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1、2013年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)复数的模长为()ABCD22(5分)已知集合A=x0log4x1,B=xx2,则AB=()A(0,1)B(0,2C(1,2)D(1,23(5分)已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()ABCD4(5分)下列关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列;其中真命题是()Ap1,p2Bp3,p4Cp2,p3Dp1,p45(5分
2、)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40),40,60),60,80),80,100)若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()A45B50C55D606(5分)在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,casinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=()ABCD7(5分)使得(3x+)n(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4B5C6D78(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=()ABCD9(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若OAB为直角三角形,则必有()Ab=a3BC
3、D10(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()ABCD11(5分)已知函数f(x)=x22(a+2)x+a2,g(x)=x2+2(a2)xa2+8设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x),(maxp,q)表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则AB=()A16B16C16a22a16D16a2+2a1612(5分)设函数f(x)满足x2f(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x0时,f(x)()A有极大
4、值,无极小值B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是14(5分)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和若a1,a3是方程x25x+4=0的两个根,则S6=15(5分)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若AB|=10,AF|=6,cosABF=,则C的离心率e=16(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本
5、数据中的最大值为三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(12分)设向量,(1)若,求x的值;(2)设函数,求f(x)的最大值18(12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点()求证:平面PAC平面PBC;()若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角CPBA的余弦值19(12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答()求张同学至少取到1道乙类题的概率;()已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望
6、20(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=2py(p0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1时,切线MA的斜率为()求P的值;()当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O)21(12分)已知函数f(x)=(1+x)e2x,g(x)=ax+1+2xcosx,当x0,1时,(I)求证:;(II)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22(10分)选修41:几何证明选讲如图,AB为O直径,直线CD与O
7、相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE证明:(I)FEB=CEB;(II)EF2=ADBC23在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin,cos()=2()求C1与C2交点的极坐标;()设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值24已知函数f(x)=|xa|,其中a1(1)当a=2时,求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)2f(x)2的解集x|1x2,求a的值2013年辽宁省高考数学试卷(理科)参考答案
8、与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)复数的模长为()ABCD2【解答】解:复数,所以=故选B2(5分)已知集合A=x|0log4x1,B=xx2,则AB=()A(0,1)B(0,2C(1,2)D(1,2【解答】解:由A中的不等式变形得:log41log4xlog44,解得:1x4,即A=(1,4),B=(,2,AB=(1,2故选D3(5分)已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()ABCD【解答】解:已知点A(1,3),B(4,1),=(4,1)(1,3)=(3,4),=5,则与向量同
9、方向的单位向量为 =,故选A4(5分)下列关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列;其中真命题是()Ap1,p2Bp3,p4Cp2,p3Dp1,p4【解答】解:对于公差d0的等差数列an,an+1an=d0,命题p1:数列an是递增数列成立,是真命题对于数列nan,第n+1项与第n项的差等于 (n+1)an+1nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,故p2不正确,是假命题对于数列,第n+1项与第n项的差等于 =,不一定是正实数,故p3不正确,是假命题对于数列an+3nd,第n+1项与第
10、n项的差等于 an+1+3(n+1)dan3nd=4d0,故命题p4:数列an+3nd是递增数列成立,是真命题故选D5(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40),40,60),60,80),80,100)若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()A45B50C55D60【解答】解:成绩低于60分有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0。005,0。01,每组数据的组距为20,则成绩低于60分的频率P=(0。005+0.010)20=0.3,又低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是=50故选:B6(5分)在ABC,内
11、角A,B,C所对的边长分别为a,b,casinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=()ABCD【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,sinB0,sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,ab,AB,即B为锐角,则B=故选A7(5分)使得(3x+)n(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4B5C6D7【解答】解:设(nN+)的展开式的通项为Tr+1,则:Tr+1=3nrxnr=3nr,令nr=0得:n=r,又nN+,当r=2时,n最小,即nmin=5故选B8(5分)执行如图所示的程序框
12、图,若输入n=10,则输出的S=()ABCD【解答】解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,判断210成立,执行,i=2+2=4;判断410成立,执行=,i=4+2=6;判断610成立,执行,i=6+2=8;判断810成立,执行,i=8+2=10;判断1010成立,执行,i=10+2=12;判断1210不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为故选A9(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若OAB为直角三角形,则必有()Ab=a3BCD【解答】解:=(a,a3b),,=(a,a3),且ab0若,则=ba3=0,a=0或b=0,但是ab0,应舍去;
13、若,则=b(a3b)=0,b0,b=a30;若,则=a2+a3(a3b)=0,得1+a4ab=0,即综上可知:OAB为直角三角形,则必有故选C10(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()ABCD【解答】解:因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,所以球的半径为:故选C11(5分)已知函数f(x)=x22(a+2)x+a2,g(x)=x2+2(a2)xa2+8设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x),(maxp,q)表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则AB=()A16B16C16a22a16D16a2+2a16【解答】解:令h(x)=f(x)g(x)=x22(a+2)x+a2x2+2(a2)x