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1、精品资料欢迎下载二次函数专题一：角度一、有关角相等1、已知抛物线2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点(0C，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线5yx经过D、M两点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由. 思路点拨： 对于第（ 1）问，需要注意的是CD和 x 轴平行（过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D）对于第（ 2）问，比较角的大小a、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个
2、外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M 、C、A、 B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那
3、么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d 这一条解： （1）CD x轴且点 C（0，3） ，设点 D的坐标为 (x ，3) 直线 y= x+5 经过 D点，3= x+5x= 2即点 D(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （ 1，y） ，又直线y= x+5 经过 M点，y = 1+5，y =4 即 M （ 1，4） 设抛物线的解析式为2(1)4ya x点 C（ 0，3）在抛物线上， a= 1即抛物线的解析式为223yxx3分（2）作 BP AC于点 P，MN AB 于点 N由（ 1）中抛物线223yxx可得点
4、A（ 3，0） ，B（1， 0） ，AB=4 ， AO=CO=3 ，AC=3 2PAB 45ABP=45 ， PA=PB=2 2PC=AC PA=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载xy88345672175 64321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-8 -7 -6 -5-3-4-2 -1O在 RtBPC中，tan BCP=PBPC=2在 RtANM中， M （ -1 ，4） ，MN=4 AN=2 tan NAM=MNAN=2BCP NAM 即ACB MAB 后记： 对于几何题来说，因为
5、组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系， 在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的， 尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、 （2012 朝阳一模 第 24 题 8 分）24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx经过点N（2, 5） ，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式；（2
6、）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使QMN=CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 . 24. 解： （1）32bxaxy过点M、N（2， 5） ，6MN，由题意，得M（4，5）. .53416, 5324baba解得.2, 1ba此抛物线的解析式为322xxy. 2 分（2）设抛物线的对称轴1x交MN于点G，若DMN为直角三角形，则32121MNGDGD. D1（1，2） ，2D（1，8）. 4 分直线MD1为1xy，直线2MD为9xy. 将P（x
7、，322xx）分别代入直线MD1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载2MD的解析式，得1322xxx，9322xxx.解得11x，42x（舍），1P（1,0 ） . 5 分解得33x，44x（舍） ，2P（3, 12）. 6 分（ 3）设存在点Q（x，322xx） ，使得QMN=CNM. 若点Q在MN上方，过点Q作QHMN，交MN于点H，则4tanCNMMHQH. 即）（445322xxx. 解得21x，42x（舍） . 1Q（2，3）. 7 分 若点Q在MN下方，同理可得2Q（6，45）. 8 分
8、3、 （2012 西城一模25 题 8 分）25平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为 (1, 0) ，OB=OC，抛物线的顶点为D (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足APB=ACB，求点P的坐标； (3) Q为线段BD上一点，点A关于AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时QAA的面积xyP2D2D1GMNCOP1xyHQMNCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载25解：（1
9、） 2244(2)yaxaxaca xc， 抛物线的对称轴为直线2x 抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，点A的坐标为(1,0)， 点B的坐标为(3,0)，OB3 1 分可得该抛物线的解析式为(1)(3)ya xx OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， OC=3，点C的坐标为(0,3)将点C的坐标代入该解析式，解得a=1 2 分 此抛物线的解析式为243yxx （如图 9） 3 分（2）作ABC的外接圆E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点1P，点1P关于x轴的对称点为点2P，点1P、点2P均为所求点 . （如图 10）可知圆
10、心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x上1APB、ACB都是弧AB所对的圆周角，ACBBAP1，且射线FE上的其它点P都不满足ACBAPB由（ 1）可知OBC=45，AB=2，OF=2可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线yx上 点E的坐标为(2,2)E 4 分 由勾股定理得5EA15EPEA 点1P的坐标为1(2,25)P 5 分由对称性得点2P的坐标为2(2, 25)P 6 分符合题意的点P的坐标为1(2,25)P、2(2, 25)P. （3）点B、D的坐标分别为(3,0)B、(2, 1)D，可得直线BD的解析式为3yx，直线BD与x轴所夹的锐角为45 点A关于AQB的平分线的
11、对称点为A， （如图 11）若设AA与AQB的平分线的交点为M，则有QAQA，AMA M，AAQM，Q，B，A三点在一条直线上2QAQB，.2QBQAQBQABA作A Nx轴于点N 点Q在线段BD上，Q，B，A三点在一条直线上，sin451A NBA，cos451BNBA 点A的坐标为(4,1)A 点Q在线段BD上， 设点Q的坐标为( ,3)Q x x，其中23xQAQA，图 9 xyO1DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载 由勾股定理得2222(1)(3)(4)(31)xxxx解得114x经
12、检验，114x在23x的范围内 点Q的坐标为111(,)44Q 7 分此时1115()2(1)2244QAAA ABQABAQSSSAByy 8 分二、特殊角（一） 、450角1、如图， 在平面直角坐标系xoy 中，点 P为抛物线2xy上一动点， 点 A的坐标为 （4,2 ） ，若点 P使 AOP 450，请求出点P的坐标。2、二次函数图象经过点A （ 3,0 ） 、B （ 1,8 ） 、C（0,6 ） ，直线232xy与 y 轴交于点D，点 P为二次函数图象上一动点，若PAD 450，求点 P的坐标。3、 （20092010 海淀初三上期末）已知， 抛物线cbxaxy2与 x 轴交于点A （
13、 2,0 ） 、B（8,0 ） ，与 y 轴交于点C （0， 4） 。直线 y=x+m与抛物线交于点D 、E（D在 E 的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当 m=2时，求 DCF的大小；（3） 若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P ， 使 DPF 450， 且满足条件的点P只有两个，则 m的值为 _. （第（ 3）问不要求写解答过程）解：（ 1）依题意，设抛物线的解析式为y=a （x+2 ）（ x-8 ），抛物线与y 轴交于点C（0，-4），-4=a （0+2 ）（ 0-8 ）解得 a=41抛物线的解析式为y=41(x+2)(x-8) ，即 y=41x2-2
14、3x-4 ；（2）由（ 1）可得抛物线的对称轴为x=3 ，m=2 ，直线的解析式为y=x+2 ，直线 y=x+2 与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载F、D 两点的坐标分别为F（3， 5）， D（-2， 0）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M，可得 CM=FM=MD=5，F、D、C 三点在以M 为圆心，半径为5 的圆上 DCF=21DMF=45 （3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-425）设 F（ 3，3+m ），则 FG=m+3+425
15、，设 D 关于对称轴的对称点为D1，当四边形 DGD1F 为正方形时，满足题意，此时P 点与顶点G 重合，或者与D1重合，故 DD1=FG， D 点横坐标为： x=- （21FG-3） =-8134m， 纵坐标为 - （21FG-3-m ） =8134m，将 D 点坐标抛物线解析式，解得m=-45（二） 、900角1 、 如 图 ， 抛 物 线两点轴交于与BAxbxaxy,32， 与y轴 交 于 点C， 且OAOCOB3（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交
16、y轴于D点，E为抛物线顶点若DBC，求,CBE的值思路点拨：（II ）问题的关键是直角，已知的是AC边，那么 AC边可能为直角边，可能为斜边，当 AC为斜边的时，可知P点是已 AC为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A、C重合，明显只有O点；当 AC为直角边时，又有两种情况，即A、C分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是A 或者 C 为直角顶点，总有一个锐角等于OCA （或RtPAC和 RtOAC相似） ，利用这点就可以求出OP的长度了（III）从题目的已知条件看，除了ABC=45 外没有知道其他角的度数，那么这两个角要精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
17、- - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载么全是特殊角（30， 45，60，90） ，在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到 ABC=45 ，可知，这两个角的差就是 45，那么我们需要证明的就是ABD= CBE ，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明BCE是一个直角三角形且与BAD相似解： （I ）3,032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3)0, 3(,0, 1BA代入32bxaxy，得12030339abbaba322xxy（II ）当
18、190,P AC时可证AOP1ACO31tantan11ACOAOPAOPRt中，)31,0(1P同理 : 如图当)0 ,9(9022PCAP时，当)0, 0(9033PACP时，综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点CAP ,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P)0, 9(2P，)0 ,0(3P（III ）1 ,0, 131Dxy得由4, 1322Exxy，得顶点由52, 2, 23BECEBC为直角三角形BCEBE ,CEBC22231tanCBCE又31tanOBODDBODOBRt中DBO45OBCDBO2、 （2012 房山一模24 题 7 分）24如图， 在平面直角坐标
19、系中， O为坐标原点，抛物线 y=ax28ax16a6 经过点 B（0，4）. 求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D ，过点 D、B作直线交 x 轴于点 A，点 C在抛物线的对称轴上，且 C点的纵坐标为 -4，联结 BC 、AC . 求证：ABC 是等腰直角三角形；在的条件下，将直线 DB沿 y 轴向下平移，平移后的直线记为l， 直线 l与x 轴、y 轴分别交于点 A、B，是否存在直线l ，使ABC是直角三角形，若存在求出 l的解析式，若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载DCABO
20、xyDCABOxy图备用图24 解：由题意知：4616a解得：a81抛物线的解析式为：4812xxy-1分证明 ：由抛物线的解析式知 : 顶点 D坐标为（ 4,6 ）点 C的纵坐标为 4，且在抛物线的对称轴上C点坐标为 (4，4) 设直线 BD解析式为：04 kkxy有：44-6k，21kBD解析式为421xy直线 BD与 x 轴的交点 A的坐标为（ 8,0 ）过点 C作 CE y 轴于点 E，则 CE=4 ，BE=8 又OB=4 ，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB= BOA=90 CEB BOA(SAS)-2分CB=AB, 1=2 321EDCABOx精选学习资料 - - - -
21、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载2+3=90， 2+3=901+3=90，即 ABC=90 ABC是等腰直角三角形 -3分存在 . 当 CA B=90时，如图 1 所示，ABAB OAB=BAO 易证: ECA =OABECA =BAOtanBAO=21tanECA =21EA =2 A坐标为 (2,0) 直线 l 解析式为121xy-5分当 ACB =90时，如图 2 所示，过点 C作 CE y 轴于点 E，易证AFC BEC AF=B E 由 tanBAO=21设 B坐标为（ 0，n）有2144nn38nB坐标为（ 0，3
22、8）直线 l 解析式为3821xy-7分3、 （ 2012 石景山二模25 题 8 分） 25已知：抛物线yx22xm-2 交y轴于点A（0，2m-7） 与直线y2x交于点B、C（B在右、C在左）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFECFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（ 3） 射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发， 分别以每秒5个单位长度、 每秒 25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx22xm-2 有公共
23、点，求t的取值范围解：ADCEABOxyB图 1 AEDCFABOxyB图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品资料欢迎下载25. 解： （1）点A（0， 2m-7）代入yx2 2xm-2 ，得m=5 抛物线的解析式为yx22x3 2 分（2）由xyxxy2322得323yx，323yxB（32, 3） ，C（32, 3）B（32, 3）关于抛物线对称轴1x的对称点为)32, 32( B可得直线CB的解析式为32632xy，由132632yxy，可得61yx)6, 1(F5 分（3）当)2,2(ttM在抛物线
24、上时，可得03242tt，4131t，当)2,(ttP在抛物线上时，可得32t，3t，舍去负值，所以t的取值范围是34131t8 分三、角的范围1、二次函数322xxy的图象与x 轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y 轴交于 C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得 PAC为锐角？若存在，请你求出P点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。2、二次函数322xxy的图象与x 轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y 轴交于 C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得锐角 PCO ACO ？若存在，请你求出P点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。yxO精选学习资
25、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载专题 2-二次函数与角度问题复习目标：1掌握与角度有关问题常见的思路和方法；一、教案（供教师教学时使用）【例】如图，抛物线432xxy与 x 轴交于 A、B两点，与y 轴交于点C，点 D(3，4)在抛物线上，连接BD ，点 P为抛物线上一点，且 DBP =45 ，求点P的坐标【答案】 P的坐标为2 6(,).5 5解题方法总结：二、学案抛物线322xxy与并轴分别交于A、B 两点，与y 轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为 D，连接 BC、BD ，抛物线上是否存在一点P，使得
26、 PCB= CBD ，若存在，求P点的坐标，不存在，说明理由，【答案】)47,25(或(4,5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载三、练案1若抛物线24yxx-的顶点为 B，与轴正半轴交于A点，在抛物线对称轴右侧一点P，使 tan13PBA，求 P点的坐标；【答案】 P(3 ，3),(9 ，-45) 2抛物线342xxy，交 x 轴于 M 、N点（ M点 N点左边），交 y 轴于 D 点，点 E为第一象限抛物线上的点，若EMN=2ODM ，求 E点坐标【答案】3如图，抛物线342xxy交 x 轴于 A(l ，O)、B 两点，交，轴于 C(0，3) ；抛物线上是否存在点P，使 PCB+ ACB= 45 ?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】117 5(,).(2,1);2 4pP15 33,416E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
