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1、 k k a b 11.2空间向量的数量积运算学习目标1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题知识点一 空间向量的夹角 1定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OAa，OBb，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作 a，b2范围：0a，b.特别地，当a，b 时，ab.2思考当a，b0 和a，b 时，向量 a 与 b 有什么关系？答案 当a，b0 时，a 与 b 同向；当a，b 时，a 与 b 反向知识点二 空间向量的数量积已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cos a，b叫做 a，b 的数
2、量积，记作 ab.定义性质运算律即 ab|a |b|cosa，b规定：零向量与任何向量的数量积都为 0. ab a b0a aa2|a |2(a) b(a b)，R.a bb a(交换律)a(bc)a ba c(分配律).思考 1 向量的数量积运算是否满足结合律？答案 不满足结合律，(ab)ca(bc)是错误的思考 2 对于向量 a，b，若 a bk，能否写成 a 或b ？ 答案 不能，向量没有除法知识点三向量 a 的投影1如图(1)，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进b而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c|a
3、|cosa，b ，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影|b|向量类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图(2) 2如图(3)，向量 a 向平面 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线，垂足分别为 A，B， 得到AB，向量AB称为向量 a 在平面 上的投影向量这时，向量 a，AB的夹角就是向量 a 所在直线 与平面 所成的角1向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的夹角( )2若 a b0，则 a0 或 b0.( )3对于非零向量 b，由 a bb c，可得 ac.( )4若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a b|a|b |.( )一、数量积的计
4、算例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求： (1)EF BA； (2)EF BD； (3)EF DC； (4)AB CD.反思感悟 求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入 a b|a|b|cosa，b求解跟踪训练 1 (1) 已知 a3p2q，bpq，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 ab 等于( A1 B2C3 D4)1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的
5、中点，则AE BD_.二、利用数量积证明垂直问题例 2 如图所示，在正方体 ABCDA B C D 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC 的中点，求证：A O平面 GBD.反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可跟踪训练 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD.求证：PABD.三、用数量积求解夹角和模例 3 如图，在直三棱柱
6、ABCA B C 中，CACB1，BCA90，棱 AA 2，点 N 为 AA 的中点(1)求BN的模； (2)求 cosBA ，CB 的值 1 1 1 ab|a|b|1 1 1 11 1 1 1 1 11 11 11 11 1延伸探究1(变结论)本例中条件不变，求BN与CB 夹角的余弦值2(变条件)本例中，若 CACBAA 1，其他条件不变，求异面直线 CA 与 AB 的夹角反思感悟 求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式 cosa，b 求 cosa，b，进而确定a，b(2)求线段长度(距离)：取此线段对应的向量； 用其他已知夹角和模的向量表示该向量；利用|a| a2，计算出|a|，
7、即得所求长度(距离) 跟踪训练 3 (1)已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1，设ABa，ADb，AAc，则AB ，BD 等于( )A30C90B60D120(2)已知在平行六面体 ABCDA B C D 中，AA ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是 60，则 AC 的长 为( )A6C3B. 6D. 31.如图所示，在正方体 ABCDA B C D 中，下列各组向量的夹角为 45的是( ) A.AB与A C B.AB与C A C.AB与A D D.AB与B A1 1 1 11 1 11 1 11 1 1 11 1 11 11 12设 ABCDA B C D 是棱长为 a 的正方体，
8、则有( ) A.AB C Aa2 C.BC A Ca2 B.AB A C 2a2 D.AB C A a2 3已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC ，则 cosOA，BC的值为( )31 2 1A. B. C D02 2 24若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_. 5.如图，在长方体 ABCDA B C D 中，设 ADAA 1，AB2，P 是 C D 的中点，则B C与A P 所成角的大小为 _，B C A P_.1知识清单：(1)空间向量的夹角、投影(2)空间向量数量积、性质及运算律2方法归纳：化归转化3常见误区：空间向量的数量积的三点注意
9、 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当 a0，由 a b0 可得 ab 或 b0.1已知向量 a 和 b 的夹角为 120，且|a|2，|b|5，则(2ab) a 等于( )A12C4B8 13 D1312已知两异面直线的方向向量分别为 a，b，且|a |b|1，ab ，则两直线的夹角为( )2A30 B601 21 21 21 21 1 1 11 1 11 11 1 11 1 1 11 C120 D1503已知 e ，e 为单位向量，且 e e ，若 a2e 3e ，bke 4e ，ab，则实数 k 的值为( )A6 B6 C3 D3 4已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长
10、都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE AF的值为( )Aa21 1 3B. a2 C. a2 D. a2 2 4 45已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零 的是( ) A.PC与BD C.PD与AB B.DA与PB D.PA与CD6已知|a |13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.7已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b_. 8如图，在正四棱台 ABCDA B C D 中，O，O 分别是对角线 AC，A C 的中点，则AO，OC_， AO，O C _
11、，OO ，A B _.9.如图所示，在正方体 ABCDA B C D 中，求异面直线 A B 与 AC 所成的角1 1 1 11 1 1 11 110.如图，正四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a.(1)用向量法证明 BDPC； (2)求|ACPC|的值 11设平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DBDC2DA)(ABAC)0， ABC 是( )A直角三角形 C等腰直角三角形B等腰三角形 D等边三角形12已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且 AB2，CD1，则 a 与 b 所成的角是( ) A30 B45 C60 D9013已知空间向量 a，b，c 满足 abc0，|a|3，|b |1，|c|4，则 a bb cc a 的值为( )A13 B5 C5 D13 14. 已知棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 的上底面 A B C D 的中心为 O ，则AO AC的值为_ 15等边ABC 中，P 在线段 AB 上，且APAB，若CP ABPA PB，则实数 的值为_16.如图所示，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC，线段 BDAB，且 AB7，ACBD24，线段 BD 与 所成 的角为 30，求 CD 的长
