解：59Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 定义：定义：取样函数取样函数特点：特点：(1) 当当 时，时， 。(2) 是偶函数。是偶函数。(3) 总体呈衰减趋势。总体呈衰减趋势。(

32、4) 是是 的零点。的零点。60Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期性矩形脉冲指数形式的傅里叶级数展开式为：周期性矩形脉冲指数形式的傅里叶级数展开式为：注意注意： 当当 为实数时，为实数时，幅度谱与相位谱可幅度谱与相位谱可画在同一张图上。画在同一张图上。61Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 几个重要指标几个重要指标：1. 相邻谱线的间隔：相邻谱线的间隔：3. 第一个零点的位置：第一个零点的位置：2. 谱线零点的位置：谱线零点的位置：4. 第一个零点对应的谱线序号：第一个零点对应的谱线序号：

33、【前提：【前提： 为为 的整数倍】的整数倍】62Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期性矩形脉冲频谱的特点周期性矩形脉冲频谱的特点：1. 离散性。离散性。2. 谐波性。且当谐波性。且当 时，谱线越稠密。时，谱线越稠密。4. 谱线的幅度按包络线谱线的幅度按包络线 的规律变化。当的规律变化。当 时，相应的频谱分量等于零。时，相应的频谱分量等于零。5. 能量主要集中在第一零点以内能量主要集中在第一零点以内。定义信号带宽为。定义信号带宽为。当。当 时，零点位置越远，带宽越宽。时，零点位置越远，带宽越宽。P663. 收敛性。能量主要集中在低频频率处。收

34、敛性。能量主要集中在低频频率处。63Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=8f (t)tT0T=16f (t)t0T02/4/1/ 4Fn02/4/TFn02/4/1/16Fn02/4/1/ 8Fn，谱线越稠密（间隔：，谱线越稠密（间隔： ）；非周期信号演变为连续谱。）；非周期信号演变为连续谱。64Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析1/1602/4/Fnf (t)tT0=T/8f (t)tT0 =T/402/8/1/ 8Fn4/02/16/1/ 4Fn4/8/tT0=T/16f

35、 (t) 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 ，零点位置越远，带宽越宽（，零点位置越远，带宽越宽（ ）。）。65Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 三三. 周期信号的功率周期信号的功率 （从频域计算）（从频域计算）周期信号是功率信号，归一化平均功率为：周期信号是功率信号，归一化平均功率为：以上为时域表达式，其频域表达式为：以上为时域表达式，其频域表达式为：66Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 形式项：形式项：形式项：形式项：67Chapter 4 傅里叶

36、变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 *由于由于 是是 的偶函数，且有的偶函数，且有 ，则有：，则有：【 】以上两式称为以上两式称为帕斯瓦尔等式帕斯瓦尔等式。它们表明，对于周期信号，在时域中求得的功率与在它们表明，对于周期信号，在时域中求得的功率与在频域中求得的功率相等。（能量守恒）频域中求得的功率相等。（能量守恒） 【解释：【解释： 的功率的功率 】68Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 例例4.3-1 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。分量的功

37、率所占总功率的百分比。解：解：根据第二部分的计算结果，有：根据第二部分的计算结果，有：69Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 第一个零点对应的频率为：第一个零点对应的频率为：【 】【 】70Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小隔趋近于无穷小 ，从而频谱密集成为连续谱。，从而频谱密集成为连续谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小同时，各频率分量的幅度也

38、都趋近于无穷小 ，但这些无穷小量仍保持一定比例关系。（例：但这些无穷小量仍保持一定比例关系。（例： 与与 ） 为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的概念（思路：无穷小的概念（思路：无穷小/无穷小无穷小 或或 无穷小无穷小*无穷大）。无穷大）。 令：令：称称 为频谱密度函数（为频谱密度函数（含义在后面解释含义在后面解释）。）。*一一. 傅里叶变换傅里叶变换 71Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 当当 时，有：时，有：式式(b)*式式(a)【 】72Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析

39、 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 术语术语：式式(b)为非周期函数为非周期函数 的的傅里叶变换傅里叶变换。式式(a)为频谱密度函数为频谱密度函数 的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换。 为为 的的频谱密度函数频谱密度函数(频谱函数频谱函数)。 为为 的的原函数原函数。记号记号：*73Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 奇偶性奇偶性：（前提：（前提： 为为实实函数）函数）的偶函数的偶函数的奇函数的奇函数的偶函数的偶函数的奇函数的奇函数74Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶逆变换式

40、的物理意义傅里叶逆变换式的物理意义：根据奇偶性，有：根据奇偶性，有：【上式第二项【上式第二项 为奇函数】为奇函数】75Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 上式表明，上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的非周期信号可看作是由不同频率的余弦余弦“分量分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率一切频率“分量分量”。 各频率分量的幅度为各频率分量的幅度为 ，为无穷小量。所以信号的频谱（幅度谱）不能用各分为无穷小量。所以信号的频谱（幅度谱）不能用各分量的幅度表示，改为用频谱密度函数的幅度量的幅度表示，改为用频

41、谱密度函数的幅度 来来表示，即：在某频点处单位频率的信号幅度。表示，即：在某频点处单位频率的信号幅度。【 单位频率的信号幅度单位频率的信号幅度 无穷小频率间隔】无穷小频率间隔】76Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶变换的存在条件傅里叶变换的存在条件： 需要说明，前面在推导傅里叶变换式的过程中需要说明，前面在推导傅里叶变换式的过程中并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数 的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内充分条件是在无限区间内绝对可积绝对可积，即：，即： 。但注

42、意该条件并非必。但注意该条件并非必要条件。当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对要条件。当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积分条件的函数（例：可积分条件的函数（例： ）也能进行傅里叶变换。）也能进行傅里叶变换。这给信号与系统的分析带来了很大的方便。这给信号与系统的分析带来了很大的方便。77Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 例例4.4-1 如图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号如图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，高度为，高度为1 。求其频谱函数。求其频谱函数。解：解：78Chapter 4 傅里

43、叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 *注意注意：1. 如果如果 为实函数或虚函数，幅度谱和为实函数或虚函数，幅度谱和2. 相位谱可表示在一张图上。相位谱可表示在一张图上。2. 门函数的带宽定义为门函数的带宽定义为 。79Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 例例4.4-2 求下图所示的求下图所示的单边单边指数函数的频谱函数指数函数的频谱函数( )。解：解：80Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 例例4.4-3 求下图所示的求下图所示的双边双边指数函数的频谱函数

44、指数函数的频谱函数( )。解：解：81Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 例例4.4-4 求下图所示信号的频谱函数求下图所示信号的频谱函数( )。解：解：82Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 二二. 某些特殊函数的傅里叶变换某些特殊函数的傅里叶变换（ 等）等）1. 冲激函数的频谱冲激函数的频谱即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲激函数的频谱是常数1，如下图所示。，如下图所示。其频谱密度在区间其频谱密度在区间 处处相等，常称处处相等，常称为为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。 *8

45、3Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 2. 冲激函数导数的频谱冲激函数导数的频谱按冲激函数导数的性质：按冲激函数导数的性质：【第一章的性质】【第一章的性质】类似可得：类似可得：*【 】84Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 3. 单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱幅度等于幅度等于1的直流信号可表示为：的直流信号可表示为：显然，显然，该信号并不满足绝对可积条件该信号并不满足绝对可积条件。85Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 当当 时

46、，有：时，有：*【分子分母【分子分母 同除以同除以 】【 】思考思考： 与哪个函数与哪个函数的特点相同？的特点相同？86Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 4. 符号函数的频谱符号函数的频谱符号函数定义为：符号函数定义为：显然，显然，该信号并不满足绝对可积条件该信号并不满足绝对可积条件。87Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 当当 时，有：时，有：【 】但但88Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 5. 阶跃函数的频谱阶跃函数的频谱阶跃

47、函数定义为：阶跃函数定义为： 不满足绝对可积不满足绝对可积。=+89Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 总结总结： 附录四附录四列出常用函数的傅里叶变换。（教材列出常用函数的傅里叶变换。（教材P414）90Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质任一信号可以有两种描述方法：任一信号可以有两种描述方法：时域的描述时域的描述频域的描述频域的描述本节将研究在某一域中对函数进行某种运算（如：尺本节将研究在某一域中对函数进行某种运算（如：尺度变换、平移等），在另

48、一域中所引起的效应。度变换、平移等），在另一域中所引起的效应。 为简便起见，用为简便起见，用 表示二者间关系，即：表示二者间关系，即： 91Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 一一. 线性性质线性性质 若若 ， ，则：，则：证明过程略。证明过程略。物理意义物理意义：1. 齐次性齐次性2. 可加性可加性92Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 二二. 奇偶性奇偶性 【部分内容前面已讨论部分内容前面已讨论】本性质研究本性质研究实时间函数实时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。与其频谱的奇、偶、

49、虚、实关系。93Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 1. 若若 是实时间函数，则频谱函数是实时间函数，则频谱函数 的实部的实部2. 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数，的奇函数， 3. 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数。的奇函数。2. 若若 是实是实偶偶函数，则函数，则 ，且有：，且有：因此，因此， 也为实偶函数（关于也为实偶函数（关于 的函数）。的函数）。3. 若若 是实是实奇奇函数，则函数，则 ，且有：，且有：因此，因此， 为虚奇函数（关于为虚奇函数（关于 的函数）的函数） 。94Chapter 4 傅里叶变换和系统的

50、频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 4. 的傅里叶变换的傅里叶变换令令 得，得，*若若 是是实实函数，则函数，则 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数。的奇函数。95Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 总结一总结一若若 是是实函数实函数，且设，且设 则有则有：(1) (2)如如 , 则则实奇实奇 虚奇虚奇(3) 如如 ，则，则实偶实偶 实偶实偶偶函数偶函数奇函数奇函数96Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 (1) (2)总结二总结二若若 是是虚函数虚函数，则有：（自

51、己下去证明），则有：（自己下去证明）如如 , 则则虚奇虚奇 实奇实奇(3) 如如 ，则，则虚偶虚偶 虚偶虚偶偶函数偶函数奇函数奇函数97Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 三三. 对称性对称性 若若 ，则有：，则有： 。*将将 换为换为 ，得：，得：将将 和和 互换，得：互换，得：证：证：即：即：98Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例如：例如：令令 ，得：，得：解：已知解：已知 。例例4.5-1 求取样函数求取样函数 的频谱函数。的频谱函数。99Chapter 4 傅里叶变换和系统的

52、频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-2 求函数求函数 和和 的频谱函数。的频谱函数。解：已知解：已知已知已知【 为为 奇函数】奇函数】100Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 四四. 尺度变换尺度变换 含义：含义：若信号若信号 在时间坐标上压缩（或扩展）到原来在时间坐标上压缩（或扩展）到原来的的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽（或，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽（或压缩）至压缩）至 倍，同时其幅度变为原来的倍，同时其幅度变为原来的 。若若 ，则有：，则有： 。*例：例：101Chapter 4 傅里叶变换和

53、系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 时域压缩时域压缩频域扩展频域扩展时域扩展时域扩展频域压缩频域压缩例：例：102Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 令令 ，则，则 。当当 时，有：时，有：当当 时，有：时，有：特例特例：证：证：103Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 五五. 时移特性时移特性 若若 ，则有：，则有： 。*含义：含义：在时域中，信号沿时间轴右移（或左移）在时域中，信号沿时间轴右移（或左移） ，其，其在频域中所有频域分量相应落后（或超前）在频域中所有

54、频域分量相应落后（或超前） 一一相位相位 ，而其幅度保持不变。，而其幅度保持不变。思考思考：证：证：*104Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-3 已知图已知图(a)的函数是宽度为的函数是宽度为2的门函数，即：的门函数，即： ，其傅里叶变换，其傅里叶变换 。 求图求图(b)和和(c)中函数中函数 和和 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 (a)(b)(c)105Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 解：解：(1)(2)或利用：或利用：可得相同结果。可得相同结果。P112106Chap

55、ter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-4 如图所示，有如图所示，有5个相同的脉冲，其相邻间隔个相同的脉冲，其相邻间隔 为为 ，求其频谱函数。，求其频谱函数。解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为 ，其，其 频谱为频谱为 ，则图中的信号可表示为：，则图中的信号可表示为： 显然有：显然有：107Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 根据等比数列求和公式（教材根据等比数列求和公式（教材P100），有：），有： 对上式进行化简，可得：对上式进行化简，可得： 10

56、8Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 显然，当显然，当 时，有：时，有： 另外，当另外，当 ( 为整数，但不为为整数，但不为5的倍数的倍数) 时，有：时，有： 【 】即：在即：在 处，处， 是是 的的5倍。这是由于在倍。这是由于在这些频率点处，这些频率点处，5个单个脉冲的各频率分量同向。个单个脉冲的各频率分量同向。【令【令 】109Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 ( 为整数，但为整数，但不为不为5的倍数的倍数)信号的能量将向信号的能量将向 处处集中，其它频率处幅度减小，集中，其它频率

57、处幅度减小，甚至为零（如：甚至为零（如： 、 、 、 等处）。等处）。110Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 推广到一般情况（推广到一般情况（ 脉冲个数为脉冲个数为 ，且为奇数），有：，且为奇数），有： ( 为整数，但为整数，但不为不为N的倍数的倍数)当当 时，信号演变为周期信号，且有如下规律：时，信号演变为周期信号，且有如下规律： 除除 的频率外，其它频率分量的幅度均为零。的频率外，其它频率分量的幅度均为零。即：连续谱即：连续谱离散谱。离散谱。（解释：例如（解释：例如0和和 间间隔间间隔 个幅度为零的频率点）个幅度为零的频率点）111C

58、hapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 六六. 频移特性频移特性 （调制特性）（调制特性）若若 ，则有：，则有： 。*含义：含义：将信号将信号 乘以因子乘以因子 ，对应于将频谱函数沿，对应于将频谱函数沿 轴右移轴右移 ；将信号；将信号 乘以因子乘以因子 ，对应于，对应于将频谱函数沿将频谱函数沿 轴左移轴左移 。 证：证：112Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例：例： 求解正、余弦函数的傅里叶变换。求解正、余弦函数的傅里叶变换。根据频移性质，可得：根据频移性质，可得：根据欧拉公式，可得：根据

59、欧拉公式，可得：113Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析0t1f (t)=cos0t0-00F(j)(b) 正弦脉冲及其频谱正弦脉冲及其频谱0t1f (t)= sin0t-X()0-00(a) 余弦脉冲及其频谱余弦脉冲及其频谱 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 114Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-5 如已知信号如已知信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ， 求求信号信号 的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：解：频移特性在通信系统中应用广泛，如频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅调幅，同步解调，同步解调等都是在

60、频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移的原等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：理如下图所示： 调制调制解调解调P118115Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析调幅波调幅波 （补充）（补充）电磁波电磁波的传播的传播导线导线空气空气 例：无线电广播、电视塔、微波通信等。例：无线电广播、电视塔、微波通信等。 若采用无线传输，需要使用天线，天线所流过电流必须若采用无线传输，需要使用天线，天线所流过电流必须是高频电流，原因是必须满足：是高频电流，原因是必须满足：天线天线尺寸尺寸信号信号波长波长例：语音信号频率例：语音信号频率若若则则 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性

61、质 116Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析将要发射的低频信号搭载到高频信号（称为将要发射的低频信号搭载到高频信号（称为载载波波）上，然后通过天线发射出去的过程。所发）上，然后通过天线发射出去的过程。所发射的信号称为射的信号称为已调信号已调信号。（类比：人乘坐交通。（类比：人乘坐交通工具）工具）调制调制：解调解调：在接收方，从已调信号中恢复出真正要传送的在接收方，从已调信号中恢复出真正要传送的低频低频调制信号调制信号。（类比：人从交通工具中下来）。（类比：人从交通工具中下来） 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 调幅调幅：已调信号的幅度随着调制信号幅度的变化而成已调信号的幅度

62、随着调制信号幅度的变化而成正比例地变化。正比例地变化。117Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 调制信号：调制信号：载波信号：载波信号：已调信号：已调信号：从时域上看，已调信从时域上看，已调信号的幅度随着调制信号的幅度随着调制信号幅度的变化而变化。号幅度的变化而变化。若若 ，则：，则：从频域上看，从频域上看，频谱搬移。频谱搬移。调制过程调制过程118Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 调制过程调制过程119Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换

63、的性质 载波信号：载波信号：解调后输出：解调后输出：已调信号：已调信号：滤波后输出：滤波后输出：解调过程解调过程120Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 解调过程解调过程121Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 七七. 卷积定理卷积定理若：若： 则：则： 时域卷积定理时域卷积定理：频域卷积定理频域卷积定理：若：若： 则：则： 其中：其中：122Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 证：根据卷积积分的定义，有：证：根据卷积积分的定义，有：

64、【交换积分次序】【交换积分次序】【时移特性】【时移特性】频域卷积定理的证明过程类似，略。频域卷积定理的证明过程类似，略。123Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-6 求三角形脉冲求三角形脉冲的频谱函数。的频谱函数。*=（自己下去验证）（自己下去验证）124Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 *=125Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-7 求斜升函数求斜升函数 和函数和函数 的频谱函数。的频谱函数。解：已知解：

65、已知且有且有【 是是 奇函数】奇函数】【卷积的【卷积的 微积分微积分 性质】性质】126Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 八八. 时域微分和积分时域微分和积分设设若若 ，则有，则有 。*时域微分定理时域微分定理：时域积分定理时域积分定理：若若 ，则有，则有 。*若若 ，则，则 。这里，这里， 。127Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 证：时域微分定理可证明如下：证：时域微分定理可证明如下：时域积分定理可证明如下：时域积分定理可证明如下：这两个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即

66、这两个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导先将所求的函数求导(或积分或积分)，求出其导数，求出其导数(或积分或积分)的傅的傅里叶变换里叶变换, 再利用积分再利用积分(或导数或导数)性质求出所求信号的频谱。性质求出所求信号的频谱。【反复利用左【反复利用左 边的性质】边的性质】128Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 什么时候应用时域微积分性质？什么时候应用时域微积分性质？微分性质微分性质： 当直接计算某函数当直接计算某函数 的傅里叶变换的傅里叶变换繁琐，而其积分繁琐，而其积分 的傅里叶变换容易的傅里叶变换容易计算时，可

67、应用微分性质。计算时，可应用微分性质。积分性质积分性质： 当直接计算某函数当直接计算某函数 的傅里叶变换的傅里叶变换繁琐，而其导数繁琐，而其导数 的傅里叶变换容易的傅里叶变换容易计算时，可应用积分性质。计算时，可应用积分性质。129Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-8 求三角形脉冲求三角形脉冲的频谱函数。的频谱函数。解：解：130Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 设设 ，则有：，则有：【 】131Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里

68、叶变换的性质 利用积分性质，可得：利用积分性质，可得：【 】再次利用积分性质，可得：再次利用积分性质，可得：【 】132Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-9 求门函数求门函数 的积分的积分的频谱函数。的频谱函数。解：解：【 】133Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 利用时域积分性质时应注意的条件利用时域积分性质时应注意的条件： 但要注意，对某些函数，虽然有但要注意，对某些函数，虽然有 ，但，但有可能存在：有可能存在：这是因为：这是因为：最终有：最终有：* 当欲求某函数当欲

69、求某函数 的傅里叶变换时，常可根据其的傅里叶变换时，常可根据其导数导数 的傅里叶变换，利用积分特性求得的傅里叶变换，利用积分特性求得 。134Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-10 求图求图(a)、(b)所示信号的傅里叶变换。所示信号的傅里叶变换。解：图解：图(a)所示的函数可写为：所示的函数可写为：(a)(b)(c)【 】135Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 图图(b)所示的函数可写为：所示的函数可写为：(a)(b)(c)【 】136Chapter 4 傅里叶变换和系

70、统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 九九. 频域微分和积分频域微分和积分设设频域微分定理频域微分定理：若若 ，则有，则有 。*频域积分定理频域积分定理：若若 ，则有，则有 。*这里，这里， 。若若 ，则，则 。137Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 证：频域微分定理可证明如下：证：频域微分定理可证明如下：即：即： 。【 】【对称性】【对称性】138Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 频域积分定理可证明如下：频域积分定理可证明如下：139Chapter 4 傅里叶变换

71、和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 什么时候应用频域微积分性质？（第一种情况）什么时候应用频域微积分性质？（第一种情况）微分性质微分性质： 当直接计算当直接计算 的傅里叶逆变换繁的傅里叶逆变换繁琐，而其积分琐，而其积分 的傅里叶逆变换易的傅里叶逆变换易计算时，可应用微分性质。计算时，可应用微分性质。积分性质积分性质： 当直接计算当直接计算 的傅里叶逆变换繁的傅里叶逆变换繁琐，而其导数琐，而其导数 的傅里叶逆变换易的傅里叶逆变换易计算时，可应用积分性质。计算时，可应用积分性质。140Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质

72、利用频域积分性质时应注意的条件利用频域积分性质时应注意的条件： 当欲求当欲求 的逆傅里叶变换时，常可根据其导数的逆傅里叶变换时，常可根据其导数 的逆变换，利用积分特性求得的逆变换，利用积分特性求得 。 但要注意，对某些函数，虽然有但要注意，对某些函数，虽然有 ，但有可能存在：但有可能存在：这是因为：这是因为：【 】最终有：最终有：*141Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 什么时候应用频域微积分性质？什么时候应用频域微积分性质？(第二种情况，第二种情况，更常用更常用)微分性质微分性质： 当已知当已知 ，可计算出：，可计算出：积分性质积分性质

73、： 当已知当已知 ，可计算出：，可计算出：142Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-11 求斜升函数求斜升函数 的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：单位阶跃信号及其频谱函数为解：单位阶跃信号及其频谱函数为由式由式 ，可得：，可得：【令【令 】143Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-12 求函数求函数 的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：令解：令根据频域积分特性有：根据频域积分特性有：【 】144Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里

74、叶变换的性质 利用傅里叶（逆）变换求解类似利用傅里叶（逆）变换求解类似 或或 思路：思路： 将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已知的函数在将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已知的函数在某点处的函数值。即：某点处的函数值。即：或：或：145Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 例例4.5-13 求求 。解：解题思路是将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已解：解题思路是将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已 知的函数在某点处的函数值。即：知的函数在某点处的函数值。即：令令 设设 ，可得：，可得：【若【若 ，积分，积分 上限为上限为 】146Chapter 4 傅里叶

75、变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 令令 ，可得：，可得： 。 即：即： 。147Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 十十. 相关定理相关定理 相关定理研究的是两个相关定理研究的是两个实实信号相关函数的傅里叶信号相关函数的傅里叶变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。若：若：则：则：证：根据第二章中的结论，有：证：根据第二章中的结论，有：同理，可证明同理，可证明 。148Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 以上两个式子表明，两个

76、信号互相关函数的傅里以上两个式子表明，两个信号互相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一个信号叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一个信号傅里叶变换的共轭之乘积。傅里叶变换的共轭之乘积。 对于自相关函数，即对于自相关函数，即 ，则有：，则有：即即: 自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。总结总结： 本节学习了本节学习了线性线性、奇偶性奇偶性、对称性对称性、尺度尺度变换变换、时移特性时移特性、频移特性频移特性、卷积定理卷积定理、时域时域微积分微积分、频域微积分频域微积分、相关定理相关定理等性质（等性质（教材教材P161）。巧妙

77、利用这些性质，可大大简化计算。）。巧妙利用这些性质，可大大简化计算。149Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 前面研究的频谱是在频域中描述信号特征的方法前面研究的频谱是在频域中描述信号特征的方法之一。它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的之一。它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。此外，还可以用能量谱或功率谱来描述信分布情况。此外，还可以用能量谱或功率谱来描述信号。特别是对于随机信号，由于无法用确定的时间函号。特别是对于随机信号，由于无法用确定的时间函数来表示，也就不能用频谱表示。这时，往往用

78、功率数来表示，也就不能用频谱表示。这时，往往用功率谱来描述它的频域特性。谱来描述它的频域特性。一一. 能量谱能量谱信号能量：信号能量：若若 ，则称信号为能量有限信号。，则称信号为能量有限信号。【实信号】【实信号】150Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 接下来研究实信号能量接下来研究实信号能量 和频谱函数和频谱函数 间的关系。间的关系。【交换积分次序】【交换积分次序】 帕斯瓦尔方程帕斯瓦尔方程151Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 也可以从频域的角度来研究信号能量。为表征能量也可以从频域的角度

79、来研究信号能量。为表征能量在频域中的分布情况，可借助密度的概念，定义能在频域中的分布情况，可借助密度的概念，定义能量密度函数，简称为能量谱。量密度函数，简称为能量谱。能量谱能量谱 ：单位频率的信号能量（能量密度）。：单位频率的信号能量（能量密度）。*(3) 。(2) 能量谱反映信号能量在频域的分布。能量谱反映信号能量在频域的分布。(1) 能量谱是能量谱是 的偶函数，且只取决于幅度谱。的偶函数，且只取决于幅度谱。【对于能量信号而言】【对于能量信号而言】特点：特点：152Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 二二. 功率谱功率谱信号（平均）功率：信号

80、（平均）功率：若若 ，则称信号为功率有限信号。，则称信号为功率有限信号。功率有限信号的能量功率有限信号的能量 。为计算傅里叶变换，截取为计算傅里叶变换，截取 中中 的一段。设：的一段。设：【实信号】【实信号】153Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 的能量的能量 可表示为：可表示为：功率谱功率谱 ：单位频率的平均功率。：单位频率的平均功率。【 】154Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析(1) 功率谱是功率谱是 的偶函数，且只取决于幅度谱。的偶函数，且只取决于幅度谱。(2) 功率谱反映了信号平均功率在频域的分布情况。功率谱反映了信号平

81、均功率在频域的分布情况。(3) 。【注意能量【注意能量/功率信号之分】功率信号之分】 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 特点：特点：证：对于功率信号，自相关函数定义为：证：对于功率信号，自相关函数定义为：【注意与第二章中【注意与第二章中 能量信号定义不同】能量信号定义不同】【 时，有时，有 】155Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析例例4.6-1 如图所示如图所示RC低通电路，已知输入端电压低通电路，已知输入端电压 , 输出为电容两端电压输出为电容两端电压 。求：。求：(1) 的自相关函数的自相关函数 和功率谱和功率谱 。(2) 输出输出 的功率谱的功率谱 ，自相关函数，自相关

82、函数 和和 平均功率平均功率 。 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 156Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 思路思路：【注意：【注意 是功率信号】是功率信号】(1)(2)由由由由类似地，可推导出：类似地，可推导出：【即由【即由 可求可求 】157Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析解：解：(1) 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 【 为奇函数】为奇函数】158Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析(2) 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 159Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.6 能量谱和功率谱

83、能量谱和功率谱 160Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 在前面讨论周期信号的傅里叶级数和非周期信号在前面讨论周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换基础上，本节将讨论周期信号的傅里叶的傅里叶变换基础上，本节将讨论周期信号的傅里叶变换，以及傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。这变换，以及傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。这样，就能把周期信号与非周期信号的分析方法统一起样，就能把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换的应用范围更加广泛。来，使傅里叶变换的应用范围更加广泛

84、。一一. 周期函数傅里叶变换的求解方法周期函数傅里叶变换的求解方法二二. 傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系主要内容主要内容：161Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一一. 周期函数傅里叶变换的求解方法周期函数傅里叶变换的求解方法方法一：方法一： 设有周期为设有周期为 的周期函数的周期函数*162Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 *含义：含义：上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函

85、数组成，这些冲激度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率函数位于信号的各谐波角频率 处，其强度处，其强度为各相应幅度为各相应幅度 的的 倍。倍。例例4.7-1 求周期性矩形脉冲信号求周期性矩形脉冲信号 的频谱函数。的频谱函数。解：解：163Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换164Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 例例4.7-2 求周期性单位冲激函数序列求周期性单位冲激函数序列 的频谱函数。的频谱函数。*

86、解：解：利用傅里叶系数公式利用傅里叶系数公式165Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 方法二：方法二： 从周期信号从周期信号 中任意截取其中一个周期的信号，中任意截取其中一个周期的信号，令其为令其为 。则有：。则有：*根据时域卷积定理，有：根据时域卷积定理，有：166Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 例例4.7-3 求例求例4.7-1中周期脉冲中周期脉冲 的频谱函数。的频谱函数。当当 取取 的不同周期时，对的不同周期时，对 的计的计算结果有无影响？算结果有无影响？思考：

87、思考：没有影响。没有影响。设设 ，则有：，则有：。解：解：167Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 二二. 傅里叶系数与傅里叶变换的关系傅里叶系数与傅里叶变换的关系*上式表明傅里叶变换的许多性质也适用于傅里叶级数，上式表明傅里叶变换的许多性质也适用于傅里叶级数，同时还提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。同时还提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。方法方法1：方法方法2：168Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 例例4.7-4 求如图所示的周期信号指数型傅里叶级数的系

88、数。求如图所示的周期信号指数型傅里叶级数的系数。解：解：结果结果已知已知169Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 前面讨论了信号的傅里叶分析，本节将研究系统前面讨论了信号的傅里叶分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系。的激励与响应在频域中的关系。 在此基础上，再讨论任意信号作用于系统所引起在此基础上，再讨论任意信号作用于系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法，并引出频域中反的响应，得出响应的频域求解方法，并引出频域中反映系统特性的函数映系统特性的函数 频率响应。频率响应。一一. 频率响

89、应及频域分析法频率响应及频域分析法 傅里叶分析是将信号分解为无穷多项不同频率的傅里叶分析是将信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和虚指数函数之和 ，因此首先讨论单一的虚指数，因此首先讨论单一的虚指数函数作用于函数作用于LTI系统引起的响应系统引起的响应(零状态响应零状态响应)。170Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 1. 虚指数函数作用于系统所引起的响应虚指数函数作用于系统所引起的响应设设 ，系统的冲激响应为，系统的冲激响应为 。即：即： 。其中：其中：一个虚指数函数作用于一个虚指数函数作用于LTI系统所引起的零状系统所引起的零状态

90、响应仍然是同频率的虚指数函数，只是幅度态响应仍然是同频率的虚指数函数，只是幅度和相位上发生了变化。和相位上发生了变化。 实质实质：171Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 2. 当输入为任意信号时的响应当输入为任意信号时的响应当激励为任意信号当激励为任意信号 时，由傅里叶逆变换式可得：时，由傅里叶逆变换式可得：根据线性性质，可得：根据线性性质，可得：因此，有：因此，有：*172Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 3. 频率响应的定义频率响应的定义 频率响应（频率响应函数，系数函数）定

91、义为频率响应（频率响应函数，系数函数）定义为系统零状态响应的傅里叶变换系统零状态响应的傅里叶变换 与激励的傅里叶与激励的傅里叶变换变换 之比，即：之比，即：幅频幅频响应响应相频相频响应响应偶函数偶函数奇函数奇函数173Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 系统特性的表征系统特性的表征系系 统统微分方程微分方程框图框图冲激响应冲激响应频率响应频率响应174Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析例例4.8-1 某某LTI系统的幅频响应系统的幅频响应 和相频响应和相频响应 如下图所示。若系统的激励如下图所示。若系统的激励 ， 求系统的响应

92、。求系统的响应。 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 4. 频域分析法频域分析法时域分析法：时域分析法：频域分析法：频域分析法：解：将解：将 展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数的基波角频率的基波角频率方方法法一一175Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶系数傅里叶系数176Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 取取 的傅里叶变换，可得：的傅里叶变换，可得：方方法法二二177Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 结果分析：

93、结果分析：直流直流分量分量一次一次谐波谐波二次二次谐波谐波直流分量：完全通过。直流分量：完全通过。一次谐波：幅度减半，一次谐波：幅度减半， 滞后滞后 。二次谐波：完全滤除。二次谐波：完全滤除。178Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 例例4.8-2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为求输入求输入 时系统的零状态响应。时系统的零状态响应。解：对方程取傅里叶变换，得：解：对方程取傅里叶变换，得：179Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 例例4.8-3 如图所示的如图所示的 电路

94、，若激励电压源电路，若激励电压源 为为 单位阶跃函数单位阶跃函数 ，求电容电压，求电容电压 的零状态响应。的零状态响应。解：解：【令【令 】【分子、分母【分子、分母 同乘同乘 】180Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 181Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析例例4.8-4 如图所示的系统，已知乘法器的输入信号分别如图所示的系统，已知乘法器的输入信号分别为为 ，乘积通过频率响应为，乘积通过频率响应为 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 的滤波器，求输出的滤波器，求输出 。解：解：182Chapter 4 傅里叶变换和系

95、统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 利用傅里叶变换的对称性，可得：利用傅里叶变换的对称性，可得：又有：又有：183Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 可转换为：可转换为：184Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 二二. 无失真传输无失真传输 所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度上以及出现时间上的先后不同，而没有波形上的变化。上以及出现时间上的先后不同，而没有波形上的变化。思考思考：LTI系统的频率响应系统的频率响应

96、 应满足什么条件，才应满足什么条件，才能实现无失真传输信号？能实现无失真传输信号？185Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 结论结论：幅频响应为常数幅频响应为常数 （理想理想情况）情况） 相频响应为一条过原点的直线相频响应为一条过原点的直线 一般对限带信号而言，一般对限带信号而言，只要在信号有限带宽内满足只要在信号有限带宽内满足该条件即可实现无失真传输。该条件即可实现无失真传输。实际实际：多为低通：多为低通/高通高通/带通带通/带阻等；幅频响应有波纹。带阻等；幅频响应有波纹。186Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 L

97、TI系统的频域分析系统的频域分析 三三. 理想低通滤波器理想低通滤波器截止频率截止频率：通带通带：阻带阻带：注意注意：与无失真传输系统的频率响应进行区分。：与无失真传输系统的频率响应进行区分。187Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 1. 冲激响应冲激响应令令 并同除以并同除以 ，可得：，可得：输出峰值时刻推迟了输出峰值时刻推迟了 。输出出现在输入之前。输出出现在输入之前。特点：特点：【对称性】【对称性】188Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 2. 阶跃响应阶跃响应令令 ，则有：，

98、则有：【设【设 】【 】正弦积分正弦积分189Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 以下讨论：以下讨论：(1) 信号上升时间信号上升时间(2) 吉布斯现象吉布斯现象(3) 最大值最大值(4) 因果性因果性190Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 (1) 由上图可见，在由上图可见，在 处阶跃响应上升最快处阶跃响应上升最快【此时的此时的(2)导数值最大导数值最大】，若定义上升时间，若定义上升时间 为为 在在 处斜率处斜率的倒数，则上升时间的倒数，则上升时间 为：为：结论结论：滤波器的通带愈

99、宽，即截止频率愈高，其阶跃滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭。响应上升时间愈短，波形愈陡峭。【设【设 表示表示滤波器带宽】滤波器带宽】(2) 当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近（如：用当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近（如：用 的的(3)不同频率成分逼近）原信号时，若原信号有间断点，则不同频率成分逼近）原信号时，若原信号有间断点，则(4)在各间断点处，恢复信号将出现过冲，称为在各间断点处，恢复信号将出现过冲，称为吉布斯现象吉布斯现象。191Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 (3)结论结论： 与滤波器的带宽无

100、关。增大滤波器的通带，与滤波器的带宽无关。增大滤波器的通带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近 处。处。(4) 理想低通是非因果的，是物理不可实现的。理想低通是非因果的，是物理不可实现的。虽然理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特虽然理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。性接近于理想特性的电路却不难构成。(教材教材P180)【此时有：【此时有： 】192Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析要求：幅频特性不能在有限频带内为零。要求：幅频特性不能在有限频带内为零。 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 判断系统

101、是否物理可实现的依据判断系统是否物理可实现的依据：时域时域:频域频域:佩利佩利-维纳准则维纳准则且且【否则有：【否则有： 】反例反例193Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 4.9 取样定理取样定理 取样定理论述了在取样定理论述了在一定的条件一定的条件下，一个连续时间下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示。这些样本值包含了该连续信号的全称样本值）表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。这就给连部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。这就给连续

102、信号的数字化传输和处理提供了理论依据。续信号的数字化传输和处理提供了理论依据。 下面我们就从下面我们就从信号的取样信号的取样出发，讨论信号取样后时出发，讨论信号取样后时域和频域的变化，从而分析出为了能从取样后的信号恢域和频域的变化，从而分析出为了能从取样后的信号恢复原来的信号所应满足的条件；在恢复原信号的过程中，复原来的信号所应满足的条件；在恢复原信号的过程中，时域和频域又分别发生了什么变化，分析时域和频域又分别发生了什么变化，分析恢复原信号恢复原信号的的实质，从而引出取样定理的内容。实质，从而引出取样定理的内容。194Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理

103、一一. 信号的取样信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用周期性脉冲序列就是利用周期性脉冲序列 从连续从连续信号信号 中中“抽取抽取”一系列离散样本值的过程。由此得一系列离散样本值的过程。由此得到的离散信号称为取样信号。到的离散信号称为取样信号。均匀均匀取样取样取样周期取样周期取样取样(角角)频率频率195Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 1. 冲激取样冲激取样 (限定：限定： 是带限信号是带限信号)(1) 理论分析理论分析因此为了不发生频谱混叠现象必须满足：采样频率必因此为了不发生频谱混叠现象必须满足：采样频率必须大于信号最高频率的两倍。即须大于信号最

104、高频率的两倍。即:(或或 )由此可见，连续信号在时域进行抽样，在频域频谱会由此可见，连续信号在时域进行抽样，在频域频谱会以以 为周期在频率轴上为周期在频率轴上周期延拓周期延拓，只是幅度缩小为，只是幅度缩小为 。196Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 (2) 图示图示要求：要求： 或或197Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 2. 矩形脉冲取样矩形脉冲取样 (限定：限定： 是带限信号是带限信号)(1) 理论分析理论分析当当 时，对应的频谱项为时，对应的频谱项为 。因此，在频谱不发生混叠的条件下，可恢复出原信号。因此，在

105、频谱不发生混叠的条件下，可恢复出原信号。198Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 (2) 图示图示要求：要求： 或或199Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 二二. 时域取样定理时域取样定理以冲激取样为例，介绍如何从取样信号恢复出原信号。以冲激取样为例，介绍如何从取样信号恢复出原信号。1. 图示图示200Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 2. 理论分析理论分析令令 ，可得：，可得：利用傅里叶变换的对称性，可得：利用傅里叶变换的对称性，可得：为简化起见，令为简化起见，令 ，可得：，

106、可得：【 】201Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 再由再由 ，可得：，可得：202Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 上式表明，连续信号上式表明，连续信号 可以展开成正交取样可以展开成正交取样函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值 。当取样周期当取样周期/频率确定后，频率确定后， 即确定下来。即确定下来。若各抽样时刻的取样值若各抽样时刻的取样值 已知，则已知，则 可恢复出可恢复出来。因此，只要已知各取样值来。因此，只要已知各取样值 ，就可唯一地恢，就可唯一地恢复出原信号复出原信

107、号 。203Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 3. 时域取样定理时域取样定理 一个频谱在区间一个频谱在区间 以外为零的频带有限以外为零的频带有限信号信号 ，可唯一地由其在均匀间隔，可唯一地由其在均匀间隔 上上的样点值的样点值 确定。确定。注意注意：（：（需满足以下两个条件需满足以下两个条件）(1) 必须是带宽有限信号。必须是带宽有限信号。奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）频率）频率奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）间隔）间隔(2) 取样频率不能过低，必须大于取样频率不能过低，必须大于2倍的最高信号频率。倍的最高信号频率。204Chapter 4 傅里

108、叶变换和系统的频域分析2倍的最高信号频率只是理论上的采样频率下倍的最高信号频率只是理论上的采样频率下限值。在实际工程应用中需要设为限值。在实际工程应用中需要设为5-6倍甚至倍甚至更高。更高。 4.9 取样定理取样定理 注意注意：原因原因：(1) 无论是冲激取样还是矩形脉冲取样在实际无论是冲激取样还是矩形脉冲取样在实际 应用中都是无法完全实现的。（冲激函数应用中都是无法完全实现的。（冲激函数 无法实现；矩形脉冲必须全时域有效；无无法实现；矩形脉冲必须全时域有效；无 法实现完全陡直的矩形脉冲）法实现完全陡直的矩形脉冲） (2) 很多实际信号只是很多实际信号只是近似近似的带宽有限信号。的带宽有限信号

109、。(3) 理想的低通滤波器物理不可实现。理想的低通滤波器物理不可实现。205Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 一个频谱在区间一个频谱在区间 以外为零的频带有限以外为零的频带有限信号信号 ，可唯一地由其在均匀间隔，可唯一地由其在均匀间隔 上上的样点值的样点值 确定。确定。 4.9 取样定理取样定理 三三. 频域取样定理频域取样定理根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。时域取样定理时域取样定理时域时域: 频谱受限频谱受限频域频域: 时间受限时间受限时域采样值时域采样值频域采样值频域采样值206Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域

110、分析 4.9 取样定理取样定理 1. 理论分析理论分析频域取样频域取样“角频率角频率”频域取样频域取样“频率频率”频域取样频域取样“周期周期”信号在频域进行抽样，信号在频域进行抽样，在时域会以在时域会以 为周期为周期在时间轴上在时间轴上周期延拓周期延拓。207Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 2. 图示图示要求：要求： 或或208Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析 4.9 取样定理取样定理 3. 频域取样定理频域取样定理 一个在时域区间一个在时域区间 以外为零的有限时间以外为零的有限时间信号信号 的频谱函数的频谱函数 ，可唯一地由其在均匀频，

111、可唯一地由其在均匀频率间隔率间隔 上的采样点值上的采样点值 确定。确定。采用时域采样定理中的类似推导过程，可得：采用时域采样定理中的类似推导过程，可得：即：即：已知已知唯一确定唯一确定209Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析本章要求本章要求 1.掌握周期信号两种形式（三角形式和指数形式）傅掌握周期信号两种形式（三角形式和指数形式）傅2. 里叶级数的计算方法及其物理含义；里叶级数的计算方法及其物理含义；本章要求本章要求2. 掌握计算奇、偶函数傅里叶级数时的简化技巧；掌握计算奇、偶函数傅里叶级数时的简化技巧；3. 掌握利用定义计算傅里叶变换的方法；掌握利用定义计算傅里叶变换的方法；4.

112、 熟练掌握利用各种性质（线性、奇偶性、对称性、熟练掌握利用各种性质（线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移、频移、卷积定理、时域微积分、频尺度变换、时移、频移、卷积定理、时域微积分、频域微积分等）简化傅里叶变换的计算；域微积分等）简化傅里叶变换的计算；210Chapter 4 傅里叶变换和系统的频域分析本章要求本章要求 5. 掌握周期信号傅里叶变换的两种计算方法（利用傅掌握周期信号傅里叶变换的两种计算方法（利用傅里叶级数或利用单个周期信号的傅里叶变换）；里叶级数或利用单个周期信号的傅里叶变换）；6. 掌握利用傅里叶（逆）变换求解类似掌握利用傅里叶（逆）变换求解类似 或或 ；7. 熟练掌握系统频率响应函数的求解（通过微分方程熟练掌握系统频率响应函数的求解（通过微分方程转化、直接根据电路关系求解等）及系统的频域分析；转化、直接根据电路关系求解等）及系统的频域分析；8. 理解无失真传输的频率响应条件；理解无失真传输的频率响应条件；9. 理解时域取样定理的实质，熟练掌握奈奎斯特采样理解时域取样定理的实质，熟练掌握奈奎斯特采样频率的计算。频率的计算。211