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1、附录小专题串方法附录小专题串方法专题一串通各章节求最值的方法专题一串通各章节求最值的方法最值是高中数学中广泛存在的一类问题最值是高中数学中广泛存在的一类问题, ,也是高考的热点问题也是高考的热点问题, ,下下面介绍求最值的常用方法面介绍求最值的常用方法. .函数方法函数方法方法一方法一 思路点拨思路点拨: :利用余弦倍角公式和换元法转化为二次函数在闭区间上的利用余弦倍角公式和换元法转化为二次函数在闭区间上的最值最值. .【例【例1 1】 (2015(2015内蒙古包头二模内蒙古包头二模) )函数函数y=cosy=cos 2x+2cos x 2x+2cos x的最小值是的最小值是 . .类型类型
2、1.1.利用已知函数性质利用已知函数性质方法总结方法总结 根据已知函数解析式根据已知函数解析式, ,直接利用已知的基本初等函数的直接利用已知的基本初等函数的性质性质( (最值、单调性、奇偶性等最值、单调性、奇偶性等) )是函数方法的主要类型之一是函数方法的主要类型之一. .类型类型2.2.建立函数模型建立函数模型思路点拨思路点拨: :根据根据E E点在线段点在线段ADAD上移动上移动, ,利用共线向量定理设出变量利用共线向量定理设出变量x,x,建建立求解目标关于立求解目标关于x x的函数关系后利用函数性质求解的函数关系后利用函数性质求解. .方法总结方法总结 很多最值问题需要先建立函数模型很多
3、最值问题需要先建立函数模型, ,然后再使用函数性然后再使用函数性质求解质求解. .建立函数模型的关键是找到一个变量建立函数模型的关键是找到一个变量, ,利用该变量表达求解目利用该变量表达求解目标标, ,变量可以是实数变量可以是实数, ,也可以是一个角度也可以是一个角度( (如果使用弧度制实际上也可如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数以看作一个实数),),还可以是一个变量不等式等还可以是一个变量不等式等, ,建立函数模型需要注建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域意建立的函数模型的定义域. .不等式法不等式法方法二方法二 思路点拨思路点拨: :根据直线与圆的位置关系建立关于根据直线与圆的位
4、置关系建立关于k k的不等式的不等式, ,解不等式得解不等式得k k的的取值范围即可得出其最小值取值范围即可得出其最小值. .【例【例3 3】 (2015(2015甘肃省河西五地市高三一模甘肃省河西五地市高三一模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,圆圆C C的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2-8x+15=0,-8x+15=0,若直线若直线y=kx+2y=kx+2上至少存在一点上至少存在一点, ,使得以该点为使得以该点为圆心圆心, ,半径为半径为1 1的圆与圆的圆与圆C C有公共点有公共点, ,则则k k的最小值是的最小值是. .类型类型1.1.建立求解目标的不等
5、式建立求解目标的不等式方法总结方法总结 把求解目标归入一个不等式把求解目标归入一个不等式, ,通过解不等式得出目标最通过解不等式得出目标最值值, ,是求最值的常用方法之一是求最值的常用方法之一, ,在解析几何中求离心率的最值、一般问在解析几何中求离心率的最值、一般问题中求参数最值中经常使用题中求参数最值中经常使用. .思路点拨思路点拨: :以以OHMOHM为变量建立求解目标的函数关系后为变量建立求解目标的函数关系后, ,通过变换使用基通过变换使用基本不等式本不等式. .方法总结方法总结 基本不等式是求最值的最常用方法之一基本不等式是求最值的最常用方法之一, ,使用基本不等使用基本不等式时要注意
6、式时要注意:(1):(1)基本不等式的使用条件和等号是否能够成立基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;(2);(2)变换变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件已知不等式使之符合使用基本不等式的条件. .导数法导数法方法三方法三 思路点拨思路点拨: :分别求出分别求出f(x),f(xf(x),f(x) )的最小值相加即可的最小值相加即可. .答案答案: :-13-13类型类型1.1.直接使用导数方法直接使用导数方法【例【例5 5】 已知函数已知函数f(xf(x)=-x)=-x3 3+ax+ax2 2-4-4在在x=2x=2处取得极值处取得极值, ,若若m,n-1,1,m,n-1,1,则则f
7、(m)+f(n)f(m)+f(n)的最小值是的最小值是. .解析解析: :f(xf(x)=-3x)=-3x2 2+2ax,+2ax,根据已知得根据已知得f(2)=0,f(2)=0,得得a=3,a=3,即即f(xf(x)=-x)=-x3 3+3x+3x2 2-4.-4.根据函数根据函数f(xf(x) )的极值点的极值点, ,可得函数可得函数f(mf(m) )在在-1,1-1,1上的最小值为上的最小值为f(0)=-4,f(0)=-4,f(nf(n)=-3n)=-3n2 2+6n+6n在在-1,1-1,1上单调递增上单调递增, ,所以所以f(nf(n) )的最小值为的最小值为f(-1)=-9.f(-
8、1)=-9.f(m)+f(n)f(m)+f(n)minmin=f(m)=f(m)minmin+f(n)+f(n)minmin=-4-9=-13.=-4-9=-13.方法总结方法总结 三次函数、含有指数对数与其他函数综合的函数三次函数、含有指数对数与其他函数综合的函数, ,求最求最值时要利用导数方法值时要利用导数方法. .基本步骤基本步骤: :确定单调性和极值、结合已知区间和确定单调性和极值、结合已知区间和区间的端点值确定之区间的端点值确定之. .思路点拨思路点拨: :首先使用基本不等式把首先使用基本不等式把e ex+y-2x+y-2+e+ex-y-2x-y-2+2+2变为单变量表达式变为单变量
9、表达式, ,分分离参数后离参数后, ,把不等式恒成立问题转化为函数最值问题把不等式恒成立问题转化为函数最值问题, ,构造函数使用导构造函数使用导数方法求函数最值数方法求函数最值. .类型类型2.2.构造函数使用导数方法构造函数使用导数方法方法总结方法总结 不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值最值, ,需要通过构造函数求函数最值需要通过构造函数求函数最值, ,而求函数最值中导数方法是最有而求函数最值中导数方法是最有效的效的. .注意使用导数求函数最值的基本步骤注意使用导数求函数最值的基本步骤. .方法四方法四 几何意义法几何意义法( (
10、 数形结合法数形结合法) )思路点拨思路点拨: :(1)(1)根据函数图象的对称性转化为曲线上的点与直线上的点之根据函数图象的对称性转化为曲线上的点与直线上的点之间的最近距离间的最近距离; ; 类型类型1.1.曲线上点与直线上的点的距离的最值曲线上点与直线上的点的距离的最值答案答案: :(1)B(1)B(2)(2015(2)(2015河北省石家庄市高三下学期二模河北省石家庄市高三下学期二模) )设点设点P,QP,Q分别是曲线分别是曲线y=xey=xe-x-x(e(e是自然对数的底数是自然对数的底数) )和直线和直线y=x+3y=x+3上的动点上的动点, ,则则P,QP,Q两点间距离的最小值为两
11、点间距离的最小值为. .思路点拨思路点拨: : (2) (2)与直线与直线y=x+3y=x+3平行的曲线平行的曲线y=xey=xe-x-x的切线之间的距离即为的切线之间的距离即为所求所求. .方法总结方法总结 求与直线不相交的曲线上的点与该直线的距离最值的最求与直线不相交的曲线上的点与该直线的距离最值的最直观方法就是直观方法就是“平行切线法平行切线法”, ,是数形结合思想的具体体现是数形结合思想的具体体现. .类型类型2.2.根据求解目标的几何意义根据求解目标的几何意义思路点拨思路点拨: :(1)(1)点点(x,y(x,y) )为一平面区域内的动点为一平面区域内的动点, ,目标的几何意义是动点
12、目标的几何意义是动点到定点距离的平方到定点距离的平方; ;思路点拨思路点拨: : (2)(a,b),(c,d) (2)(a,b),(c,d)看作点的坐标看作点的坐标, ,则该两点各自在一条曲线与一则该两点各自在一条曲线与一条直线上条直线上, ,目标的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方目标的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方. .方法总结方法总结 把求解目标的代数表达式赋予其几何意义把求解目标的代数表达式赋予其几何意义, ,就可以把就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题解决代数问题转化为几何问题、函数问题解决. .常见的目标函数的几何意常见的目标函数的几何意义有义有: :两
13、点连线的斜率、两点间的距离、直线上的点与曲线上的点的两点连线的斜率、两点间的距离、直线上的点与曲线上的点的距离等距离等. .构造法构造法方法五方法五 思路点拨思路点拨: :分离参数后转化为函数的最值问题分离参数后转化为函数的最值问题, ,对含变量对含变量x,yx,y的表达的表达式构造函数式构造函数, ,求函数最值求函数最值. .类型类型1.1.构造函数构造函数方法总结方法总结 任意实数任意实数a,ba,b, ,当当b0b0时时, ,一定存在实数一定存在实数,使得使得a=ba=b, ,使使用这个知识用这个知识, ,可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不可以把某些以比值形式出现的二元不等
14、式转化为一元不等式等式. .思路点拨思路点拨: :联想两点间距离公式联想两点间距离公式, ,构造平面直角坐标系中的一个图构造平面直角坐标系中的一个图形模型形模型, ,根据几何意义求解根据几何意义求解. .类型类型2.2.构造模型构造模型方法总结方法总结 根据求解目标的特点根据求解目标的特点, ,通过联想已知知识构造恰当的通过联想已知知识构造恰当的模型模型( (如正方形、正方体、函数、数列等如正方形、正方体、函数、数列等) )求解最值求解最值. .思路点拨思路点拨: :把圆锥的侧面展开把圆锥的侧面展开, ,转化为平面上两点间的距离转化为平面上两点间的距离. .综合几何法综合几何法方法六方法六方法
15、总结方法总结 空间几何体表面上曲线、折线的长度最值问题可以通空间几何体表面上曲线、折线的长度最值问题可以通过表面展开转为平面上线段的最值问题过表面展开转为平面上线段的最值问题. .思路点拨思路点拨: :根据所求函数的特点根据所求函数的特点, ,把两个根式转化为平面上两点间的距离把两个根式转化为平面上两点间的距离, ,结合平面几何中两点之间以连接这两点的线段长度最短结合平面几何中两点之间以连接这两点的线段长度最短, ,如果两点在直如果两点在直线的两侧线的两侧, ,根据对称关系进行转化根据对称关系进行转化. .类型类型2.2.对称关系的应用对称关系的应用方法总结方法总结 根据两点间的距离公式根据两
16、点间的距离公式, ,把这类带有两个二次根式的函把这类带有两个二次根式的函数转化为在平面上某条直线上的动点到两个定点的距离之和数转化为在平面上某条直线上的动点到两个定点的距离之和, ,当两个当两个点在直线两侧时点在直线两侧时, ,两点间的距离就是所求的最小值两点间的距离就是所求的最小值, ,当两个点在直线的当两个点在直线的一侧时一侧时, ,求出其中一个点关于直线的对称点求出其中一个点关于直线的对称点, ,则直线上的点到这个点及则直线上的点到这个点及其对称点的距离始终相等其对称点的距离始终相等, ,此时这个对称点和另外一点之间的距离就此时这个对称点和另外一点之间的距离就是其最小值是其最小值. .求函数最值的方法是非常丰富的求函数最值的方法是非常丰富的, ,上面所论只是其中较为典型的方法上面所论只是其中较为典型的方法, ,高中数学各个知识板块中求最值的方法都具有其特殊性高中数学各个知识板块中求最值的方法都具有其特殊性, ,我们可以回我们可以回顾一轮复习的各个部分顾一轮复习的各个部分, ,全面把握求最值的方法全面把握求最值的方法. .
