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1、一元二次方程根的分布(2)的教学设计 苏州市第十中学沈建平 一元二次方程是高中数学中极其重要的内容,这段内容与一元二次不等式,二次函数等内容有着直接而密切的联系。讲解一元二次方程不能不涉及其根的分布。尽管在新教材中,将这段内容列为选学内容。根据我校学生的实际情况,我们决定不仅要讲解这段内容,而且希望达到一定的深度,使学生对这段内容有一个较为全面透彻的理解。 一、对学生已有知识的估计 在初中时,一元二次方程就是数学中的重点和难点内容,学生已经知道了方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,cR)的求解方法。知道了判别式=b2-4ac与方程是否存在实数根的关系,也掌握了一元二次方程根的分布最简单的情
2、况,如判别式和系数a,b,c满足什么条件时,方程有两个正根,两个负根,一正根一负根等。二、一元二次方程的根的分布第二课时的教学设计 第一课时主要是帮助学生回忆、复习初中所学的相关内容,并进行总结归纳,给出一般性的结论。同时,进行变化略作提高。第二课时的教学就是要在第一课时的基础上,进行引伸、提高。考虑到一节课的时间与所讲内容难度,我决定找一个能一题多用的例题,以便提高效率,为此,我先给出了如下一个例题。 例题:例1 求实数m的范围,使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小;(2)有两个实根,且都比1大;(3)有两个实根、,且满足014;(4)至
3、少有一个正根。 选题分析: 第(1)题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识,可以解决此问题。设x1 x2是方程的两实根,则即。但此题又存在一种更具特色的解法。设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线,由题意,抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方,于是f(2)0。即22 +2(m-1)2+2m+60。第二种方法比起第一种方法,在思维上是一种飞跃,它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来,需要很好地掌握两方面的知识,学生初次接触这种方法,部分学生在理解上会产生一定的困难。作为教师要注意到这一点,事先有足够的准备,要作重点讲解。 第(2)、(3)、(4)题都是在第
4、(1)题的基础上,难度逐个递增的小题,这三个小题仅用初中所学知识是不够的,必须把的相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时,容易出现的错误是思考不周,少考虑了一些必须考虑的因素,特别有区间时,区间的端点常常成为盲点,从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的。 关于教学方法,我认为用师生共同讨论的方法较好。如第(3)题,在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后,让学生想想,图该怎样画?由这张图,你能得到怎样的条件组?与已知条件等价吗?这三个小题都有一定的难度,尤其是第4小题,更加困难一些,因此一个学生的回答可能会有缺陷
5、,需要有其他学生补充、纠正,必要时教师应适时引导。本节课给出的第二个例题是:例题2 在下列条件下,分别求出m的取值范围()方程x2-mx+4=0在-1,1 有解:()函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在-1,1 上有交点。设计例题2,是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布,拓展视野;同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的;例题2也是在例题1的基础上的再提高。这个例题的主要解答过程也是由学生回答。三、教学后的反思这节课按照设想完成了。效果如何呢?我布置了如下的几道作业题:.关于X的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数
6、k的取值范围。.已知关于x的方程kx2+1/2kx+k-2=0有两个实根,其中一根在(0,1)之间,另一根在(-1,0)之间,求实数k的取值范围。.关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在-1,1之间,求m的范围。.集合A=(x,y)|y-x2+mx+2,B=(x,y)|x-y+1=0且0x2,若AB,求实数m的取值范围。思考题:.关于实系数的一元二次方程x2+ax+bx=0的两实根,证明()如果|2,|2,那么2|a|4+b且|b|4;()如果2|a|b+4且|b|4,那么|2,|2. 题1和题2和例1中第(1)、(3)题相似,差不多都做对了。第3题与两道例题略有差别,约三分之二的学
7、生做对。第4题需要一定的灵活性才能解决,约三分之一的学生做对。思考题是一道高考题,题目难度大,是给基础扎实,学有余力的学生做的。个别学生能完成。从整个情况看,作业做得不错,基本上实现了教学目的。我认为,在生源比较好的学校,按照上述要求上课,学生是能够接受的。我了解我的学生,我相信他们的实力。在整个一节课上,基本上是学生讲为主,我讲为辅。像例2这样较为困难的问题,我也鼓励学生大胆思考,不怕困难,一个人完不成,讲不透,第二个人、第三个人补充,直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃,学生之间常会因为某个观点的不同而争论,作为教师可能比较辛苦。一方面要控制好整节课的节奏,另一方面又要察言观色,适时地对某些观点作出判断,或与学生一同讨论。我想,如果以后再讲到这一段,这节课会有很大的参考价值。