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1、7.2.2 二模振荡及模竞争二模振荡及模竞争n 只能取1或2 并满足(7.2.14) 当n=1时,只有1111,1122,1221; n=2时,只有2222, 2112, 2211, 于是(7.2.17)变为上两式可简化成7.2.207.2.217.2.22再简化成第一个模和第二个模的线性净增益系数，表7-1交叉饱和系数自饱和系数7.2.237.2.24交叉饱和系数描写一个模的存在对另一个交叉饱和系数描写一个模的存在对另一个模饱和强弱的影响。在方程模饱和强弱的影响。在方程(7.2.23) 和和方程方程(7.2.24)中如去掉含有中如去掉含有nm的项，这的项，这两个方程就类似于在单模情况下得到的
2、方两个方程就类似于在单模情况下得到的方程。程。 由于交叉饱和项的存在，一个模强度的由于交叉饱和项的存在，一个模强度的增加将导致另一个模强度的减小，这就是增加将导致另一个模强度的减小，这就是模竞争效应。模竞争效应。7.2.25(n,m=1,2)双模振荡时模间的竞争双模振荡时模间的竞争将方程式(7.2.23) 两边同乘以 将方程(7.2.24)两边同乘以 得到如下的无量纲光强方程(7.2.26)(7.2.27)在稳态下， ，方程为(7.2.28)(7.2.29)表示两个模均不能振荡(两个模的净增益系数均为负值)。解是稳定的，但没有实际意义。因为该激光器没有工作。可以获得双模光强的四组稳态解1、I1
3、(s)=I2(s)=0相当于一个单模激光器，因为模式1没振荡，所以不产生模式竞争。或者初始的10，可是由于第二个模的振荡使1=1-212/2 减小，致使11，属于强耦合；若C1， 为弱耦合；当C=1时为中间耦合。 弱耦合模的特性与强耦合模的特性完全不同。 如果两个模只有弱耦合，它们之间虽有影响，但都能振荡。 如果两模之间为强耦合情况就完全不同，这时一个模的振荡强度的增加，会使另一个模的振荡强度减弱，甚至不能振荡，这就是模间竞争效应。 所谓稳定性是指在稳态情况下，光强有一点扰动后，是否还能恢复到原来的稳态，这相当于力学中的平衡态的稳定性问题。 下面采用扰动分析法来讨论解的稳定性为此我们考虑在稳态
4、解附近有强度的微小起伏，即令如果I1、 I2是稳定解，则当t 时，应有1 0 2 0 ，否则就不是稳定的代入(7.2.26)、(7.2.27)略去数量级略去数量级为为2的项的项讨论第二组稳态解得稳定性。将I1(s)=0，I2(s)= 2/ 2，代入上式得(b1)由上式可见：若10时，当t 时，2 0恒能满足。 所以在10时，解I1(s)=0， I2(s)=2/ 2是稳定的。由上式可知，若1 0 ，但，但10， 则模1可以抵制模2的竞争，并建立起振荡，此时 1将不随时间的推移而趋于零。在这种情况下，I1(s)=0， I2(s)= 2/ 2就是不稳定解讨论第四组稳态解的稳定性。将(7.2.30-3
5、1)代入(b1)写成矩阵形式:式中为稳定矩阵（b2）做线性变换使矩阵H对角化，使(b2)变为有如果10 20 则当t 时，分别有1 0 2 0。 因为1 、2是1和2的线性组合，所以有1 0， 2 0，也即I1(s)和I2(s)是稳定的。特征值式中为使1, 2B， 即A2B2 得这就是稳定性的判据(7.2.33)2、 C1， 10, 20， 不满足 ，即有稳态解，但不稳定，要产生强烈的竞争，结果必定出现模抑制。强耦合用条件来判断第四组稳态解的稳定性(7.2.30)I1(s)和I2(s)有正解只有两种可能:1、 C0 ，20 ，因此两个模都可能建立稳定振荡。弱耦合C=1时1221= 12 ，方程
6、(7.2.28)和(7.2.29)表示在以I1、 I2为坐标轴的平面上是互相平行的两条直线。在这些线上任意点所表示的强度组合都是稳定的。中性耦合。稳态解为表7-2 双模方程稳定解的条件中性耦合弱耦合C1强耦合C=0，无耦合7.2.3 三模振荡与模式锁定在三个模式振荡时，振幅方程(7.2.17)和频率方程(7.2.18) 为：符合条件式(7.2.14)的：当n=1时，只有6项，111、122、133、 221、 232、 331， 其中，除12320外，其他组合位相的 1均为零。当n=2时，有7项，其中2123=23210。 当n=3时，有6项，其中32120。27项(7.2.34)(7.2.3
7、5)从上式可见,这些非零的组合项并不是无关的,它们可以用一个变量来表示(7.2.9)因此方程式(7.2.34)和式(7.2.35)的右边第二项可以分成组合位相等于零的项和组合位相不等于零的项。于是得到(7.2.36）无量纲光强(7.2.43)式中(7.2.37）(7.2.38）(7.2.39）(7.2.40）(7.2.41）(7.2.42）为频率自推斥(n=m)和交叉牵引或推斥系数由于11=1 ，所以上式可以具体地写成可见，右边第一项1是频率为1振荡模的线性净增益，第二项是自饱和项，12和13为互饱和项。最后一项为1、2 、3三个模之间的相互作用引起的饱和效应，通常称它为组合调效应。(7.2.
8、36）式(7.2.39)每一项的物理含意是： 右边第二项1为频率牵引项 第三项由三项组成11=1为自推斥项，12和13是由于互饱和效应引起的频率牵引或推斥效应。 第四项为组合调效应引起的频率推斥。(7.2.39）组合位相可随时间缓慢地变化，按式(7.2.36) (7.2.41)，各个纵模的振幅和频率达到稳定的数值后还会以频率 波动(7.2.43)即基本上以即基本上以相邻纵模差频相邻纵模差频(2-1)和和(3-2)的差拍频率波动的差拍频率波动这样运行的多纵模激光器各纵模间的频率和位频率和位相没有确定的关系相没有确定的关系(7.2.44)作为各个纵模的叠加，合成瞬时光强随时间作无规的波动，如图所示
9、。在这种情况下，接收器测量到的光强在这种情况下，接收器测量到的光强(它是它是在接收器响应时间之内的平均值）为各纵在接收器响应时间之内的平均值）为各纵模强度的简单求和模强度的简单求和(即即非相干叠加非相干叠加)。如果纵模数为N，且各纵模强度相等，即En=E0， 则总强度为如果采取某种措施，使振荡着的N个纵模互相关联，就是说，设频率等间隔分布，并有固定的相邻纵模位相差，即对所有的n都有各纵模的相干叠加，瞬时光强形成了周期性脉冲序列，如图脉冲的峰值光强比自由振荡的总强度提高了N倍，即并且脉冲宽度变窄，因此稳定振荡的多模激光器当各纵模频率成等间隔分布并有固定位相关系时，将形成时域中的等间隔的脉冲序列，
10、输出这种现象称为锁模。发生锁模的条件可归纳为(7.2.45)实现锁模条件将式(7.2.39)(7.2.41)代入式(7.2.44) ，并考虑 到 ， 可得(7.2.46)式中AB=(7.2.50)于是锁模条件可表示为：可见实现锁模必须满足条件(7.2.51)(7.2.52)三模自锁当将模式E2调谐到谱线中心的频率时，E1 和E3模对称分布在中心两侧，因而E 1E3，2-13-2由表7-1可以看出这时2=0，2=0， 1=-3，1=-3，由(7.2.19)和(7.2.42)知：21=-23。 可以得出两种自锁状态对于其中两个模（如E1 和E2 ）的相位1和1，适当选择初始位相，使得于是激光场随时
11、间的变化可表示为上式即表示锁模脉冲，其周期为(7.2.54)(7.2.55)对于第一种自锁状态，有这样三个模叠加也能得到周期性脉冲,如图的虚线曲线。对于第二种自锁状态，有(7.2.56)后者峰值较前者为低，原因是前者是三个模同位相叠加，而后者并不完全同位相。三模干涉叠加的 脉冲波形总的说来，若E2模愈是调谐在靠近谱线的中心频率，多纵模的强度愈大，非线性效应愈强，则愈容易锁模。 利用激活介质自身的非线性达到自锁，最初在He Ne激光器中被观察到，之后又在CO2激光器、Ar+激光器以及固体激光器中观察到。但这种自锁是不容易的，要锁定许多纵模使之达到实用要求就更不容易。自锁往住不稳定，各种干扰常使自锁条件破坏并使锁定状态瓦解。因此，自锁实用价值不大。对于要求锁模运转的激光器，通常都是在激光器谐振腔内人为地放置调制元件，进行强迫锁模（又分为主动锁模和被动锁模）
