测量误差及数据处理

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1、测试技术基础机机电工程学院工程学院 张友旺张友旺9/5/20241检测技术第三章第三章 测量误差与静态测量数据处理测量误差与静态测量数据处理3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述3.2 3.2 不等精度测量不等精度测量3.3 3.3 函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递3.4 3.4 测量的不确定度测量的不确定度. .3.5 3.5 静态误差数据处理静态误差数据处理9/5/20242误差与测量3.1 测量误差概述测量误差概述3.1.1 测量误差的概念及其表示方法测量误差的概念及其表示方法1. 测量误差测量误差：对某一参数进行测量时，由于各种因素的影响，使测量值与被测参数的真值之间存在一定

2、的差值，此差值就是测量误差。测量误差的产生原因主要有四个方面：测量方法；测量设备；测量环境；测量人员素质。2. 研究测量误差的意义研究测量误差的意义 正确认识测量误差的性质与分析测量误差产生的原因，寻求最大限度地减小与消除测量误差的途径。寻求正确处理测量数据的理论和方法，以便在同样条件下，能获得最精确最可靠地反映真值的测量结果。 俗话说，差之毫厘，失之千里，一个小数点的错位，一个量纲的不正确，有可能导致巨大的浪费、失败、甚至造成人员伤亡等。 9/5/20243误差与测量3. 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 绝对误差绝对误差：0 或 其中X为测量值，0为真值，为约定真值。 一般来说，真值无

3、法求得，约定真值为高一级测量仪表的读数。 相对误差相对误差：（/0）100 或 （/）100（实际相对误差） 或（/）100% （示值相对误差，当较小时使用） 引用误差：引用误差：引（/）100% 称测量值为时的引用误差。 式中为满刻度值。 引用误差有最大值：引（/）100 称为电工仪表的等级，共7级：、。使用级精度仪表时可保证： 在相同误差下，显然，越接近，相对误差越小。（/）（/）。9/5/20244误差与测量3.1.2 测量误差的分类测量误差的分类系统误差系统误差：对某一参数在相同条件下进行多次测量时，以确定的规律影响各次测量值的误差。随机误差随机误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复

4、测量，误差的符号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。粗大误差粗大误差：由于某些原因造成的使测量值受到显著歪曲的误差，可在重复测量比较分析后消除。产生原因：测量者的粗心大意，环境的改变，如受到振动、冲击等。 9/5/20245误差与测量1. 随机误差的特点随机误差的特点 随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(直方直方图法图法)，将最大值与最小值之间进行，将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值，等分，在直角坐标系中横轴表示测量值，纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显

5、现纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服服从正态分布从正态分布。 测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如随机误差具有如下特点：下特点： 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大； 对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等；对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等； 相消性：相消性

6、： 有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。3.1.3 随机误差的特点及估计随机误差的特点及估计 9/5/20246误差与测量 具有具有这样这样特性的事件称之特性的事件称之为为服从正服从正态态分布（高斯分布），分布（高斯分布），正正态态分布的概率密度：分布的概率密度：测测量量值值分布中心可用求算分布中心可用求算术术平均平均值值的方法求得：的方法求得：样样本均本均值值。=9/5/20247误差与测量 测测量量值值的可靠性（偏离真的可靠性（偏离真值值的程度）可用的程度）可用标标准差准差来来评评价：价：或用或用的估的估计值计值 随机随机误误差的分布与差

7、的分布与测测量量值值相同，只是相同，只是。样本标准差样本标准差9/5/20248误差与测量2. 极限随机极限随机误误差的估差的估计计已知已知:单单次次测测量的极限随机量的极限随机误误差的估差的估计计设测量值x落在区间的概率 称为显著水平（不可靠性）当t值不同时，概率不同若取t=1 则 p=68.26% t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%而测量值超过|u 3|的概率很小,认为不可能出现. t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关9/5/20249误差与测量所以所以, ,单单次次测测量量值值的的极限随机极限随机误误差差可定可定义为义为: :算算术术平均平均值值的

8、极限随机的极限随机误误差差: : -为算术平均值的标准值 9/5/202410误差与测量 未知未知时时，用，用的估的估计值计值S来替代，用算来替代，用算术术平均平均值值作作为测为测量量结结果果 则: k自由度=N-1 N 为测量次数-显著水平=1-p粗大粗大误误差的消除差的消除:当测量值产生的误差时,便可认为粗大误差可以删除.精密度精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。准确度准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。精确度精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。前二者的综合评定，有

9、时也指精密度。 3.1.4 精密度、准确度、精确度精密度、准确度、精确度9/5/202411误差与测量3.2 不等精度测量不等精度测量 3.2.1 等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量 如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算术平均值具有相同的可靠程度，称之为术平均值具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。等精度测量。 若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项改变

10、，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠性不同，称之为性不同，称之为不等精度测量。不等精度测量。 不等精度测量的目的不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较是对不同条件下的测量结果加以比较分析，以便获得更精确的测量结果。分析，以便获得更精确的测量结果。 9/5/202412误差与测量3.2.2 不等精度测量结果的表示不等精度测量结果的表示加权算术平均值加权算术平均值 不等精度测量不等精度测量因因各组测量值的可靠程度不同各组测量值的可靠程度不同，故不能用，故不能用算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即算术平均值来表示，而应遵从

11、一个原则：即可靠性高或精确可靠性高或精确度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要小一些。小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了加权算术平均值加权算术平均值的概念。的概念。 9/5/202413误差与测量1. 权权的概念与确定的概念与确定 权值权值反映了某一反映了某一测测量量值值在最在最终测终测量量结结果中的比重，用果中的比重，用p来来表示。表示。权值权值的大小与的大小与测

12、测量量值值的的标标准差有关。准差有关。 设设在不等精度在不等精度测测量中，各量中，各组组的算的算术术平均平均值为值为x1, x2, x3, xm，对应对应的的标标准差准差为为1 , 2 m 。则则各各组组的的权值为权值为：即每即每组组的的权值权值与其与其标标准差的平方方差成反比。准差的平方方差成反比。9/5/202414误差与测量 若不等精度若不等精度测测量量仅为仅为重复次数不同，而其它重复次数不同，而其它测测量条件量条件都不都不变变，则则可用各可用各组组的重复次数的重复次数ni做做该组该组的的权值权值pi。例如，已知三例如，已知三组组不等精度不等精度测测量量结结果果对应对应的的标标准差分准差

13、分别为别为：则则： 可取：可取：p1=1, p2=16, p3=4 9/5/202415误差与测量2. 加加权权算算术术平均平均值值的的计计算算接上例，接上例，设设则则 9/5/202416误差与测量3. 加加权权算算术术平均平均值值的的标标准差准差 已知各已知各组组i 若已知各若已知各组组的的权权且且组组数足数足够够多多时时其中，其中，为测为测量量组组数，数，为为第第i组组平均平均值值，为为加加权权算算术术平均平均值值。或或或或接上例：接上例：9/5/202417误差与测量3.3 函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递一一. 直接直接 测测量与量与间间接接测测量量直接直接测测量量测测量的物

14、理量就是所研究的参数量的物理量就是所研究的参数.间间接接测测量量测测量某些基本物理量量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的再根据函数关系求解所要研究的参数参数.研究研究函数函数误误差差就是解决就是解决间间接接测测量中的量中的误误差差传递问题传递问题(也称也称为为第一第一类类问题问题),另外另外还还要解决要解决误误差的分配差的分配(也称也称为为第二第二类问题类问题)举举例例说说明明: 电电路中路中1. 对电对电流流测测量可用量可用间间接法接法.先先测测量量R和和V 再算出再算出电电流流I及及误误差差.(第一第一类问题类问题)2. 若若对电对电路路电电流流误误差有要求差有要求,则则要求要求

15、VR和和R的的测测量量应应保保证证在一定的在一定的范范围围之内之内(第二第二类问题类问题)9/5/202418误差与测量二二. 函数的函数的误误差差传递传递 已知直接已知直接测测量参数的量参数的误误差差,求求间间接接测测量的量的误误差差1. 误误差差传递传递函数函数: 设设直接直接测测量参数与量参数与间间接接测测量参数的关系式量参数的关系式为为:当当测测量基本参数量基本参数X X1.X Xm时时存在存在误误差差,则计则计算出的算出的y值值的准确性必然受的准确性必然受到影响到影响.y值值的的误误差可以用求微分的方法求出差可以用求微分的方法求出:式中式中: ,称之称之为误为误差差传递传递函数函数,

16、它反映了第它反映了第i个个测测量参数的量参数的误误差差对对最最终测终测量量值值y的影响程度的影响程度. 或者或者说说xi的的误误差是通差是通过过Ci传递给传递给Y的的.9/5/202419误差与测量 函数的系函数的系统误统误差差 函数的随机函数的随机误误差差2. 函数函数误误差的差的计计算算:式中式中 为为相关系数，相关系数， 一般一般 它反映了两个参数它反映了两个参数(或者随机变量或者随机变量)之间之间是否成线性关系是否成线性关系.若二者若二者成线性关系成线性关系 或或 否否则则 小于小于1。通常有些参数之间是没有任何关系通常有些参数之间是没有任何关系,相对独立相对独立,不相关不相关, 则则

17、 ，此时，此时 大于大于0，9/5/202420例例: 求两中心距离求两中心距离L, 选择选择一种一种较较好的好的测测量方法量方法.已知已知:误差与测量解解:.式式+式有式有:. . 19/5/202421误差与测量方法方法1: 方法方法2: 9/5/202422误差与测量方法方法3: 由此可见第三种方法最好由此可见第三种方法最好!9/5/202423误差与测量三三. 函数函数误误差的分配差的分配给定函数误差给定函数误差, ,要求确定各基本参数所允许的测量误差要求确定各基本参数所允许的测量误差. .考考虑虑各基本参数相互独立各基本参数相互独立, 给给定定 则则有有:在在这这个方程中有个方程中有

18、m个个未知数未知数 根据已知条件只能列出一个方程根据已知条件只能列出一个方程,因此因此,解该方程必须再给定附加条件解该方程必须再给定附加条件.9/5/202424误差与测量1. 等作用原等作用原则则:设设各基本参数的各基本参数的误误差差对对函数函数误误差的影响相等差的影响相等.即即 i=1,2,.m.2. 按按实际过实际过程程调调整整误误差差:由上式可知由上式可知,当当|Ci|很大时很大时, i很小，意味着对很小，意味着对Xi的测量要求很高的的测量要求很高的精度精度,而而|Ci|很小时很小时,则可放宽测量要求则可放宽测量要求.在实际中在实际中,如果如果|Ci|太大太大,对对Xi的测量要求过高的

19、测量要求过高,现有设备仪器可能满足不了现有设备仪器可能满足不了,这时可以适当提高其这时可以适当提高其他参量的测量精度他参量的测量精度,而保证总的而保证总的m仍然仍然满满足足。19/5/202425误差与测量3.5 静态误差数据处理静态误差数据处理一一. 测量数据表示法测量数据表示法. 在测量过程中在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把为把这种关系建立这种关系建立,常常在特定的条件下改变被测量的量值常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输测出对应的输出出,特别是对传感器而言特别是对传感器而言,这种过程称之为标定这种过程称之为标

20、定.即给出传感器输入即给出传感器输入/输输出之间的关系出之间的关系.比如比如:测力传感器测力传感器,输入为力输入为力,输出为电流输出为电流,这样力与电流这样力与电流的关系可用不同的表示方法表示出来的关系可用不同的表示方法表示出来.1. 列表法列表法:输输入力入力(N)输输出出电电流流(mA)6012.27014.28016.29018.310020.415030.49/5/202426误差与测量2. 图图示法示法,即描点作即描点作图图 坐标可采用直角坐标坐标可采用直角坐标,极坐标等极坐标等. 上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还所以通常还

21、要采用第三种方法要采用第三种方法.3. 回回归归方程方程经验经验公式法公式法. 根据数理统计的方法根据数理统计的方法,求出两个甚至多个量之间的关系求出两个甚至多个量之间的关系,用用一个数学方程来表示，该方程称之为一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程回归方程,而建立该方程而建立该方程的过程称之为的过程称之为回归分析回归分析,回归分析包括一元线性回归回归分析包括一元线性回归,一元非线一元非线性回归性回归,多元线性回归及多项式回归等多元线性回归及多项式回归等.常用的是一元线性回归常用的是一元线性回归分析分析.9/5/202427误差与测量二二. 一元线性回归方程的建立一元线性回归方程的建立对一组

22、数据对一组数据Xi，Yi,若若它们之间是线性相关的它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示，即则可用一条直线来表示，即 ：(对线性关系的评价由相关函数来评价对线性关系的评价由相关函数来评价) 通常通常这这条直条直线线可用最小二乘法可用最小二乘法获获得得,即即设实测值设实测值yi与理与理论计论计算算值值之差的之差的 平方和为最小平方和为最小,可列成下式可列成下式: Q为为剩余平方剩余平方误误差差9/5/202428误差与测量即即:若要使若要使Q最小最小,可通过求极值的办法来确定可通过求极值的办法来确定m和和b两个未知量两个未知量,即令即令:m，b为未知量为未知量 解方程便可求得解方程便可求得m

23、和和b。 9/5/202429误差与测量其中其中: 9/5/202430误差与测量误差与测量采用线性回归的条件采用线性回归的条件:当当y,x两变量之间的相关系数的绝对值两变量之间的相关系数的绝对值 大于最小相关系数大于最小相关系数时时才能采用才能采用线线性回性回归归方程方程,最小相关系数最小相关系数 的确定与的确定与N及概率有关及概率有关. yx9/5/202431误差与测量回归方程的使用应注意回归方程的使用应注意:1.回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定超出标定曲线的范围则误差很大曲线的范围则误差很大.2.用最小二乘法求回归方程是以自

24、变量误差较小或无误差为前用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前提的提的,即只考虑即只考虑Y的误差而不考虑的误差而不考虑X的误差的误差.3.如果两变量中一个变量的误差可以忽略如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变则应采用另一个变量对该变量的回归直线（量对该变量的回归直线（误差小的为自变量误差小的为自变量）.4.如果两变量的误差大体相当如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直则可以采用两条相交的回归直线的平均直线线的平均直线.5.如果两个变量的误差不相当如果两个变量的误差不相当,一个误差大一个误差大,一个误差小一个误差小,则所则所采用的中间直线应偏向于误差小的变量对另一变量的回归直采用的中间直线应偏向于误差小的变量对另一变量的回归直线线.End of chapter 3 9/5/202432