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1、从“的个位数必是0”谈起“对任意的自然数n，的个位数必是0.” 这个结论可用分解因式，模5的剩余类以及数学归纳法等多种方法给出证明. 运用这一结果，稍加推广，可以得出几个有用的推论，解决中学代数教学中一些问题.推论1 设n，k是两个自然数，且k = 4q + r（q是非负整数，r是自然数，且0r4），则和有相同的个位数字.证 由上边的结果，可以假定（p是一个自然数），两边同乘以得：. 则与有相同的个位数，与也有相同的个位数，与也有相同的个位数.所以和有相同的个位数.推论2 设n，k是两个自然数，且k = 4q + r（nq，q是非负整数，r是自然数，且0r4），则和有相同的个位数字(其中s、t
2、是自然数，且）.证 因为 与有相同的个位数，与有相同的个位数，由推论1，和有相同的个位数，所以和有相同的个位数.根据推论1、2，把所有自然数的正整数k次幂的个位数，可以用它的个位数的r次幂的个位数来表示（其中k = 4q + r），这样，所有自然数的正整数次幂的个位数可以全包括在下列表内：的个位数表n的个位数k012345678910123456789201496569413018745632940161656161运用推论1、2以及表，可以解决一些问题.例1 求证能被10整除.证 53 = 413+1，33 = 48+1，由推论1知与有相同的个位数，与有相同的个位数，故与的个位数都是=3.
3、能被10整除.例2 k是自然数且k不是4的倍数，求证：能被10整除.证 由题设k = 4q + r（q是非负整数，r是自然数，且即r = 1、2、3），再由推论1得：分别与的个位数相同. 与的个位数相同. = 1时， = 10能被10整除. = 2时， = 30能被10整除. = 3时， = 100能被10整除. k是自然数且k不是4的倍数，能被10整除.例3 证明方程无正整数解.证 由“的个位数表”可以看出，每一个正整数的4次幂的个位数只能是0、1、5、6中的一个，但128644的个位数是4，故无正整数解.例4 求证能被10整除.证 由推论2，以及“的个位数表”知：与个位数相同，即是5；与个位数相同，即是1；与个位数相同，即是6；而5 + 1 = 6 10，所以与的个位数相同. 即能被10整除.本文发表于陕西师范大学数学系主办的中学数学教学参考1982年第3期p1314，发表时署名：铜川市红土中学辛苦、安康地区师范学校王凯（笔名）。
