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1、北师大版八年级下册数学压轴题专题1小敏思考解决如下问题：原题：如图 1,点P, Q分别在菱形ABCD的边BC, CD 上，/PAQ=/B,求证：AP=AQ.（1）小敏进行探索，若将点P, Q的位置特殊化；把/ PAQ绕点A旋转得到/ EAF,使AELBC,点E, F分别在边BC, CD上，如图2.此时她证明了 AE=AF,请你证明.（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3,作AEBC, AF CD,垂足分别为E, F.请你继续完成原题的证明.（3）如果在原题中添加条件：AB=4, / B=60 ,如图1,请你编制一个计算题 （不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次
2、，给不同的得分）.方法：（1）(2)1 (1)证明：二.四边形ABCD是菱形，. /B+/ C=180 , /B=/D, AB=AD , . /EAF=/B, ./EAF+/C=180 , AEC + /AFC=180 , v AEXBC, . CD,在AAEB和AAFD中，ZAEB=ZAFDZB=ZD ,AEBAAFD, . AE=AF ;AB 二 AD(2)证明：由(1)得，/ PAQ= / EAF= / B, AE=AF , . . / EAP= / FAQ , 在AAEP和AAFQ中，ZAEP=ZAFQ=90AE=AF, AEPAAFQ, . AP=AQ ;ZEAP=ZFAfi(3)解
3、：已知：AB=4, /B=60,求四边形APCQ的面积，解：连接AC、BD交于O, =/ABC=60 , BA=BC , ABC为等边三角 形，v AEXBC, a BE=EC,同理，CF=FD,四边形AECF的面积蒋X四边形ABCD的面积，由(2)得，四边形APCQ的面积二四边形AECF的面积，OA=yAB=2 , OB=AB=2限一四边形 ABCD 的面积x2X2X4=8/5,一四边形APCQ的面积=电.2问题：如图，在RtAABC中，AB=AC , D为BC边上一点（不与点B, C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BC, DC, EC之间满足的等量关系式
4、为 ;探索：如图，在 RtAABC 与 RtADE 中，AB=AC , AD=AE , ADE 绕 点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD, BD, CD之间满足的等量 关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形 ABCD中，/ ABC=/ACB=/ADC=45 .若BD=9,CD=3,求AD的长.方法：（1）(2)2解：(1) BC=DC+EC,理由如下：=/ BAC=/DAE=90 ,丁. / BAC - / DAC= / DAE - / DAC ,即 / BAD= / CAE ,在ABAD和4CAE中，AB=AC/BAD=/CAE,BADACAE, . .BD=CE, . . BC
5、=BD+CD=EC+CD ,AD=AE(2) BD2+CD2=2AD2,理由如下：连接 CE,由(1)得，BADCAE, .BD=CE, /ACE=/B,/ DCE=90, . CE2+CD2=ED2,在 RtADE 中，AD2+AE2=ED2,又 AD=AE , . . BD2+CD2=2AD2;(3)作 AELAD,使 AE=AD ,连接 CE, DE, / BAC+/CAD= / DAE+/CAD ,即 / BAD=/CAD ,在 BAD与乙CAE中，AB=AC/BAD =/CAE, /.A BADACAE (SAS) , . BD=CE=9,/ ADC=4 5 , AD=AE/EDA=
6、45 ,丁. / EDC=90 , 口=也/02=6M,/ DAE=90 ,3如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形 DEFG,连接BF,点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H,连接 CM .(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45,此时点F恰好落在线段 CD上，如图2,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说明理由；(3)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90,此时点E、G恰好分别 落在线段AD、CD上，如图3,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说 明理由.方法：(1)(2)3解：（1）如图
7、 1,结论：CM=EM , CMXEM.CBG D理由：AD/EF, AD/BC, .BC/EF, . . / EFM= / HBM ,在AFME和ABMH中，NEHM= NHEHH=BM ,NFHE = NBMH.FMEABMH , . HM=EM , EF=BH , v CD=BC, .CE=CH, v Z HCE=9 0, HM=EM , . CM=ME , CM LEM.(2)如图2,连接BE,丁四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，./ FDE=45 , / CBD=45 , 点B、E、D在同一条直线上，=/ BCF=90 , / BEF=90 , M为AF的中百/、, CMAF,
8、 EM=LAF, a CM=ME ,/ EFD=45 , . ./EFC=135, 22. CM=FM=ME, .MCF=/MFC, / MFE= / MEF , ./ MCF+Z MEF=135 ./CME=360 - 135 - 135 =90,CMXME.(3)如图3,连接DF, MG ,作MN LCD于N,在AEDM和AGDM中，gDGNMDE二Nroc, .EDMWGDM,DM=DM .ME=MG, /MED=/MGD, M 为 BF 的中点，FG/MN/BC, .GN=NC,又 MN LCD, . MC=MG , .MD=ME, /MCG=/MGC,/ MGC + /MGD=180
9、 , ./ MCG + /MED=180 , ./ CME+/CDE=180 ,vZ CDE=90 ,丁. / CME=90 ,丁(1)中的结论成立.4(1)操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC,其中AB=AC ,在 ABC的外侧分别以AB, AC为腰作了两个等腰直角三角形 ABD, ACE ,分 别取BD, CE, BC的中点M, N, G,连接GM, GN.小明发现了：线段 GM 与GN的数量关系是 MG=NG ;位置关系是 MGLNG .(2)类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形 ABC换为一般的锐角 三角形，其中ABAC,其它条件不变，小明发现的上述结论
10、还成立吗？请说 明理由.(3)深入研究：如图，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究.向 ABC的内侧分别 作等腰直角三角形ABD, ACE,其它条件不变，试判断 GMN的形状，并给 与证明.4解：（1）连接BE, CD相交于H,ABD和 ACE都是等腰直角三角 形， .AB=AD, AC=AE , / BAD= / CAE=90 . . / CAD= / BAE , . ACDA AEB （SAS）, .CD=BE, /ADC=/ABE,/BDC+/ DBH= / BDC + /ABD+/ ABE= / BDC+/ABD+/ADC= / ADB + /ABD=90 ,/ BHD=90 ,C
11、D，BE, 点M, G分别是BD, BC的中点，MgX-LcD,同理：NgXXbE, a MG=NG , MGXNG,故答案为：（2）连接CD, BE相交于点H,同（1）的方法得，MG=NG, MGXNG;（3）连接EB, DC,延长线相交于H,同（1）的方法得，MG=NG,同（1） 的方法得， ABEAADC , ./AEB=/ACD , . / CEH + /ECH=/AEH ZAEC+180 -Z ACD /ACE=/ACD 45 +180 /ACD 45 =90, . / DHE=90，同（1）的方法得，MGXNG.5将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AEFG.(1)如图，当点E
12、在BD上时.求证：FD=CD;(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.【分析】(1)先运用SAS判定AEGRtzXFDG,可得DF=AE ,再根据AE=AB=CD ,即可得出CD=DF; (2)当GB=GC时，点G在BC的垂直平分 线上，分两种情况讨论，依据/ DAG=60 ,即可得到旋转角a的度数.【解答】解：(1)由旋转可得，AE=AB , / AEF=/ABC=/DAB=90 ,EF=BC=AD ,./AEB=/ABE,又. / ABE + /GDE=90=/AEB+/DEG,./EDG=/ DEG, .DG=EG, a FG=AG ,又/DGF= /EGA, a AEGR
13、tAFDG (SAS), DF=AE ,又AE=AB=CD , . .CD=DF；(2)如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点 G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交AD 于M,. GC=GB,GHXBC, .四边形 ABHM 是矩形，. . AM=BH=,AD=& AG ,d-bdBGM垂直平分AD,.GD=GA=DA, .ADG是等边三角形，/DAG=60 , 旋转角 a =60;./DAG=60 ,旋转角当点G在AD左侧时，同理可得 ADG是等边三角形，0=360 -60 =300.6如图，在 ABC中，/ ACB=90 , C CAB=30 ,以线段A
14、B为边向外作等边 ABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.【分析】(1)在RtABC中，E为AB的中点，则CE=?AB,1 BE=yAB,得至4/BCE=/EBC=60 .由AEFBEC,得/ AFE= / BCE=60 .又/D=60 ,得/AFE=/D=60 度.所以 FC / BD ,又因为/ BAD=/ABC=60 ,所 以AD/BC,即FD/BC,则四边形BCFD是平行四边形.(2)在RtAABC中，求出BC, AC即可解决问题；【解答】(1)证明：在 ABC 中，/ACB=90 , /CAB=30 , ./ABC=60 .在等边 ABD 中，/ BAD=60 , . / BAD= / ABC=60 . . E 为 AB 的中点，. . AE=BE .又/ AEF= / BEC, .-.AEFA BEC,在 ABC 中，/ ACB=90 , E为 AB 的中点， CE=3AB, BE=ABUI .CE=AE, . EAC=/E
