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1、热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案1 / 15第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数, 压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为,pVnRT（1）由此易得11,pVnRVTpVT（2）11,VpnRpTpVT（3）2111.TTVnRTVpVpp（4）1.8 满足npVC的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量nC为1nVnCCn解：根据式（ 1.6.1 ） ，多方过程中的热容量0lim.nTnnnQUVCpTTT（1）对于理想气体，内能U 只是温度 T 的函数，,VnUCT所以.nVnVCCpT（2）将多方过程的
2、过程方程式npVC与理想气体的物态方程联立， 消去压强p可得11nTVC（常量） 。（3）将上式微分，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案2 / 1512(1)0,nnVdTnVTdV所以.(1)nVVTnT（4）代入式（ 2） ，即得,(1)1nVVpVnCCCT nn（5）其中用了式（ 1.7.8 ）和（ 1.7.9 ） 。1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数npnVCCnCC。假设气体的定压热容量和定容热容量是
3、常量。解：根据热力学第一定律，有?.dUQW（1）对于准静态过程有?,WpdV对理想气体有,VdUC dT气体在过程中吸收的热量为?,nQC dT因此式（ 1）可表为().nVCCdTpdV（2）用理想气体的物态方程pVvRT除上式，并注意,pVCCvR可得()().nVpVdTdVCCCCTV（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有.dpdVdTpVT（4）式（3）与式（ 4）联立，消去dTT，有()()0.nVnpdpdVCCCCpV（5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _
4、 课后答案3 / 15令npnVCCnCC，可将式（ 5）表为0.dpdVnpV（6）如果,pVCC和nC都是常量，将上式积分即得npVC（常量） 。（7）式（7）表明，过程是多方过程。1.12假设理想气体的pVCC和之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中TV和的关系，该关系式中要用到一个函数F T，其表达式为ln( )1dTF TT解：根据式（ 1.8.1） ，理想气体在准静态绝热过程中满足0.VC dTpdV（1）用物态方程pVnRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得0.VC dTdVnRTV（2）利用式（ 1.7.8）和（ 1.7.9） ，,pVpVCCnRCC可将式（ 2
5、）改定为10.1dTdVTV（3）将上式积分，如果是温度的函数，定义1ln(),1dTF TT（4）可得1ln( )lnF TVC（常量） ，（5）或( )F T VC（常量） 。（6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案4 / 15式 （6） 给出当是温度的函数时， 理想气体在准静态绝热过程中T 和 V 的关系。1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在pV图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜
6、率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的） ，则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值） 。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有WQ。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。第二章均匀物质的热力学性质2.2设一物质的物态方程具有以下形式：() ,pf V T试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：( ) ,pf V T（1）故有().Vpf VT（2）精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案5 / 15但根据式（ 2.2.7 ） ，有,TVUpTpVT（3）所以( )0.TUTf VpV（4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度 T 的函数 . 2.3求证：( )0;HSap( )0.USbV解：焓的全微分为.dHTdSVdp（1）令0dH，得0.HSVpT（2）内能的全微分为.dUTdSpdV（3）令0dU，得0.USpVT（4）2.6试证明在相同的压强降落下， 气体在准静态绝热膨胀中的温度
8、降落大于在节流过程中的温度降落 . 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数STp和HTp描述. 熵函数( ,)S Tp的全微分为.PTSSdSdTdpTp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案6 / 15在可逆绝热过程中0dS，故有.TPpSPSVTpTTSpCT（1）最后一步用了麦氏关系式（2.2.4 ）和式（ 2.2.8 ）. 焓( ,)H Tp的全微分为.PTHHdHdTdpTp在节流过程中0dH，故有.TPpHPHVTVpTTHpCT（2）
9、最后一步用了式（ 2.2.10 ）和式（ 1.6.6 ）. 将式（ 1）和式（ 2）相减，得0.pSHTTVppC（3）所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落 . 这两个过程都被用来冷却和液化气体. 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934 年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化. 2.9证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关 . 解：根据习题 2.
10、8 式（2）22,VTVCpTVT（1）范氏方程（式（ 1.3.12 ） ）可以表为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案7 / 1522.nRTn apVnbV（2）由于在 V 不变时范氏方程的p 是 T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是 T 的函数，与比体积无关 . 不仅如此，根据 2.8 题式（3）0202( ,)( ,),VVVVVpC TVCTVTdVT（3）我们知道，V时范氏气体趋于理想气体 . 令上式的0V，式中的0( ,)VCTV就是理想气体的热容
11、量 . 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的. 顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V与温度T不呈线性关系 . 根据2.8 题式（5）22,VTVCpVT（2）这意味着范氏气体的定压热容量是,Tp的函数 . 第三章单元系的相变3.3试由0VC及0TpV证明0pC及0.SpV解：式（ 2.2.12）给出2.pVTVTCC（1）稳定性条件（ 3.1.14）给出0,0,VTpCV（2）其中第二个不等式也可表为10,TTVVp（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答
12、案8 / 15故式（ 1）右方不可能取负值 . 由此可知0,pVCC（4）第二步用了式（ 2）的第一式 . 根据式（ 2.2.14） ，有.SSVTpTVpCCVp（5）因为VpCC恒正，且1VpCC，故0,STVVpp（6）第二步用了式（ 2）的第二式 . 3.4求证：（a）,;V nT VSTn（b）,.T pt nVpn解： （a）由自由能的全微分（式（3.2.9） ）dFSdTpdVdn（1）及偏导数求导次序的可交换性，易得,.V nT VSTn（2）这是开系的一个麦氏关系. （a）类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2） ）dGSdTVdpdn（3）可得,.T pT nVpn（
13、4）这也是开系的一个麦氏关系. 3.5求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案9 / 15,.T VV nUTnT解：自由能FUTS是以,TV n为自变量的特性函数，求F对n的偏导数（,TV不变） ，有,.T VT VT VFUSTnnn（1）但由自由能的全微分dFSdTpdVdn可得,T VT VV nFnSnT（2）代入式（ 1） ，即有,.T VV nUTnT（3）第四章多元系的复相平衡和化学平衡4.1若将U看作独立变量1,kT V nnL的函数，试证明：（a）
14、;iiiUUUnVnV（b）.iiiUUuunV解：（a） 多元系的内能1,kUU T V nnL是变量1,kV nnL的一次齐函数 . 根据欧勒定理（式（ 4.1.4） ） ，有,jiiiT V nUUUnVnV（1）式中偏导数的下标in指全部k个组元，jn指除i组元外的其他全部组元 . （b）式（4.1.7）已给出v ,iiiVn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案10 / 15,iiiUnu（2）其中, ,v,jjiiiiT p nT p nVUunn偏摩尔体积和
15、偏摩尔内能. 将式 （2） 代入式（1） ，有,vijiiiiiiiiT niT V nUUn unnVn（3）上式对in的任意取值都成立，故有,v.ijiiT niT V nUUuVn（4）第六章近独立粒子的最概然分布6.1中试根据式（ 6.2.13）证明：在体积V 内，在到d +的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为132232d2d .VDmh解: 式（6.2.13）给出，在体积3VL内，在xp到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3ddd.xyzVppph（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大
16、小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为234d .Vpph（2）上式可以理解为将空间体积元24dVpp（体积 V，动量球壳24 dpp）除以相格大小3h而得到的状态数 . 自由粒子的能量动量关系为2.2pm因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案11 / 152,d.pmp pmd将上式代入式（ 2） ，即得在体积 V 内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为132232( )d2d .VDmh（3）第七章玻耳兹曼统计7.2试根据公式lllpaV证明
17、，对于相对论粒子122222xyzcpcnnnLh, ,0, 1, 2,xyznn nL有1.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为 L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为122222xyzn n nxyzcnnnLh,0, 1, 2,xyznn nL（1）用指标l表示量子数,xyznnn V表示系统的体积，3VL，可将上式简记为13,laV（2）其中122222.xyzac nnnh由此可得4311.33llaVVV（3）代入压强公式，得1.33llllllUpaaVVV（4）本题与 7.1 题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同 .
18、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案12 / 15式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.10气体以恒定速度0沿z方向作整体运动，求分子的平均平动能量. 解: 根据 7.8 题式（ 9） ，以恒定速度0沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为2220322eddd.2xyzm kTxyzmN kT（1）分子平动量的平均值为22202220322222122222221ed dd22111ededed.2222xyzxyzm kTxyzxyzmmm
19、 kTkTkTxxyyzzmm kTmmmmkT上式头两项积分后分别等于12kT，第三项的积分等于222z000122222200z022001ed2eded2211.22zzmmm kTkTkTzzzzmm kTkTmm因此，2031.22kTm（2）式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量32kT及整体运动能量2012m之和. 7.12根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度21r和相对速率rr的概率分布，并求相对速率的平均值.r解: 根据麦克斯韦速度分布， 分子 1 和分子 2 各自处在速度间隔1d和2d的概率为12dddWWW221213222212eded.22mm
20、kTkTmmkTkT（1）上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以c表示质心速度、r表示相对速度，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案13 / 151 12212,cmmmm21.r（2）在12mmm的情形下，上式简化为12211,2.cr容易验明，两种描述给出的动能K 相同，即22221 1221111.2222crKm m M（3）式中121212,Mmmmmmm分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在12mmm的情形下，有2,.2Mmm
21、根据积分变换公式12d ddd,crJ （4）可以证明1J，所以式（ 1）也可表达为223322v22deded22crrmdkTkTcrMWkTkTdd,crWW（5）其中相对速度r的概率分布为2322ded.2rkTrrWkT（6）相对速率的分布为23222r4ed .2rkTr kT（7）相对速率r的平均值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案14 / 152323204ed28rkTrrr kTkT2 , （8）式中8hTm是气体分子的平均速率 . 7.16已
22、知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为22221,2xyzpppaxbxm其中,a b是常量，求粒子的平均能量. 解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中2ax和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax项而得出212axkT的结论. 要通过配方将表达为222221.224xyzbbpppa xmaa（1）在式（ 1）中，仅第四项是x的函数，又是平方项 . 由能量均分定理知22222124xyzbbpppa xmaa22.4bkTa（2）第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .Sk 解: 对于理想费米
23、系统，与分布la相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4） ）!,!lllllaa（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7） ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案15 / 15lnlnlnln.lllllllllaaaa（2）另一方面，根据式（ 8.1.10） ，理想费米系统的熵为lnlnlnlnSkkNUln,lllka（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13） ）lnln 1.llle（4）由费米分布e1llla易得1elllla（5）和l n.llllaa（6）将式（ 5）代入式（ 4）可将费米巨配分函数表示为lnln.llllla（7）将式（ 6）和式（ 7）代入式（ 3） ，有lnlnlllllllllaSkaaalnlnln.lllllllllkaaaa（8）比较式（ 8）和式（ 2） ，知ln.Sk（9）对于理想玻色系统，证明是类似的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
