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1、热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案1 / 15第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数, 压强系数和等温压缩系数。解:已知理想气体的物态方程为,pVnRT(1)由此易得11,pVnRVTpVT(2)11,VpnRpTpVT(3)2111.TTVnRTVpVpp(4)1.8 满足npVC的过程称为多方过程,其中常数n名为多方指数。试证明:理想气体在多方过程中的热容量nC为1nVnCCn解:根据式( 1.6.1 ) ,多方过程中的热容量0lim.nTnnnQUVCpTTT(1)对于理想气体,内能U 只是温度 T 的函数,,VnUCT所以.nVnVCCpT(2)将多方过程的
2、过程方程式npVC与理想气体的物态方程联立, 消去压强p可得11nTVC(常量) 。(3)将上式微分,有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案2 / 1512(1)0,nnVdTnVTdV所以.(1)nVVTnT(4)代入式( 2) ,即得,(1)1nVVpVnCCCT nn(5)其中用了式( 1.7.8 )和( 1.7.9 ) 。1.9试证明:理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数,该过程一定是多方过程,多方指数npnVCCnCC。假设气体的定压热容量和定容热容量是
3、常量。解:根据热力学第一定律,有?.dUQW(1)对于准静态过程有?,WpdV对理想气体有,VdUC dT气体在过程中吸收的热量为?,nQC dT因此式( 1)可表为().nVCCdTpdV(2)用理想气体的物态方程pVvRT除上式,并注意,pVCCvR可得()().nVpVdTdVCCCCTV(3)将理想气体的物态方程全式求微分,有.dpdVdTpVT(4)式(3)与式( 4)联立,消去dTT,有()()0.nVnpdpdVCCCCpV(5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _
4、 课后答案3 / 15令npnVCCnCC,可将式( 5)表为0.dpdVnpV(6)如果,pVCC和nC都是常量,将上式积分即得npVC(常量) 。(7)式(7)表明,过程是多方过程。1.12假设理想气体的pVCC和之比是温度的函数,试求在准静态绝热过程中TV和的关系,该关系式中要用到一个函数F T,其表达式为ln( )1dTF TT解:根据式( 1.8.1) ,理想气体在准静态绝热过程中满足0.VC dTpdV(1)用物态方程pVnRT除上式,第一项用nRT除,第二项用pV除,可得0.VC dTdVnRTV(2)利用式( 1.7.8)和( 1.7.9) ,,pVpVCCnRCC可将式( 2
5、)改定为10.1dTdVTV(3)将上式积分,如果是温度的函数,定义1ln(),1dTF TT(4)可得1ln( )lnF TVC(常量) ,(5)或( )F T VC(常量) 。(6)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案4 / 15式 (6) 给出当是温度的函数时, 理想气体在准静态绝热过程中T 和 V 的关系。1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解:假设在pV图中两条绝热线交于C点,如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点(因为等温线的斜
6、率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的) ,则在循环过程ABCA中,系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q,而在循环过程中对外做功W,其数值等于三条线所围面积(正值) 。循环过程完成后,系统回到原来的状态。根据热力学第一定律,有WQ。这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。第二章均匀物质的热力学性质2.2设一物质的物态方程具有以下形式:() ,pf V T试证明其内能与体积无关. 解:根据题设,物质的物态方程具有以下形式:( ) ,pf V T(1)故有().Vpf VT(2)精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案5 / 15但根据式( 2.2.7 ) ,有,TVUpTpVT(3)所以( )0.TUTf VpV(4)这就是说,如果物质具有形式为(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度 T 的函数 . 2.3求证:( )0;HSap( )0.USbV解:焓的全微分为.dHTdSVdp(1)令0dH,得0.HSVpT(2)内能的全微分为.dUTdSpdV(3)令0dU,得0.USpVT(4)2.6试证明在相同的压强降落下, 气体在准静态绝热膨胀中的温度
8、降落大于在节流过程中的温度降落 . 解:气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数STp和HTp描述. 熵函数( ,)S Tp的全微分为.PTSSdSdTdpTp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案6 / 15在可逆绝热过程中0dS,故有.TPpSPSVTpTTSpCT(1)最后一步用了麦氏关系式(2.2.4 )和式( 2.2.8 ). 焓( ,)H Tp的全微分为.PTHHdHdTdpTp在节流过程中0dH,故有.TPpHPHVTVpTTHpCT(2)
9、最后一步用了式( 2.2.10 )和式( 1.6.6 ). 将式( 1)和式( 2)相减,得0.pSHTTVppC(3)所以在相同的压强降落下,气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落 . 这两个过程都被用来冷却和液化气体. 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分,低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题,实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温,气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查(1934 年)将绝热膨胀和节流过程结合起来,先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下,再用节流过程将氦液化. 2.9证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数,与比体积无关 . 解:根据习题 2.
10、8 式(2)22,VTVCpTVT(1)范氏方程(式( 1.3.12 ) )可以表为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案7 / 1522.nRTn apVnbV(2)由于在 V 不变时范氏方程的p 是 T 的线性函数,所以范氏气体的定容热容量只是 T 的函数,与比体积无关 . 不仅如此,根据 2.8 题式(3)0202( ,)( ,),VVVVVpC TVCTVTdVT(3)我们知道,V时范氏气体趋于理想气体 . 令上式的0V,式中的0( ,)VCTV就是理想气体的热容
11、量 . 由此可知,范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的. 顺便提及,在压强不变时范氏方程的体积V与温度T不呈线性关系 . 根据2.8 题式(5)22,VTVCpVT(2)这意味着范氏气体的定压热容量是,Tp的函数 . 第三章单元系的相变3.3试由0VC及0TpV证明0pC及0.SpV解:式( 2.2.12)给出2.pVTVTCC(1)稳定性条件( 3.1.14)给出0,0,VTpCV(2)其中第二个不等式也可表为10,TTVVp(3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答
12、案8 / 15故式( 1)右方不可能取负值 . 由此可知0,pVCC(4)第二步用了式( 2)的第一式 . 根据式( 2.2.14) ,有.SSVTpTVpCCVp(5)因为VpCC恒正,且1VpCC,故0,STVVpp(6)第二步用了式( 2)的第二式 . 3.4求证:(a),;V nT VSTn(b),.T pt nVpn解: (a)由自由能的全微分(式(3.2.9) )dFSdTpdVdn(1)及偏导数求导次序的可交换性,易得,.V nT VSTn(2)这是开系的一个麦氏关系. (a)类似地,由吉布斯函数的全微分(式(3.2.2) )dGSdTVdpdn(3)可得,.T pT nVpn(
13、4)这也是开系的一个麦氏关系. 3.5求证:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案9 / 15,.T VV nUTnT解:自由能FUTS是以,TV n为自变量的特性函数,求F对n的偏导数(,TV不变) ,有,.T VT VT VFUSTnnn(1)但由自由能的全微分dFSdTpdVdn可得,T VT VV nFnSnT(2)代入式( 1) ,即有,.T VV nUTnT(3)第四章多元系的复相平衡和化学平衡4.1若将U看作独立变量1,kT V nnL的函数,试证明:(a)
14、;iiiUUUnVnV(b).iiiUUuunV解:(a) 多元系的内能1,kUU T V nnL是变量1,kV nnL的一次齐函数 . 根据欧勒定理(式( 4.1.4) ) ,有,jiiiT V nUUUnVnV(1)式中偏导数的下标in指全部k个组元,jn指除i组元外的其他全部组元 . (b)式(4.1.7)已给出v ,iiiVn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案10 / 15,iiiUnu(2)其中, ,v,jjiiiiT p nT p nVUunn偏摩尔体积和
15、偏摩尔内能. 将式 (2) 代入式(1) ,有,vijiiiiiiiiT niT V nUUn unnVn(3)上式对in的任意取值都成立,故有,v.ijiiT niT V nUUuVn(4)第六章近独立粒子的最概然分布6.1中试根据式( 6.2.13)证明:在体积V 内,在到d +的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为132232d2d .VDmh解: 式(6.2.13)给出,在体积3VL内,在xp到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为3ddd.xyzVppph(1)用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积V内,动量大
16、小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为234d .Vpph(2)上式可以理解为将空间体积元24dVpp(体积 V,动量球壳24 dpp)除以相格大小3h而得到的状态数 . 自由粒子的能量动量关系为2.2pm因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案11 / 152,d.pmp pmd将上式代入式( 2) ,即得在体积 V 内,在到d的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为132232( )d2d .VDmh(3)第七章玻耳兹曼统计7.2试根据公式lllpaV证明
17、,对于相对论粒子122222xyzcpcnnnLh, ,0, 1, 2,xyznn nL有1.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为 L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为122222xyzn n nxyzcnnnLh,0, 1, 2,xyznn nL(1)用指标l表示量子数,xyznnn V表示系统的体积,3VL,可将上式简记为13,laV(2)其中122222.xyzac nnnh由此可得4311.33llaVVV(3)代入压强公式,得1.33llllllUpaaVVV(4)本题与 7.1 题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同 .
18、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案12 / 15式(4)对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.10气体以恒定速度0沿z方向作整体运动,求分子的平均平动能量. 解: 根据 7.8 题式( 9) ,以恒定速度0沿z方向作整体运动的气体,其分子的速度分布为2220322eddd.2xyzm kTxyzmN kT(1)分子平动量的平均值为22202220322222122222221ed dd22111ededed.2222xyzxyzm kTxyzxyzmmm
19、 kTkTkTxxyyzzmm kTmmmmkT上式头两项积分后分别等于12kT,第三项的积分等于222z000122222200z022001ed2eded2211.22zzmmm kTkTkTzzzzmm kTkTmm因此,2031.22kTm(2)式(2)表明,气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量32kT及整体运动能量2012m之和. 7.12根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度21r和相对速率rr的概率分布,并求相对速率的平均值.r解: 根据麦克斯韦速度分布, 分子 1 和分子 2 各自处在速度间隔1d和2d的概率为12dddWWW221213222212eded.22mm
20、kTkTmmkTkT(1)上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以c表示质心速度、r表示相对速度,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案13 / 151 12212,cmmmm21.r(2)在12mmm的情形下,上式简化为12211,2.cr容易验明,两种描述给出的动能K 相同,即22221 1221111.2222crKm m M(3)式中121212,Mmmmmmm分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在12mmm的情形下,有2,.2Mmm
21、根据积分变换公式12d ddd,crJ (4)可以证明1J,所以式( 1)也可表达为223322v22deded22crrmdkTkTcrMWkTkTdd,crWW(5)其中相对速度r的概率分布为2322ded.2rkTrrWkT(6)相对速率的分布为23222r4ed .2rkTr kT(7)相对速率r的平均值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案14 / 152323204ed28rkTrrr kTkT2 , (8)式中8hTm是气体分子的平均速率 . 7.16已
22、知粒子遵从经典玻耳兹曼分布,其能量表达式为22221,2xyzpppaxbxm其中,a b是常量,求粒子的平均能量. 解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时,需要注意所难能量表达式中2ax和bx两面三刀项都是x的函数,不能直接将能量均分定理用于2ax项而得出212axkT的结论. 要通过配方将表达为222221.224xyzbbpppa xmaa(1)在式( 1)中,仅第四项是x的函数,又是平方项 . 由能量均分定理知22222124xyzbbpppa xmaa22.4bkTa(2)第八章玻色统计和费米统计8.1试证明,对于玻色或费米统计,玻耳兹曼关系成立,即ln .Sk 解: 对于理想费米
23、系统,与分布la相应的系统的微观状态数为(式(6.5.4) )!,!lllllaa(1)取对数,并应用斯特令近似公式,得(式(6.7.7) )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案15 / 15lnlnlnln.lllllllllaaaa(2)另一方面,根据式( 8.1.10) ,理想费米系统的熵为lnlnlnlnSkkNUln,lllka(3)其中费米巨配分函数的对数为(式(8.1.13) )lnln 1.llle(4)由费米分布e1llla易得1elllla(5)和l n.llllaa(6)将式( 5)代入式( 4)可将费米巨配分函数表示为lnln.llllla(7)将式( 6)和式( 7)代入式( 3) ,有lnlnlllllllllaSkaaalnlnln.lllllllllkaaaa(8)比较式( 8)和式( 2) ,知ln.Sk(9)对于理想玻色系统,证明是类似的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页