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1、 垂径定理 教学设计【教学目标】 知识与技能： 1、知识目标：通过实验观察，让学生探索垂径定理的证明过程； 掌握垂径定理，能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：让学生经历“实验观察猜想验证归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察 分析、归纳问题和解决问题的能力，培养发散思维。 过程与方法：1、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、 深化新知，共同感受收获的喜悦。2、在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的解题方法和常见辅助线作法，渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法情感态度与价值观：（1）体会数学知识
2、与现实生活的密切联系；（2）通过图片欣赏感受数学文化，激发学习热情；（3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度，培养学生勇于探索的精神。【教学难点】垂径定理的证明和应用。【教学重点】运用垂径定理解决有关证明与计算问题【教学媒体】 自制教具，圆规，三角尺，PPT课件【教学方法】问题教学法、实验教学法、探究教学法、引导发现法【教学过程】 教学内容学生活动教师活动一、 情境引入： 1、出示的图片和相关知识简介，提出已知跨度和拱高如何求桥拱所在圆的半径的问题，引入新课。2、出示本课学习目标。赵州桥设计意图：从生活中的实例出发，让学生感受生活中处处有数学，激发学生的求知欲
3、望。二、探究新知1、观察和猜想 AB、CD是O的两条直径,图1中有哪些相等的线段和相等的弧? 当AB向下平移,如图2变成非直径的弦时,上面的结论还成立吗? 当ABCD时,如图3你认为有相等的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。图2图3图1 设计意图：通过该观察和猜想让学生感知当直径与弦垂直时有特殊的性质。2、 操作验证 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来验证一下这个猜想是否合理吗？动手试一试。 设计意图：让学生通过动手操作验证猜想的合理性，培养直觉思维。3、证明结论 已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AEBE，。设计意图：学生证明自己的发现，培养学生养成严谨的思维习
4、惯。4、归纳定理：垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦对的两条弧。几何语言： , ， ， ， 。设计意图：培养学生归纳总结能力。5、 理解定理.在下列图形，符合垂径定理的条件吗？D、归纳垂径定理的几个基本图形设计意图：让学生熟记定理应用的条件，检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。6、应用定理、在O中，弦AB垂直于0C，垂足为E，AE=3，则AB= 。、在O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为M，AB=12，半径OB=10，则OM= ，CM= 。、在O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为M，CD=20，CM=2，则弦AB= 师生共同总结常用方法：垂径定理常和勾股定理结合使用，半径、半弦、弦心
5、距三个量中任知两个量，可求第三个量。设计意图：让学生即学即练，初步运用定理解决简单计算问题，并总结解题方法。三、巩固提升例1.如图，弦AB=8cm，CD是直径，CDAB，垂足为E，DE=2cm，求O的直径CD的长。 方法归纳：当半径、半弦、弦心距三个量中不直接具备两个量时，怎么解决？设计意图：进一步培养学生运用垂径定理解决有关计算问题的能力，初步感受“连半径”这一辅助线作法和方程思想。同步练习： 赵州桥主桥拱的跨度(弦AB的长)为40m,拱高(弧的中点到弦的距离CD的长)为8m，你会求出赵州桥主桥拱的半径吗？（只列关键算式，不求解） 设计意图：巩固垂径定理，回归生活，让学生感受数学的应用价值。
6、例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD.设计意图：让学生运用定理解决圆中证明线段相等的问题，初步感受“过圆心作弦的垂线”这一辅助线作法，培养逻辑推理能力。变式1：在图1中再添一个同心圆，如图2，则 AM BN。变式2：隐去图1中的大圆，得图3， 连接OA，OB，设OA=OB， 求证：ACBD。变式3：隐去图1中的小圆，得图4，连接OC，OD，设OC=OD，求证：ACBD。总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂线（段）。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决。例3已知：O中弦ABCD，求证：弧AC弧B
7、D。设计意图：让学生运用定理解决圆中证明两弧相等的问题，进一步体会“过圆心作弦的垂线”这一辅助线作法，培养逻辑推理能力。四、课堂小结 谈谈这节课自己的收获： 1、从知识上我学到了、从方法上我学到了五、当堂检测1.如图，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论错误的是（ ）。 A. CE=DE B.弧BC=弧BD C.1=2 D.ACAD2.半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。3AB是O的直径，C是O上一点，AC=8，AB=10，ODBC于点D，求BD的长。六、拓展提升七、 课后作业：1、如图，OEAB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm, 则O的半径是
8、 cm。2、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），的半径为，则点P的坐标为 _. ABO3、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图5），此时的水面宽AB为0.6米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度 学生分享有关赵州桥的知识学生观察和猜想 学生动手操作学生思考、说理学生尝试用两种语言归纳定理学生辨析学生自主练习学生自主练习学生自主练习学生思考，尝试解决并展示解题过程学生自我归纳此种情形下的解题方法学生自主练习学生思考，小组交流并展示解题思路学生展示思路学生展示思路学生展示思路学生思考，小组交流并展示解题思路学生自我小结学生自主练习并展示学生思考，小组合作交流并展示解题思路教师提出问题教师请学生展示操作结果教师请学生展示推理思路教师提炼学生的语言并板书定理老师补充并强调教师请学生展示思路教师请学生展示思路教师请学生展示思路教师板书学生的解题过程教师板书常见辅助线作法及方程思想教师请学生展示思路教师请学生展示思路教师总结教师请学生展示思路教师检测练习效果教师适时引导学生作辅助线，找思路【板书设计】【课后反思】
