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1、 竞赛题汇编1 万有引力定律一、 （20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角P=72.0。已知：1AU=1.501011m，引力常量G=6.671011Nm2/kg2，太阳质量mS=1.991030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为 （1）a、b分别
2、为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有SP （2） 设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得 （3） （4） 图1由图1可知，P点的坐标 （5） （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得 （7）根据求根公式可得 （8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 (10) 式中m为彗星的质量以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （11）得 （12） 代入有关数据得 (13) 设P点速度方
3、向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律 （14） SP其中为面积速度，并有 （15）由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得 （16） 图2解法二取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为 （1）其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知 （2）将（2）式代入（1）式可得 （3）以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 （4）在近日点，由（3）式可得（5）将、的数据代入（3）式即得 （6）
4、可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 (7)式中m为彗星的质量以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （8）可得 （9）代入有关数据得 (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有 （11） 根据（8）式，同理可得 （12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据 (13)评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式
5、3分,（12）式1分，（13）式2分(25届)二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高，远地点离地面高，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量，地球半径，地面重力加速度，月球半径。1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率。2、在16小时轨
6、道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小，要把近地点抬高到600，问点火时间应持续多长？3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度约为200，周期分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。二、参考解答：1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）与的算术平均值，即有 (1) 代入数据得km (2) 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 (3) 代入数据得 (4) 椭圆的偏心率 (5)代入
7、数据即得 (6)2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以和分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 (7)式中是地球质量，是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有 (8) 注意到 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 (10) (11)当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有由(11)式并代入有关数据得km/s (12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所
8、以新轨道远地点高度km，但新轨道近地点高度km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为km/s (13)卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为Dt，有 (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得Dt= (约2.5分) (15)这比运行周期小得多.3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 (16 ) 其中 （17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故是恒量.利用远地点处的角动量，得 (18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 (1
9、9) 所以卫星沿轨道运动的周期 (20)由(18)、(19)、(20) 式得 (21)代入有关数据得s (约15小时46分) (22)注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即 若是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有得 从而得代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 (23)这里是卫星绕月轨道半径，是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得 (24)代入有关数据得 (25)（29届）三、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯
10、顶端可超过地球的同步卫星高度（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在012小时及1224小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为处有一卫星
