《傅立叶变换的由来》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅立叶变换的由来（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、傅立叶变换的由来有关傅立叶变换,无论是课本还是在网上可以很容易找到有关傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是某些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难可以从感性上得到理解,近来,我偶尔从网上看到一种有关数字信号解决的电子书籍,是一种叫Stven . mit,Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述有关离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟人们分享,但愿诸多被傅立叶变换困惑的朋友可以得到一点启发,这电子书籍是免费的,有爱好的朋友也可以从网上下载下来
2、看一下，R地址是:要理解傅立叶变换,的确需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,固然，也需要一定的高等数学基本，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基本公式。二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是JeanBaptie JoshFori（176-183),Foui对热传递很感爱好,于18在法国科学学会上刊登了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断：任何持续周期信号可以由一组合适的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上出名的数学家拉格朗日（Jo Lou
3、isLagrange, 136-1813)和拉普拉斯（Piere Sion daplac， 1749-187），当拉普拉斯和其他审查者投票通过并要刊登这个论文时,拉格朗日坚决反对，在近0年的时间里,拉格朗日坚持觉得傅立叶的措施无法表达带有棱角的信号,如在方波中浮现非持续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,回绝了傅立叶的工作,幸运的是，傅立叶尚有其他事情可忙,她参与了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而始终在逃避。直到拉格朗日死后这个论文才被刊登出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一种带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表达它,逼近
4、到两种表达措施不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来替代本来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来替代呀,分解信号的措施是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简朴地解决本来的信号。用正余弦来表达原信号会更加简朴，由于正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一种正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位也许发生变化,但是频率和波的形状仍是同样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表达。三、傅立叶变换分类 根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:3.1非周期性持续信号:傅立叶变换(uieransm）3.周期
5、性持续信号：傅立叶级数(o Seies).3 非周期性离散信号：离散时域傅立叶变换(DiscreteTime Foue Trasfrm）3. 周期性离散信号:离散傅立叶变换（iscrete ouer rnsfor)下图是四种原信号图例:这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的长度是无穷大的,我们懂得这对于计算机解决来说是不也许的,那么有无针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。由于正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一种长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难,措施是把长度有限的信号表达到长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表达,这样
6、，这个信号就可以被当作是非周期性离散信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的措施。尚有，也可以把信号用复制的措施进行延伸,这样信号就变成了周期性离散信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换措施进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于持续信号我们不作讨论，由于计算机只能解决离散的数值信号，我们的最后目的是运用计算机来解决信号的。但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表达,这对于计算机来说是不也许实现的。因此对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DT)才干被合用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才干被解决,对于其他的变换类型只有在数学演算中才干用到，在计算机面前我们只能用
7、DFT措施,背面我们要理解的也正是D措施。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了可以用数学措施来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或如何得到是无意义的。每种傅立叶变换都提成实数和复数两种措施，对于实数措施是最佳理解的,但是复数措施就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,但是,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，因此我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换,在背面我们会先讲讲有关复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基本上再来理解复数傅立叶变换。尚有，这里我们所要说的变换(trasfor)虽然是数学意义上的变换,但
8、跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号解决(SP)，有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，容许输入和输出有多种的值,简朴地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的措施。四、傅立叶变换的物理意义傅立叶变换是数字信号解决领域一种很重要的算法。要懂得傅立叶变换算法的意义,一方面要理解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表白:任何持续测量的时序或信号,都可以表达为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法运用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立
9、叶变换算法相应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加解决,这样就可以将单独变化的正弦波信号转换成一种信号。因此,可以说，傅立叶变换将本来难以解决的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱)，可以运用某些工具对这些频域信号进行解决、加工。最后还可以运用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表达到正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如持续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想措施仍然具有典
10、型的还原论和分析主义的特性。”任意“的函数通过一定的分解,都可以表达为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充足研究而相对简朴的函数类：、傅立叶变换是线性算子，若赋予合适的范数，它还是酉算子;2、傅立叶变换的逆变换容易求出,并且形式与正变换非常类似;3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变杂的卷积运算为简朴的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简朴手段；4、离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂鼓励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;、出名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复变
11、换可以运用数字计算机迅速的算出,其算法称为迅速傅立叶变换算法(FF）。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号解决、概率、记录、密码学、声学、光学等领域均有着广泛的应用。五、图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈限度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，相应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边沿区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,相应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一种能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表达的谱。从纯正的数学意义上看，傅立叶变换是将一种函数转换为一系列周
12、期函数来解决的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换此前,图像(未压缩的位图)是由对在持续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合,我们习常用一种二维矩阵表达空间上各点,则图像可由zf(x,)来表达。由于空间是三维的,图像是二维的，因此空间中物体在另一种维度上的关系就由梯度来表达，这样我们可以通过观测图像得知物体在三维空间中的相应关系。为什么要提梯度？由于事实上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,
13、就是图像梯度的分布图，固然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一相应的关系,虽然在不移频的状况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，事实上图像上某一点与邻域点差别的强弱,即梯度的大小，也即该点的频率的大小(可以这样理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲，梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观测傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们一方面就可以看出，图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的(由于各点与邻域差别都不大,梯度相对较小）,反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是锋利的，边界分明且边界两边像素差别较大的。对频
14、谱移频到原点后来，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,尚有一种好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,例如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。此外我还想阐明如下几点： 1、图像通过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表白: 若变换矩阵n原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区）。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系
15、数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换自身性质决定的。同步也表白一股图像能量集中低频区域。 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮，平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大阐明低频的能量大（幅角比较大)。六、一种有关实数离散傅立叶变换(al DT)的例子先来看一种变换实例,一种原始信号的长度是1，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一种长度为N的信号可以分解成2+1个正余弦信号,这是为什么呢？结合下面的个正余弦图,我想从计算机解决精度上就不难理解,一种长度为N的信号，最多只能有N/2+个不同频率,再多的频率就超过了计算机所能所解决的精度范畴),如下图:9个正弦信号:9个余弦信号：把以上所有信号相加即可得到原始信号,至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的,我们先不急,先看看对于以上的变换成果，在程序中又是该怎么表达的，我们可以看看下面这个示例图:上图中左边表达时域中的信号,右边是频域信号表达措施,从左向右表达正向转换(Forwar T），从右向左表达逆向转换（Invere DFT)，用小写表达信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X表达每种频率的幅度值数组, 由于有N+1种频率，因此该数组长度为N/21,数组又分两种,一种是表达余弦波的不同频率幅度值：Re ,另一种是表达正弦波的不同频率幅度值:I X，e是实数(el）
