《2022年高等数学不定积分重点难点复习大纲例题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学不定积分重点难点复习大纲例题讲解（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第四章不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容. 原函数与不定积分概念1. 原函数设在区间上)(xF可导，且)()(xfxF（或dxxfxdF)()(）就称)(xF为)(xf在的一个原函数。 2.不定积分在区间上函数)(xf的所有原函数的集合，成为)(xf在区间上的不定积分，记作dxxf)(. CxFdxxf)()(其中)(xF为)(xf在上的一个原函数，C为任意常数 . . 不定积分的性质 1.dxxfdxxfd)()( (或)()(xfdxxf)
2、2.Cxfxdf)()( (或Cxfdxxf)()() 3.dxxfkdxxkf)()(其中k为非零常数 . 4.dxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 不定积分概念不定积分性质基本积分法基本积分公式无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法分部积分法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载. 基本积分公式 1.Ckxkdx (k为常数 ) 2.Cxudxxuu111 3.Cxdxxln1 4.Cxxdxarctan12 5.Cxxdxarcsin12 6.Cxdxxsi
3、ncos 7.Cxxdxcossin 8.Cxxdxtansec2 9.Cxxdxcotcsc2 10.Cxxdxxsectansec 11.Cxxdxxcsccotcsc 12.Cedxexx 13.Caadxaxxln1 14.Cchxshxdx 15.Cshxchxdx 16.Cxxdxcoslntan 17.Cxxdxsinlncot 18.Cxxxdxtanseclnsec 19.Cxxxdxcotcsclncsc 20.Caxaxadxarctan122 21.Caxaxaaxdxln2122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
4、第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载 22.Caxxadxarcsin22 23.2222ln()dxxxaCxa 24.2222ln()dxxxaCxa. 换元积分法1.第一类换元法 .( 凑微分法 ) dxxxf)()( )( ) ( )f u duF uCFxC()(xu) ( 其中)(x可导，)(uF为)(xf的一个原函数). 2.第二类换元法dxxf)(1 ( )( )( )( )ftt dtF tCFxC()(tx) ( 其中)(tx单调可导，且0)(t，)(tF为)()(ttf的一个原函数 ) . 分部积分法)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu (其中)(xu
5、)(xv具有连续导数) . 有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分. (1) dxax1 (2) dxaxn)(1(3) dxqpxxcbx2 (4) dxqpxxcbxn)(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法. 三角函数有理式的积分，总可用万能代换2tanxu将原不定积分化为u为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些. 三、重点与难点原函数
6、与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载四、例题解析、选择题例 1 若)(xf的导数是xcos，则)(xf有一个原函数为 ( ) (A)xcos1 (B)xcos1 (C)xsin1 (D)xsin1解应选 (B). 因为xxsin)cos1(，而xxcos)(sin例 2 设)(xf有原函数xxln，则xdxxln（ ）(A)ln4121(2Cxx (B) )ln2141(2Cxx(C)ln2141(2Cxx (D)ln4121(2Cxx解2)
7、()(2xdxfdxxxfdxxfxxfx)(2)(222而1ln)ln()(xxxxf，xxf1)(，故dxxxf)(dxxxx2)1(ln22Cxxx4) 1(ln222Cxxxln2422所以应选 (B). 、填空题例3设)(xf为 定 义 区 间 上 单 调 连 续 可 微 函 数 ，)(1xf为 相 应 的 反 函 数 ， 若CxFdxxf)()(，则dxxf)(1为解)()()(111xxdfxfxdxxf)()()(111xdfxffxxfCxfFxxf)()(11、讨论题例 4 解下列各题，并比较其解法：(1)dxxx22(2) dxxx222 (3)dxxx232 (4)dx
8、xx242解 (1)Cxxdxdxxx)2ln(21)2(212122222. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载(2)dxxdxxxdxxx)221(22)2(222222Cxx2arctan2. (3)22222223)222(212212dxxxdxxxdxxxCxxdxx)2ln(2(21)221(2222(4)dxxxdxxxdxxx)242(2442222424Cxxx2arctan22233比较上述四题， 发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分
9、子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项， 使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次， 凑微分则无效， 只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例 5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 ( 设CuFduuf)()() (1)()(1)(baxdbaxfadxbaxfduufa)(1 (baxu) CuFa)(1CbaxFa)(1 (2)()(1)(1baxdbaxfandx
10、xbaxfnnnnduufan)(1 (baxun) CuFan)(1CbaxFann)(1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载如求dxxx243)(cos解 原式424)(cos141dxxCx )tan(414 (3)xdxfdxxxfln)(ln1)(lnduuf)(CuF)(Cxf)(ln (xuln) 如求dxxx3ln2解 原式)ln2(ln23xdxCx34)ln2(43 (4)xdxfxdxxfsin)(sincos)(sinCxF)(sinxdxfxdxcoxxfcos)(cossi
11、n)(CxF)(cosxdxfdxxcoxxftan)(tan1)(tan2CxF)(tan如求dxxx2cos3cos解 原式xdxsinsin1312xdxsinsin412xdxxsin)sin21sin21(41Cxxsin2sin2ln41其它一些类型， 例如dxxxf211)(arctan，dxxxf211)(arcsin，dxeefxx)(等，请同学们自己加以总结. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载V. 计算题例 6 求dxxxx221arctan分析此题先把被积函数写成221arc
12、tanxxxxxxarctan11122xxxarctan11arctan2拆成两项再进行积分较方便. 解dxxxx221arctanxdxxarctan)111 (2dxxxxdx21arctanarctanxxddxxxxxarctanarctan11arctan2Cxxxx22)(arctan21)1ln(21arctan例 7 求dxexexx2)1(解dxexexx2) 1(xxdeex2)1(11xexddxeexxx111dxeeeexxxxx111dxeeexxxx)11(1Cexexxx1ln1例 8求dxxx221解令txsin，则tdtdxcosdxxx221tdttdt
13、tt22cotcossincosdtt)1(csc2CttcotCxxxarcsin12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 9 求dxeexx21解令tex2，即txln2，dttdx2dxeexx21dtttt212dttt)1(22dttttt)1()1 (2222dtttt)111(22Cttt)1lnln1(2Cxeexx222)1ln(2例 10 求dxxxx232)1 (arctan解令txtan，tdtdx2secdxxxx232)1(arctandttttt23secsectant
14、dttsinttd coscoscostdtttCtttcossinCxxxxarctan11122例 11 求dxexxx22)11(解dxexxx22)11(dxexxxx222)1(21dxxxedxxexx222)1 (2122111xdedxxexxdxxexedxxexxx222111Cxex21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载注：最后一步等号成立是因为可设21xex的一个原函数为)(xF，于是dxxexedxxexxx222111)(1)(221CxFxeCxFxCxex21例 12
15、 求dxxmsin1的递推公式解记dxxmmsin1，则Cxxcotcscln1. 当2m时，dxxxxdxmmm22sin1sin1sinxdxmcotsin12dxxxxmxxmm12sincoscot)2(sincotdxxxmxxmmsincos)2(sincos21dxxxmxxmmsinsin1)2(sincos21dxxmdxxmxxmmm21sin1)2(sin1)2(sincos21)2()2(sincosmmmmmxx即2112sin)1 (cosmmmmmxmx例 13 求dxxxxx)1()2(122解12)2()1()2(1222122xxDCxxBxBxAxxxx去
16、分母后，再比较两边同次幂的系数得41A，1411B，196172B，498C，493D于是dxxxxx)1()2(122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载=dxxdxx2)2(14141dxxxxdxx)1(49)38()2(196172而dxxxxdxxxx1)283()12(281382243)21()21(1)1(4222xxdxxxxdCxxx312arctan32) 1ln(42从而dxxxxx) 1()2(1222ln1961721141ln41xxxCxxx312arctan3492)
17、1ln(4942例 14 求dxxx527)1 (分析被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用较灵活的基本积分方法. 此题利用换元法计算较简便. 解令txsin，tdtdxcosdxxx527)1(tdtttcoscossin107tdtt27sectanttd tantan7Ct8tan81Cxx428)1(8. 例 15 求dxxx3cossin1分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令2tanxu”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法. 解dxxx3cossin1 = dxxxxx322cossincossin = dxxx3cossin +
18、 dxxxcossin1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载 = -xdxcoscos13 + xdxtantan1 = x2cos21 + xtanln +C. 例 16 求dxxx2sin2sin解dxxx2sin2sin=dxxxxxx2sin2)cos(sin)cos(sin21=2122)cos(sin1)cos(sin)(sin3)cos(sinxxxxdcoxsxxxd= =2)cos(sin1)cos(sin)cossin3)(cossin3()cos(sin21xxxxdxxxxx
19、xd=)cosarctan(sin3cossin3cossinln32121xxxxxx +C. 例 17 求dxxxxIsin3cos2sin1 , dxxxxIsin3cos2cos2 . 解xdxII2123+1C221sin3cos2lnsin3cos2cos3sin232CxxdxxxxxII由此得CxxxIsin3cos2ln231311CxxxIsin3cos2ln321312 . 例 18 求dxx311解令tx31，23)1(tx，则dtttdx)1(632. dxx311dtttt)1(6132dttt)1(63Ctt253563235)1 (3)1(56xxC. 例 19
20、 计算下列各题(1) dxxfxfxfxfxf32)()()()()(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载(2) 设xxf22tansin)2(cos，求)(xf. (3) 设xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(. (4) 已知1cos)(sin2xxf且0)0(f，求dxxxf)(sincos. 解 (1) 原式 =dxxfxfxfxfxf322)()()()()(=dxxfxfxfxfxfxf22)()()()()()(=)()()()(xfxfdxfxf =Cxfxf2)()(21.
21、 (2) 设tx2cos，则xxxxx22222coscos1cos1tansin=xx22cos)(cos1=22)2()2(1tt即22)2()2(1)(tttf. dxxxdxxfxf)2()2(1)()(22，即Cxxxf3)2(3121)(. (3) xxeexflnln)1ln()(ln, 即有xxeexf)1ln()(. xxxxdeedxeedxxf)1ln()1ln()(xxxedxee1)1ln(Ceexxx)1ln()1(. (4) xxxf22sin1cos)(sin，即2)(uuf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
22、 -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载Cuuf331)(. 由00)0(Cf，331)(uuf. xdxfdxxxfsin)(sin)(sincosxxd sinsin313Cx4sin121. 例 20 设0sin0)(xxxxxf，求dxxf)(. 解由于0)0()(lim0fxfx，可知)(xf在(,) 上连续 . 因此)(xf的原函数一定存在，设)(xF为)(xf的一个原函数. 因为)(xF可导，则)(xF必连续 . 0cos021)(2xxxxxF0)(lim0xFx，1)(lim0xFx. )(xF在0x处连续，即有101. 则)(xf的一个原函数为01cos021)(2x
23、xxxxF. 故01cos021)()(2xCxxCxCxFdxxf. 注：求连续分段函数)(xf的原函数)(xF时，一定要保证)(xF的连续性，而这时)(xF的可导性就可以得到满足. 例 21 设)(xfy在0x处满足)(2xxxyeyx，求满足条件0)1 (f的)(xf. 解由微分定义可得xyeyx2，即xeyyx2，xexy2)(，Cexyx221，)21(12Cexyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载由条件2210)1 (eCf，则)2121(1)(22eexxfx. 例 22 设)(xF为)(xf的原函数，且当0x时，)2(cos)()(2xxFxf. 已知1)0(F，0)(xF. 试求)(xf. 解由)()(xfxF得)2(cos2)()(22xxFxF，即)2(cos2 )(22xxF. CxxdxxdxxxF4sin41)4cos1 ()2(cos2)(22. 由11)0(CF，于是14sin41)(2xxxF. 又0)(xF，从而14sin41)(xxxF，所以1sin41)2(cos)()2(cos)(22xxxxFxxf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
