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1、学习好资料欢迎下载课题二次函数教学目标重点难点一、全面理解二次函数的定义(1)二次函数有四种表达形式二次一项式型:形如y=ax2(a 是常数,且 a0) ,x 取任意实数。二次二项式型:形如y=ax2+bx(a 是常数,且 a0,b 是常数, b0) ,x 取任意实数。二次二项式型:形如y=ax2+c(a 是常数,且 a0,c 是常数, c0) ,x 取任意实数。二次三项式型:形如y=ax2+bx +c(a 是常数,且 a0,b 是常数, b0,c 是常数, c0) ,x取任意实数。(2)不论是哪一种表示形式, 都必须规定 a0,否则,就没有了二次项, 二次函数就没有意义了 。(3)二次函数解
2、析式的三种形式(1)一般式:2yaxbxc(a,b,c 为常数, a0)(2)顶点式:2()ya xhk(a0)(3)交点式:12()()ya xxxx(a0)说明:当已知抛物线上任意三点或三组x,y的对应值时时, 通常设函数解析式为一般式。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,函数最值等及第三点时,设二次函数2()ya xhk,求解。已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时,通常设为交点式作业二、掌握二次函数的图像和性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习好资料欢迎下载y=ax2(a 是常数,且 a0)的图像和性质y=a
3、x2+bx(a 是常数,且 a0,b 是常数, b0)的图像和性质y=ax2+c(a 是常数,且 a0,c 是常数, c0)的图像和性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习好资料欢迎下载y=ax2+bx +c(a 是常数,且 a0,b 是常数, b0,c 是常数, c0)的性质a0 时 ,开口向上; a0 时,开口向下顶点坐标是( -ab2,abac442) ,对称轴是直线 x=-ab2。当 a0 时 ,函数有最小值, y=abac442;a0 时,函数有最大值, y=abac442;性质,当 a0 时,在对称轴的
4、左边, y 随 x 的增大而减小,在对称轴的右边,y 随 x的增大而增大;当 a0 时,在对称轴的左边, y 随 x 的增大而增大,在对称轴的右边,y 随 x的增大而减小 . 三、会结合图像确定y=2ax+bx +c (a 是常数,且a0,b是常数, b0,c 是常数, c0)的四种符号a 的符号:看抛物线的开口方向:开口向上, a0;开口向下 a0; b 的符号:有对称轴的位置和的a 符号确定:对称轴是 y 轴,b=0;对称轴在原点的左侧:02ab,对称轴在原点的右侧,02ab;c 的符号:看抛物线与 y 轴交点的位置:交点在原点, c=0;交点在原点以上, co;精选学习资料 - - -
5、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习好资料欢迎下载交点在原点以下, c0。b24ac 的符号:看抛物线与 x 轴交点的个数:抛物线与 x 轴有两个交点 b24ac0;抛物线与 x 轴有一个交点 b24ac=0,抛物线与 x 轴没有交点 b24ac0,四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式,要具备的基本条件是:对于表达式是 y=ax2(a0)的, 要确定出待定字母 a 的值的基本条件是:知道图像上一个点的坐标。对于表达式是 y=ax2+bx(a0)的, 要确定出待定字母a、b 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标。对于表
6、达式是 y=ax2+c(a0)的, 要确定出待定字母 a、c 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标。对于表达式是 y=a(x-h)2(a0) 的, 要确定出待定字母a、 h 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标。对于表达式是 y=a(x-h)2+k(a0)的, 要确定出待定字母a、h、k 的值的基本条件是:知道图像上三个点的坐标。特殊条件:知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标对于表达式是 y=ax2+bx+c(a0)中, 要确定出待定字母a、b、c 的值的基本条件是:知道图像上三个点的坐标。这是最基本的理解。五、确定二次函数关系式的基本题型4.1 二次函数关系式设为: y=ax2(a
7、0)例 1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为 20 米,水位上升 3 米就达到警戒水位线 CD ,这时水面的宽度为10 米。请你在如图 1 所示的平面直角坐标系中,求出二次函数的解析式。解:根据图象,知道抛物线的对称轴是y 轴,顶点坐标为原点,所以,不妨设二次函数的解析式:y=ax2(a0) ,因为, AB=20 ,所以, FA=FB=10 ,因为, CD=10 ,所以, EC=ED=5 所以,点 A的坐标为( -10,1y) ,点 C的坐标为( -5,2y) ,所以,2y= a(-5)2=25a,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
8、-第 4 页,共 9 页学习好资料欢迎下载1y= a(-10)2=100a,因为, EF=3 ,所以,2y-1y=3,所以, 25a -100a=3 ,解得: a=-251,所以,所求函数的解析式:y=-251 x2。小结:当知道抛物线的顶点坐标为原点,且对称轴是y 轴时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=ax2(a0)把已知点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。4.2 二次函数关系式设为: y=ax2+bx(a0)例 2、(2008 年巴中市)王强在一次高尔夫球的练
9、习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线21855yxx,其中 y (m )是球的飞行高度,x(m )是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m ,如图 2 所示。(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴(2)请求出球飞行的最大水平距离(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式解:(1)21855yxx2116(4)55x所以,抛物线21855yxx的开口向下,顶点为1645,对称轴为直线4x。(2)令0y,得:218055xx,解得:10x,28x,所以,球飞行的最大水平距离是8m (3)要让球刚好进洞而飞行
10、最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习好资料欢迎下载所以,抛物线的对称轴为5x,顶点为( 5,516) ,设此时对应的抛物线解析式为:y=ax2+bx(a0) ,因为,抛物线经过点( 10,0) ,所以, 100a+10b=0 ,即 10a+b=0 ,因为,抛物线经过点( 5,516) ,所以, 25a+5b=516,即 5a+b=2516,解得:16125a,b=2532,所以,二次函数的解析式是:2163212525yxx。小结:当知道抛物线经过原点,且抛物线与x 轴
11、相交,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=ax2+bx(a0)把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a、b 的二元一次方程组;解方程组,求得 a、b 值;把 a、b 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。4.3 二次函数关系式设为: y=ax2+c(a0)例 3、桂林红桥位于桃花江上,是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线,该桥的部分横截面如图 3 所示,上方可看作是一个经过、三点的抛物线,以桥面的水平线为轴, 经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米(图中用线段、等表示桥柱)米,米(1)求经过、三点的抛物线
12、的解析式。(2)求柱子的高度。解:因为,抛物线的对称轴是 y 轴,所以,设二次函数解析式为:y=ax2+c(a0),因为,二次函数图象过点C(0,1),所以, c=1,因为,此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米(图中用线段、等表示桥柱),且米,所以,点 F 的坐标是( -4 ,2) ,所以, 16a+1=2,解得: a=161,所以,二次函数的关系式是:y=161x2+1;(2),因为, OD=8 米,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习好资料欢迎下载设点 A的坐标是( -8,y),所以, y=161(-8 )2+
13、1=5,因此,柱子的高为5 米。小结:当知道抛物线的顶点在y 轴上,和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=ax2+c(a0)把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a,c 的二元一次方程组;解方程组,求得a、c 值;把 a、c 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。4.4 二次函数关系式设为: y=a(x-h)2(a0)例 4、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为A (1,0),且过点 B (3,4)求该二次函数的解析式。解:设二次函数解析式为:y=a(x-1 )2,因为,二次函数图象过点B(3,4),所以, 4a=
14、4,解得: a=1, 所以,二次函数解析式为:y=(x-1 )2,即 y=x2-2x+1。小结:当知道抛物线的顶点坐标:M (h,0)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-h )2a0)把点 A的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。4.5 二次函数关系式设为: y=a(x-h)2+k(a0)例 5、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为A (1,-4),且过点 B (3,0)求该二次函数的解析式。解:设二次函数解析式为:y=a
15、(x-1 )2-4,因为,二次函数图象过点B(3,0),所以, 4a-4=0,解得: a=1, 所以,二次函数解析式为:y=(x-1 )2-4,即 y=x2-2x-3 。六、掌握求抛物线y=ax2+bx +c(a 是常数,且a0, )顶点坐标的两种方法1、配方法求顶点坐标基本步骤是:把二次项的系数化成1,各系数提取 a,得:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习好资料欢迎下载y=a()2acxabx,在括号里现加上一次项系数一半的平方,接着再减去一次项系数一半的平方,得:y=a()2acxabx=a【acababxa
16、bx222)2()2(】 ,配方,并整理,得:y=a()2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】 ,= a【22244)2(abacabx】 ,去掉括号,得:y=a()2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】 ,= a【22244)2(abacabx】 ,=aabacabx44)2(22写出函数的坐标:所以,抛物线的顶点坐标是: (-ab2,abac442) 。2、公式法求顶点坐标y=ax2+bx +c (a 是常数,且a0, )的顶点坐标是( -ab2,abac442) ,在求顶点坐标时,同学们就可以熟记这个式子, 把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用
17、。用的基本步骤是:根据 y=ax2+bx +c(a 是常数,且 a0) ,确定 a、b、c 的值,代入 x=-ab2中,求顶点坐标的横坐标,代入 x=abac442中,求顶点坐标的纵坐标,横坐标,纵坐标合起来,写出顶点的坐标。七、熟练应用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式, 主要有三种方式, 同学们要熟练掌握其条件特点和选择的求解模式。(1) 设解析式是一般式条件特点:已知抛物线上任意的三个点的坐标,求解析式当知道抛物线上一般的三个点的坐标:A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3)时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、 - -第 8 页,共 9 页学习好资料欢迎下载要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a0)把点 A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中,转化成关于a、b、c 的三元一次方程组;解方程组,求得a、b、c 的值;把 a、b、c 的值分别代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。(2) 设解析式是顶点式条件特点:已知抛物线的顶点坐标,和某一个点的坐标,求解析式当知道抛物线的顶点坐标:M (h,k)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-h )2+k(a0)把点 C的坐标代入所设的
19、解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。(3)设解析式是交点式条件特点:已知抛物线与x 轴的交点坐标,和某一个点的坐标,求解析式当抛物线与 x 轴的交点坐标: A(x1,0) 、B(x2,0) 、C(x3,y3)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-x1) (x-x2) (a0)把点 C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页