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1、2014高考直通车高考二轮攻略30讲第5讲 导数及其应用【课前诊断】1(2012辽宁)已知P,Q为抛物线x22y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为_解析yx,y|x44,y|x22,P(4,8),Q(2,2),过P, Q的切线方程分别为:y4x8,y2x2,联立方程解得y4.答案42(2013广东)若曲线ykxln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k_.解析yk,y|x1k10,k1.答案13(2012苏锡常镇四市调研(一)已知a,b为正实数,函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4,则f(x)在1,0上的最小值为_
2、解析由a,b为正实数,可得函数yax3bx的导函数y3ax2b0恒成立,所以yax3bx是R上的增函数,从而f(x)ax3bx2x是R上的增函数所以当x0,1时,f(x)maxf(1)ab24,即ab2.当x1,0时,f(x)minf(1)ab2.答案4设曲线y(ax1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y(1x)ex在点B(x0,y2)处的切线为l2,若存在x0,使得l1l2,则实数a的取值范围是_解析依题意由y(ax1)ex,得yaex(ax1)ex(axa1)ex,所以kl1(ax0a1)ex0.由y(1x)ex,得y,所以kl2.因为l1l2,所以kl1kl21,即(ax0a
3、1)ex01,即(ax0a1)(x02)1,从而a,其中x0.令f(x),则f(x),当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增又因为f(0),f(1)1,f,所以a的取值范围是.答案法二:直线,的斜率分别为,由题设得在上有解,令,则 【例题探究】 (2013北京)设l为曲线C:y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方(1)解由y,得y,x0.ky|x11.直线l的方程为yx1,即xy10.(2)证明要证明,除切点(1,0)外,曲线C在直线l下方只要证明,对x0且x1时,x1.设f(x)x(x1)ln x,x0,则f(x)2x1.因此
4、f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增f(x)f(1)0,即x(x1)ln x.故当x0且x1时,x1成立因此原命题成立已知函数f (x)6lnxax28xb (a,b为常数),且x3为f (x)的一个极值点 () 求a; () 求函数f (x)的单调区间; () 若y f (x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点,求实数b的取值范围解:() f (x) 2ax8, f (3) 26a80,则a1 () 函数f (x)的定义域为(0,) 由() 知f (x) 6lnxx28xb f (x) 2x8 由f (x)0可得x3或x1,由f (x)0可得1x3函数f (x)的单调递增区间
5、为(0,1)和(3,),单调递减区间为(1,3) () 由()可知函数f (x)在(0,1)单调递增,在(1,3)单调递减,在(3,)单调递增且当x1或x3时,f (x)0 f (x)的极大值为f (1)6ln118bb7,f (x)的极小值为f (3)6ln3924b6ln3b15 当x充分接近0时,f (x)0,当x充分大时,f (x)0, 要使f (x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点,只需则7b156ln3 (2012北京)已知函数f(x)ax21(a0),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a24
6、b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间(,1上的最大值解(1)f(x)2ax,g(x)3x2b,因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1),且f(1)g(1)即a11b,且2a3b.解得a3,b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时,h(x)x3ax2a2x1,h(x)3x22axa2.令h(x)0,得x1,x2.a0时,h(x)与h(x)的变化情况如下:xh(x)00h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为(,)和(,);单调递减区间为.当1,即0a2时,函数h(x)在区间(,1上单调递增,h(x)在区间(,1上的最大值
7、为h(1)aa2.当1,且1,即2a6时,函数h(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(,1上的最大值为h1.当6时,函数h(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,又因为hh(1)1aa2(a2)20,所以h(x)在区间(,1上的最大值为h1.14分综上所述:f(x)g(x)的增区间为和;减区间为.当02时,f(x)g(x)在(,1上的最大值为1.冲刺强化练习(5)1 已知点P在曲线f(x)x4x上,曲线在点P处的切线平行于3xy0,则点P的坐标为_解析由题意知,函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3,即f(x0)4x13,x01,将其代入f(x)中
8、可得P(1,0)答案(1,0)2函数yx32axa在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是_解析令y3x22a0,得x (a0,否则函数y为单调增函数)若函数yx32axa在(0,1)内有极小值,则 1,0a.答案(0,)3设aR,若函数yeax3x,xR有大于零的极值点,则a的取值范围是_解析yaeax3,由y0,得xln ,0,a0.又有正根,必有得a3.答案a34已知函数f(x)x2cosx,x2,2,若f(2x1)f(1),则x的取值范围是_答案,0)(1,5函数yx2sinx在(0,2)内的单调增区间为_解析y12cosx,由即得x.函数yx2sinx在(0,2)内的增区间为(,
9、)答案(,)6已知m为实数,函数f(x)x2(xm),若f(x)1,则f(x)的单调递减区间为_解析f(x)3x22mx,f(1)32m1,m2,f(x)3x24x0,x0答案(,0)7函数f(x)2x2lnx的单调递增区间为_解析函数f(x)的定义域为(0,),f(x)4x,令f(x)0,得x答案(,)8(2012江苏百校大联考)设函数f(x)x33x2,若不等式f(32sin )f(x)max,x1,5,f(x)3x23,令f(x)0,x1,当x1,5时,f(x)0恒成立,即f(x)在1,5上为减函数,f(x)maxf(1)4,所求实数m的范围为(4,)答案(4,)9若函数f(x)2x2l
10、nx在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是_解析因为f(x)的定义域为(0,),f(x)4x,由f(x)0,得x.据题意得,解得1k.答案1,)10已知函数f(x)lnx2xf(1)(x0),其中f(x)是f(x)的导函数,则在点P(1,f(1)处的切线方程为_解析因为f(x)2f(1),由题意可知,曲线在(1,f(1)处切线方程的斜率kf(1),则f(1)12f(1),解得f(1)1,则f(1)ln12(1)2,所以切点(1,2)所以切线方程为:y2(x1)化简得xy10答案xy1011(2013辽宁改编)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x),f(2
11、),则x0时,对f(x)的说法正确的是_(填序号)有极大值,无极小值;有极小值,无极大值;既有极大值又有极小值;既无极大值也无极小值答案解析由x2f(x)2xf(x),得f(x),令g(x)ex2x2f(x),x0,则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2.令g(x)0,得x2.当x2时,g(x)0;当0x2时,g(x)0,g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0,从而当x0时,f(x)0,则f(x)在(0,)上是增函数,所以函数f(x)无极大值,也无极小值12(2010盐城三模)设a0,函数f(x)x,g(x)xlnx,若对任意的x1,x21,e,都有f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围为_解析g(x)xlnx,g(x)1,x1,e,g(x)0,函数g(x)单调递增,g(x)的最大值为g(e)e1f(x)x,f(x),令f(x)0,a0,xa当0a1,f(x)在1,e上单调增,f(x)minf(1)1a2e1,1a,当1ae 列表可知,f(x)minf(a)2ae1恒成立当ae时 f(x)在1,e上单调减,f(x)minf(e)e1恒成立,综上a答案a13(2013高考新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)0.解:(1)f(x)