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1、1 / 14 高等数学基础形考作业1:第 1 章函数第 2 章 极限与连续(一)单项选择题下列各函数对中,(C)中的两个函数相等 A. 2)()(xxf,xxg)( B. 2)(xxf,xxg)( C. 3ln)(xxf,xxgln3)( D. 1)(xxf,11)(2xxxg设函数)(xf的定义域为),(,则函数)()(xfxf的图形关于( C)对称 A. 坐标原点 B. x轴C. y 轴 D. xy下列函数中为奇函数是(B) A. )1ln(2xy B. xxycos C. 2xxaay D. )1ln(xy下列函数中为基本初等函数是(C) A. 1xy B. xy C. 2xy D. 0
2、,10,1xxy下列极限存计算不正确的是(D) A. 12lim22xxx B. 0)1ln(lim0xx C. 0sinlimxxx D. 01sinlimxxx当0x时,变量( C)是无穷小量 A. xxsin B. x1 C. xx1sin D. 2)ln(x若函数)(xf在点0x满足( A),则)(xf在点0x连续。 A. )()(lim00xfxfxx B. )(xf在点0x的某个邻域内有定义 C. )()(lim00xfxfxx D. )(lim)(lim00xfxfxxxx(二)填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
3、 页,共 14 页2 / 14 函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是, 3已知函数xxxf2) 1(,则)(xfx2-xxxx)211(lim21e若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx,在0x处连续,则ke 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0x若Axfxx)(lim0,则当0xx时,Axf)(称为时的无穷小量0xx。(三)计算题设函数0,0,e)(xxxxfx求:)1(,)0(,)2(fff解:22f,00f,11fee求函数21lgxyx的定义域解:21lgxyx有意义,要求2100xxx解得1020xxx或则定义域为1|02x xx或在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形
4、的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数解:D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形,设高为h,即 OE=h,下底 CD2R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页3 / 14 直角三角形AOE 中,利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底2222AERh故2222222hSRRhh RRh求xxx2sin3sinlim0解:000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx
5、133122求)1sin(1lim21xxx解:21111(1)(1)111limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx求xxx3tanlim0解:000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx求xxxsin11lim20解:22222200011( 11)( 11)limlimlimsin( 11)sin( 11)sinxxxxxxxxxxxx020lim0sin1 11( 11)xxxxx求xxxx)31(lim解:1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1
6、)(1) 3xxxxxxxxxxxexxxexexxx求4586lim224xxxxx解:2244442682422limlimlim54411413xxxxxxxxxxxxx设函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页4 / 14 1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性。解:分别对分段点1,1xx处讨论连续性(1)1111limlim1limlim11 10xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx,即fx在1x处不连续(2)221111limlim2121limlim111xxx
7、xfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由( 1)( 2)得fx在除点1x外均连续高等数学基础作业2 答案:第 3 章导数与微分(一)单项选择题设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在,则xxfx)(lim0(C) A. )0(f B. )0(f C. )(xf D. 0cvx 设)(xf在0x可导,则hxfhxfh2)()2(lim000(D) A. )(20xf B. )(0xf C. )(20xf D. )(0xf设xxfe)(,则xfxfx)1 ()1(lim0(A) A. e B. e2C. e21 D. e41设)99()2)(1()(xxxxxf,
8、则)0(f(D)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页5 / 14 A. 99B. 99C. !99 D. !99下列结论中正确的是(C) A. 若)(xf在点0x有极限,则在点0x可导 B. 若)(xf在点0x连续,则在点0x可导 C. 若)(xf在点0x可导,则在点0x有极限 D. 若)(xf在点0x有极限,则在点0x连续(二)填空题设函数0,00,1sin)(2xxxxxf,则)0(f0设xxxfe5e)e(2,则xxfd)(lndxxx5ln2。曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k。曲线xxfsin
9、)(在) 1,2(处的切线方程是1y。设xxy2,则y)ln1 (22xxx设xxyln,则xy1。(三)计算题求下列函数的导数y:xxxye)3(解:xxexxexxy33xxexex212323)3(xxxylncot2解:xxxxxylnlncot22xxxxln2csc2xxyln2解:xxxxxy222lnlnlnxxxx2lnln2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页6 / 14 32cosxxyx解:23332cos2cosxxxxxyxx4)2(cos3)2ln2sin(xxxxxxxxxysinln
10、2解:xxxxxxxy222sinsinlnsinlnxxxxxxx22sincos)(ln)21(sinxxxylnsin4解:xxxxxylnsinlnsin4xxxxxlncossin43xxxy3sin2解:22233sin3sinxxxxxxxyxxxxxxx2233ln3)(sin)2(cos3xxyxlntane解:xxexeyxxlntantanxxexexx1costan2求下列函数的导数y:xye解:xxxexxeey212121xycosln解:xxxxytancossinsincos1xxxy解:87xy8187x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
11、纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页7 / 14 xy2sin解:xxxxxy2sin2cossin2sinsin22sin xy解:xxxxycos22cos22ecosxy解:2222sin2sinxxxxexeeeynxxyncossin解:nxxnxxynncossincossin)sin(sincoscossin1nxxnnxxxnnnxysin5解:xxxxysinsin5cos5lncos5ln5xycose解:xxxexeycoscossinsin在下列方程中,yy x( )是由方程确定的函数,求y:yxy2ecos解:yexyxyy22sincosyex
12、xyy22cossinxyylncos解:xyxyyy1.cosln.sin)lnsin1(cosxyxyyyxyx2sin2解:222sin2.cos2yyxyxyyyxyyyxyxyxysin22)cos2(22222cos2sin22xyxyyyxyyyxyln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页8 / 14 解:1yyy1yyy2elnyxy解:yyyexy21)2(1yeyxyyyxsine12解:xxeyyyeyy.sin.cos2yeyyeyxxcos2sin3eeyxy解:yyeyexy2323yee
13、yyxyxy25解:2ln25ln5yxyy2ln215ln5yxy求下列函数的微分yd:(注:dxydy)xxycsccot解:xxxycotcsccsc2dxxxxdy)sincoscos1(22xxysinln解:yxxxxx2sincoslnsin1dxxxxxxdy2sincoslnsin1xy2sin解:xxycossin2xdxxdycossin2xyetan解:xxeey2secdxeedxeedyxxxx22secsec33求下列函数的二阶导数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页9 / 14 xy
14、解:2121xy2323412121xxyxy3解:3ln3xyxxy33ln3ln33ln2xyln解:xy121xyxxysin解:xxxycossinxxxxxxxysincos2sincoscos(四)证明题设)(xf是可导的奇函数,试证)(xf是偶函数证:因为 f(x) 是奇函数 所以)()(xfxf两边导数得:)()()()1)(xfxfxfxf所以)(xf是偶函数。高等数学基础形考作业3 答案:第 4 章导数的应用(一)单项选择题若函数)(xf满足条件( D),则存在),(ba,使得abafbff)()()( A. 在),(ba内连续 B. 在),(ba内可导 C. 在),(ba
15、内连续且可导 D. 在,ba内连续,在),(ba内可导函数14)(2xxxf的单调增加区间是(D) A. )2,( B. ) 1,1( C. ),2( D. ),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足( A) A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升函数)(xf满足0)(xf的点,一定是)(xf的( C)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页10 / 14 A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数,),(0bax,若)(
16、xf满足( C ),则)(xf在0x取到极小值 A. 0)(,0)(00xfxf B. 0)(,0)(00xfxf C. 0)(,0)(00xfxf D. 0)(,0)(00xfxf设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数,且0)(,0)(xfxf,则)(xf在此区间内是( A ) A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的(二)填空题设)(xf在),(ba内可导,),(0bax,且当0xx时0)(xf,当0xx时0)(xf,则0x是)(xf的极小值点若函数)(xf在点0x可导,且0x是)(xf的极值点,则)(0xf0函数)1ln(2xy的单
17、调减少区间是)0,(函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(若函数)(xf在,ba内恒有0)(xf,则)(xf在,ba上的最大值是)(af函数3352)(xxxf的拐点是2,0(三)计算题求函数2(1) (5)yxx的单调区间和极值解:令) 1)(5(3)5(2)1(52xxxxxy5, 1 xx驻点列表:极大值:32)1(f极小值:0)5(f求函数223yxx在区间3,0内的极值点,并求最大值和最小值解:令:)xxy驻点( 1022,列表:x(0,1)1 (1,3)y+ 0 X )1 ,(1 (1,5) 5 ), 5(y+ 0 0 + y 上升极大值32 下降极小值 0 上升精选学习资料
18、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页11 / 14 y上升极大值 2 下降213222xxxy21f极值点:6) 3(f最大值2)1 (f最小值3. 求曲线xy22上的点,使其到点)0,2(A的距离最短解:上的点是设xyyxp2),(2,d 为 p 到 A 点的距离,则:xxyxd2)2()2(222102)2(12)2(22)2(222xxxxxxxd令2y。Axy的距离最短到点,或上点)0, 2(2-1)2, 1(22。4. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?解:设园柱体半
19、径为R,高为 h,则体积hhLhRV)(222LhhLhLhLhhV:33303)2(2222令。LRhLR时其体积最大当32,33325.一体积为 V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?解:设园柱体半径为R,高为 h,则体积hRV2222222RRVRRhS表面积33222042VRRVRVRS:令34Vh答:当32VR34Vh时表面积最大。6. 欲做一个底为正方形,容积为62.5 立方 M 的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底长为x,高为 h。则:225.625.62xhhx2) 1(6)3(3)0(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、- - - - - -第 11 页,共 14 页12 / 14 侧面积为:xxxhxS250422令51250250232xxxxS答:当底连长为5M,高为 2.5M 时用料最省。(四)证明题当0x时,证明不等式)1ln(xx证:在区间应用拉格朗日定理,有上对函数xxfxln1 , 1xx11ln1ln其中11,11故x,于是由上式可得)1ln(xx当0x时,证明不等式1exx证:)1()(xexfx设0)0()(,00(01)(fxfx)xexfx单调上升且时当时当) 1(,0)(xexfx即高等数学基础形考作业4 答案:第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用(一)单项选择题若)(xf的
21、一个原函数是x1,则)(xf(D) A. xlnB. 21xC. x1D. 32x下列等式成立的是(D) A)(d)(xfxxfB. )()(dxfxfC. )(d)(dxfxxfD. )(d)(ddxfxxfx若xxfcos)(,则xxfd)((B) A. cxsinB. cxcosC. cxsinD. cxcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页13 / 14 xxfxxd)(dd32(B) A. )(3xfB. )(32xfx C. )(31xfD. )(313xf若cxFxxf)(d)(,则xxfxd)(
22、1(B)A. cxF)( B. cxF)(2C. cxF)2(D. cxFx)(1下列无穷限积分收敛的是(D)A. dxx11B.dxex0C.dxx11D. dxx121(二)填空题函数)(xf的不定积分是dxxf)(。若函数)(xF与)(xG是同一函数的原函数,则)(xF与)(xG之间有关系式)cxGxF常数()()(。xxded22xe。xx d)(tancxtan。若cxxxf3cosd)(,则)(xf)3cos(9x。335d)21(sinxx3 若无穷积分1d1xxp收敛,则0p。(三)计算题cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2cexdexxxxx22decxxdxx
23、xx)ln(ln)(lnln1dln1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页14 / 14 cxxxxdxxxxxdxxx2sin412cos212cos212cos212cos21d2sine11e127)ln3(21)ln3d()ln3(dln3exxxxxx414341212121de21022102102102eeedxexexxxxxx41412121221ln2ln21dln212211212e1eeexdxxxxdxxxxeeeeeeeexedxxxxxxx1121e1212111ln1dln(四)证明
24、题证明:若)(xf在,aa上可积并为奇函数,则0d)(aaxxf证:aaaaaaaadttfdttfdttfdxxftx)()()()(令0)()()(aaaaaadxxfdxxfdxxf证毕证明:若)(xf在,aa上可积并为偶函数,则aaaxxfxxf0d)(2d)(证:aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(aaaxftftfxxftx000)(dt)(dt)(d)(,是偶函数则令证毕aaaaaaaxxfxxfxxfxxfxxfxxf00000d)(2d)(d)(d)(d)(d)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页