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1、赣州一中赣州一中 李明李明11美丽的勾股树美丽的勾股树 赵爽弦图赵爽弦图 相传相传25002500年前年前, ,古希腊有一位非常古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯著名的数学家毕达哥拉斯, ,他善于观察他善于观察和思考问题和思考问题, ,经常从生活中寻找一些数经常从生活中寻找一些数学问题学问题, ,有一次有一次, ,他到朋友家做客他到朋友家做客, ,发现发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系三角形三边的某种数量关系. .2.图中正方形图中正方形A、B、C所围成的等所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊腰直角三角形三边之间有什么特殊关
2、系？关系？1.你能发现图中三个正方形你能发现图中三个正方形A、B、C的面积之间有何关系吗？的面积之间有何关系吗？ 发现发现: : 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.BCAA AB BC C讨论交流讨论交流如何计算正方形如何计算正方形C的面积？的面积？ 如图，每个小方格的边长均为如图，每个小方格的边长均为1.（1）计算图中正方形）计算图中正方形A、B、C的面的面积积.（2）图中正方形）图中正方形A、B、C面积之间面积之间有何关系？有何关系？（3）图中正方形）图中正方形A、B、C所围成的所围成的直角三角形三边之间有什么关系？直角三角形三边之间
3、有什么关系？A AB BC C C CA AB BC C用了用了“割割”的方的方法法用了用了“补补”的方的方法法 如图，每个小方格的边长均为如图，每个小方格的边长均为1，（1）计算图中正方形）计算图中正方形A、B、C的面积的面积.（2）图中正方形）图中正方形A、B、C面积面积之间有何关系？之间有何关系？（3）图中正方形）图中正方形A、B、C所围所围成的直角三角形三边之间有什么成的直角三角形三边之间有什么关系？关系？ 发现发现: : 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.A AB BC CabcA AB BC Cacb猜想猜想:如果直角三角形的两直角边
4、长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为斜边为c ，那么那么a2 2+ +b2 2= =c2 2 动动 画画A AB BC C C CA AB BC Cbababa bacccc可得可得: a2 + b2 = c2如何利用下图证明如何利用下图证明a2 2+ +b2 2= =c2 2？bac如何利用右图证明如何利用右图证明a2 2+b+b2 2=c=c2 2？感悟：感悟：面积法证题中常用两种不同的方法表示同一图形的面积面积法证题中常用两种不同的方法表示同一图形的面积.可得可得: a2 + b2 = c2图图1-11-1三三国国时时期期的的数数学学家家赵赵爽爽在在注注解解周周髀髀算算
5、经经给给出出的的，被被称称为为“赵赵爽爽弦弦图图”. .图图1-21-2是是在在北北京京召召开开的的20022002年年国国际际数数学学家家大大会会（TCMTCM20022002）的的会会标标，其其图图案案正是正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. . 图1-1图1-2C C 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那么那么 直角三角形两直角边的平方和等于斜边直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方abc 勾勾 股股 定定 理理 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的
6、上半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股“. .我国古代学者把直角三角形较短的我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”. .勾勾股股毕达哥拉斯毕达哥拉斯发现了勾股定理后高兴异常，命令他的发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做理又叫做“百牛定理百牛定理”勾股定理流传最广的证明载于勾股定理流传最广的证明载于欧几里欧几里德德（Euclid，是公元前三百年左右的人）的，是公元前三百年左右的人）的几何几
7、何原本原本中，欧几里德在编著中，欧几里德在编著几何原本几何原本时，认为这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现现1955年希腊发年希腊发行的印有勾股行的印有勾股定理图案的定理图案的 邮票邮票 百百 牛牛 定定 理理以以刘徽刘徽的的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明为代表，证明
8、不需用任何数学符号和不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明无字证明”. . 青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出朱入朱入朱朱出出 证法欣赏证法欣赏 证法欣赏证法欣赏在印度、阿拉伯世在印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一界和欧洲出现的一种拼图证明种拼图证明. aabbcc美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德的证法，被称为的证法，被称为“总统证法总统证法”. 如图，梯形由三个直角
9、三角形组合而成，利用面积如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：公式，列出代数关系式得：化简为：化简为：意大利著名意大利著名画家达画家达芬奇芬奇的证法：的证法： 证法欣赏证法欣赏据传是当年据传是当年毕达哥拉斯毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明发现勾股定理时做出的证明. 将将4个全等的直角三角形拼成边长为个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形的正方形ABCD，使中间留下边长使中间留下边长c的一个正方的一个正方形洞画出正方形形洞画出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所所示的位置中，于是留下了边长分别为示的位置中，于是留下了边长分别为a与与b的两的两个正方
10、形洞则图个正方形洞则图1和图和图2中的白色部分面积必中的白色部分面积必定相等，所以定相等，所以c2=a2+b2.图图1图图2 证法欣赏证法欣赏abcCAB已知已知:在在RtABC中，中，C=90. 若若a = 5，b = 12，则，则c= ； 若若c = 10，b = 8，则，则a= ； 若若c = 25 ，a = 24 ，则，则b= . 结论变形结论变形 变变 式式若若a ：c = 3 ：5 ，b= 2 ，则，则 a = , c= . 若一个直角三角形的三边长分别为若一个直角三角形的三边长分别为8，15， x，则，则x . 感感 悟悟 分类讨论是一种重要的解题方法分类讨论是一种重要的解题方法
11、 当堂检测当堂检测 1.如图1，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.2.如图2，在RtABC中，C=90， BC= . 3.若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长（ ）.图1图2 当堂检测当堂检测 5.5.根据根据图图4 4及提示及提示证证明勾股定理明勾股定理. .【提示】:三个三角形的面积和 = 一个梯形的面积.图3图4 拓展提高拓展提高 图1图2通过这节课的学习，你学到什么通过这节课的学习，你学到什么知识？你有哪些方面的感悟知识？你有哪些方面的感悟?你还有哪你还有哪些疑惑呢些疑惑呢? 课课 堂堂 小小 结结（1）课本）课本P691，3布置作业布置作业 分层发散分层发散（2 2）通过查阅资料、上网，阅读了解更多有）通过查阅资料、上网，阅读了解更多有 关勾股定理的历史和证明方法关勾股定理的历史和证明方法
