人教版九下数学 中考专题复习 专题2 新定义型问题1. 我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q 是正整数，且 p≤q），在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分解．并规定：Fn=pq．例如 12 可以分解成 1×12，2×6 或 3×4，因为 12-1>6-2>4-3，所有 3×4 是 12 的最佳分解，所以 F12=34．(1) 如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 m，总有 Fm=1；(2) 如果一个两位正整数 t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中 Ft 的最大值．2. 【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 Ax1,y1 和 Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=∣x1-x2∣+∣y1-y2∣．(1) 【数学理解】（1）①已知点 A-2,1，则 dO,A= ．②函数 y=-2x+40≤x≤2 的图象如图①所示，B 是图象上一点，dO,B=3，则点 B 的坐标是 ．（2）函数 y=4xx>0 的图象如图②所示．求证该函数的图象上不存在点 C，使 dO,C=3．（3）函数 y=x2-5x+7x≥0 的图象如图③所示，D 是图象上一点，求 dO,D 的最小值及对应的点 D 的坐标．(2) 【问题解决】某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④所示，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）3. 如图（1）所示，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1) 概念理解：如图（2）所示，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，则四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．(2) 性质探究：如图（1）所示，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC⊥BD．试求证 AB2+CD2=AD2+BC2．(3) 解决问题：如图（3）所示，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE，已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长．4. 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550 年 ∼1617 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707 年 ∼1783 年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若 ax=N（a>0 且 a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，比如指数式 24=16 可以转化为对数式 4=log216，对数式 2=log525，可以转化为指数式 52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：logaM⋅N=logaM+logaNa>0,a≠1,M>0,N>0．理由如下：设 logaM=m，logaN=n，则 M=am，N=an， ∴M⋅N=am⋅an=am+n．由对数的定义得 m+n=logaM⋅N，又 ∵m+n=logaM+logaN， ∴logaM⋅N=logaM+logaM．根据阅读材料，解决以下问题：(1) 将指数式 34=81 转化为对数式： ；(2) 求证 logaMN=logaM-logaNa>0,a≠1,M>0,N>0；(3) 拓展运用：计算 log69+log68-log62= ．5. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数 a，b，c，用 Ma,b,c 表示这三个数的平均数，用 mina,b,c 表示这三个数中最小的数．例如：M1,2,9=1+2+93=4，min1,2,-3=-3，min3,1,1=1．请结合上述材料，解决下列问题：(1) ① M-22,22,-22= ； ② minsin30∘,cos60∘,tan45∘= ；(2) 若 M-2x,x2,3=2，求 x 的值；(3) 若 min3-2x,1+3x,-5=-5，求 x 的取值范围．6. 我们规定，以二次函数 y=ax2+bx+c 的二次项系数 a 的 2 倍为一次项系数，一次项系数 b 为常数项构造的一次函数 y=2ax+b 叫做二次函数 y=ax2+bx+c 的“子函数”，反过来，二次函数 y=ax2+bx+c 叫做一次函数 y=2ax+b 的“母函数”．(1) 若一次函数 y=2x-4 是二次函数 y=ax2+bx+c 的“子函数”，且二次函数经过点 C3,0，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2) 若“子函数”y=x-6 的“母函数”的最小值为 1，求“母函数”的函数解析式；(3) 已知二次函数 y=-x2-4x+8 的“子函数”图象与 x 轴、 y 轴交于 C，D 两点，P 点在直线 CD 上方的抛物线上，求 △PCD 的面积的最大值．7. 对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点．如果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1，x2，且 x1<10,a≠1,b>0 表示 a，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：logaan=n，logNM=logaMlogaNa>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0．例如：log223=3，log25=log105log102，则 log832= ．13. 阅读材料：设 a=x1,y1，b=x2,y2，如果 a∥b，则 x1⋅y2=x2⋅y1，根据该材料填空，已知 a=4,3，b=8,m，且 a∥b，则 m= ．14. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形，根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M，N 的坐标分别为 0,1，0,-1，P 是二次函数 y=14x2 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y=-1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形，其中正确的是 ．（填序号）15. 如图所示，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号 0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为 1,2,5，点 B 的坐标可表示为 4,1,3，按此方法，则点 C 的坐标可表示为 ．16. 阅读下面的材料：如果函数 y=fx 满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，（1）若 x1fx2，则称 fx 是减函数．例题：证明函数 fx=6xx>0 是减函数．证明：设 00，x1x2>0． ∴6(x2-x1)x1x2>0．即 fx1-fx2>0． ∴fx1>fx2． ∴ 函数 fx=6xx>0 是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数 fx=1x2+xx<0，f-1=1(-1)2+-1=0，f-2=1(-2)2+-2=-74．(1) 计算：f-3= ，f-4= ；(2) 猜想：函数 fx=1x2+xx<0 是 函数（填“增”或“减”）；(3) 请仿照例题证明你的猜想．17. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．(1) 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 △ABC 的角平分线，E，F 分别是 BD，AD 上的点．求证：四边形 ABEF 是邻余四边形．(2) 如图 2，在 5×4 的方格纸中，A，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF，使 AB 是邻余线，E，F 在格点上．(3) 如图 3，在（1）的条件下，取 EF 中点 M，连接 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N．若 N 为 AC 的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线 AB 的长．18. 定义：我们把二次函数 y=ax2+bx+c 和 y=-ax2+bx-c 称为一对友好函数，并称函数 y=ax2+bx+c 是函数 y=-ax2+bx-c 的友好函数，函数 y=-ax2+bx-c 也是函数 y=ax2+bx+c 的友好函数．(1) 请你写出一对友好函数；(2) 若函数 y=2x2+bx+c 与它的友好函数的图象的顶点重合，求 b 和 c 的值；(3) 如图所示，若函数 y=-x2+bx+c 的图象的顶点 P 是抛物线 y=14x+12 第一象限上的一个动点，且与 x 轴交于点 Ax1,0 和点 Bx2,0，且 x1