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1、北师大版 数学 （ 八年级上册） 知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a , b的平方和等于斜边C的平方，即。 2 +82 =。 22 、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a , b , C 有关系。 2 +。 2 =。 2 ,那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足/ + / = 0 2 的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类r正 有 理 数 理数 % / 限小数和无限循环小数实数 负有理数正 举 数 无理数 L 无限不循环小数负无理数2 、无理数: 无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时, 要抓住“ 无限不循环”这一时之，归纳起来有四
2、类：（ 1） 开方开不尽的数， 如J 7 , 啦 等 ；JI（ 2） 有特定意义的数， 如圆周率兀， 或化简后具有兀的数，如一+ 8等；3（ 3） 有特定结构的数， 如 0.等；（ 4） 某些三角函数值， 如 s i n 6 0 0 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（ 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）， 从数轴上看， 互为相反数的两个数所相应的点关于原点对称， 假 如 a与 b互为相反数， 则有 a + b = 0 , a =- b,反之亦成立。2 、绝对值在数轴上，一个数所相应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。零的绝对值是它自身，也可当
3、作它的相反数， 若| a | = a ， 则 a K ） ；若 | a | = a , 则延0 。3 、倒数假 如 a与 b互为倒数， 则 有 a b = l ,反之亦成立。倒数等于自身的数是1 和-1。零没有倒数。4 、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（ 画数轴时， 要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想， 理解实数与数轴的点是一一相应的，并能灵活运用。5 、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根: 一般地， 假如一个正数x的平方等于a , 即 x = a , 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0 。表达方法：记 作
4、“ 无”，读作根号a。性质: 正数和零的算术平方根都只有一个， 零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，假如一个数x的平方等于a,即 x2= a ， 那么这个数x就叫做a的平方根（ 或二次方根） 。表达方法: 正数a 的平方根记做“ 土 JZ”，读 作 “ 正、负根号a ”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数; 零的平方根是零; 负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算, 叫做开平方。r/a 0注意6的双重非负性:a 03、立方根一般地，假如一个数x的立方等于a,即 x = a 那么这个数x就叫做a 的立方根( 或三次方根) 。表达方法: 记作夜性质: 一个正数有一个正的立方根
5、；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：亚 二 = -右 , 这 说 明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较1 、实数比较大小：正数大于零， 负数小于零， 正数大于一切负数; 数轴上的两个点所表达的数，右边的总比左边的大; 两个负数，绝对值大的反而小。2 、实数大小比较的几种常用方法( 1 )数轴比较: 在数轴上表达的两个数，右边的数总比左边的数大。( 2)求差比较：设 a 、b 是实数，a-b0 a b .a b = 0oa = b ,a-b0oa1 oa b. ;a- = 11 o a = b. ;a_ 1 o a 四 。 4 =a 0 )a(a 0)(2) =
6、同= * 0,b 0) 4b = V (a 0,Z? 0)(4) (a0,b0) ( = E ( a 0 , / ? 0 ) )b yb 4b b3 、运算结果若具有“行”形式， 必须满足：(1)被开方数的因数是整数， 因式是整式; ( 2 ) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算( 1 )六种运算: 加、减、乘、除、乘 方 、开方( 2 ) 实数的运算顺序先算乘方和开方, 再算乘除，最后算加减，假如有括号, 就先算括号里面的。( 3 ) 运算律加法互换律 a + b = h + a加法结合律 (a + Z ?) + c = a + S + c)乘法互换律 ab = ba乘法结合
7、律 ab)c = a(bc)乘法对加法的分派律a(b + c) = ab + ac第三章图形的平移与旋转一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移。2 、性质平移前后两个图形是全等图形，相应点连线平行且相等，相应线段平行且相等，相应角相等。二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度， 这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质旋转前后两个图形是全等图形，相应点到旋转中心的距离相等，相应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。第四章四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内， 由不
8、在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于3 6 0 。四边形的外角和定理: 四边形的外角和等于3 6 0 。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ -2）180 ;多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于36 0 。6、设多边形的边数为n ,则多边形的对角线共有妁二 条。从n边形的一个顶点出2发能引（n-3）条对角线， 将n边形提成（n-2）个三角形。二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1 ）平行四边形的对边平行且相
9、等。（ 2）平行四边形相邻的角互补，对角相等(3 ) 平行四边形的对角线互相平分。( 4 ) 平行四边形是中心对称图形, 对称中心是对角线的交点。常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点， 则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点， 并且这条直线二等分此平行四边形的面积。(2 ) 推论: 夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的鉴定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定 理 1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形( 3 ) 定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形(5 ) 定理4: 一组对边平行且
10、相等的四边形是平行四边形4 、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S平 行 四 边 彩 = 底边长X 高= 1 1三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2 、矩形的性质( 1 ) 矩形的对边平行且相等(2)矩形的四个角都是直角( 3 ) 矩形的对角线相等且互相平分( 4 ) 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形; 对称中心是对角线的交点( 对称中心到矩形四个顶点的距离相等)； 对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3、矩形的鉴定(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
11、(2)定 理 1：有三个角是直角的四边形是矩形( 3 ) 定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩 柩 = 长X 宽= ab四、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)菱形的四条边相等，对边平行(2)菱形的相邻的角互补，对角相等(3 )菱形的对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角(4 ) 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形; 对称中心是对角线的交点( 对称中心到菱形四条边的距离相等)；对称轴有两条, 是对角线所在的直线。3 、菱形的鉴定( 1 ) 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形( 2 ) 定 理 1：四边都相等的四边形是菱形(3
12、)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S. = 底边长X 高= 两条对角线乘积的一半五、正方形 (310分)1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2 、正方形的性质(1)正方形四条边都相等，对边平行( 2)正方形的四个角都是直角( 3 )正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角( 4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形; 对称中心是对角线的交点；对称轴有四条, 是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的鉴定鉴定一个四边形是正方形的重要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形, 再证它是菱形。先证它是菱形
13、, 再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为a , 对角线长为bo _ 2 _b2S正 方 形 一 a 2六、梯形(-) 1 、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2 、梯形的鉴定( 1 )定义: 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。( 2) 一组对边平行且不相等的四边形是梯形。( 二)直角梯形的定义: 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地, 梯形的分类如下：一一般梯形Y梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形( 三)等腰梯形1 、
14、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2 、等腰梯形的性质( D 等腰梯形的两腰相等，两底平行。( 2)等腰梯形同一底上的两个角相等， 同一腰上的两个角互补。( 3 )等腰梯形的对角线相等。( 4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴， 即两底的垂直平分线。3 、等腰梯形的鉴定( 1 )定义：两腰相等的梯形是等腰梯形( 2 ) 定理: 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形( 3 )对角线相等的梯形是等腰梯形。( 选择题和填空题可直接用)( 四)梯形的面积( 1 )如图， S 梯形+(2 )梯形中有关图形的面积： SAAB。= SABAC S ABOC ； = S ABCD七、有关中点四
15、边形问题的知识点：(1 )顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形;(2 )顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；(3 )顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；(4 )顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形;(5 )顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形;( 6 ) 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；八、中心对称图形1 、定义在平面内， 一个图形绕某个点旋转18 0 , 假如旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、性质
16、(1)关于中心对称的两个图形是全等形。(2 ) 关于中心对称的两个图形， 对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。(3 ) 关于中心对称的两个图形，相应线段平行(或在同一直线上)且相等。3、鉴定假如两个图形的相应点连线都通过某一点，并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：图 4-109第五章位置的拟定一、 在平面内，拟定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1 、平面直角坐标系在平面内， 两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向; 铅直的数
17、轴叫做y轴或纵轴， 取向上为正方向；x 轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点; 建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2 、为了便于描述坐标平面内点的位置， 把坐标平面被x轴 和 y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意: x 轴和y 轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。3 、点的坐标的概念对于平面内任意一点P ,过点P分 别 x轴、 y 轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴相应的数 a ,b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标， 有序数对(a , b )叫做点P的坐标。点 的 坐 标 用 (a , b )表达，其顺序是横坐标在前，纵坐标在
18、后，中 间 有 “ ， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 “。人时，( a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一相应的。4、不同位置的点的坐标的特性(1 )、各象限内点的坐标的特性点 P (x , y )在第一象限o x 0 , y 0点 P (x , y )在第二象限= x 0点 P (x , y ) 在第三象限ox0, y 0 , y 0b 0y1/k/X- 图像通过一、二、三象限, y随 X的增大而增大。b 0y ,0/六图像通过一、三、四象限，y随 X的增大而增大。K 0yi0图像通过一、二、四象限，y随 x 的增大而
19、减小b 0时，图像通过第一、三象限，y随x的增大而增大；（ 2 ）当k 0时,y随x的增大而增大（ 2 ）当k 0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就是要拟定正比例函数定义式丁 =心: （1 ”( 或 ) 连 接 的 式 子 叫 做丕等式.a 2. 要区别方程与不等式: 方程表达的是相等的关系; 不等式表达的是不相等的关系.X 3 . 准 确 “ 翻译”不等式， 对的 理 解 “ 非负数”、 “ 不小于”等数学术语.非负数 大于等于0 ( 2 0 ) 0和正数 不小于0非正数 小于等于0 ( W 0 ) 0和负数 不大于0二 . 不等式的基本性质三
20、. 不等式的解集：X I .能使不等式成立的未知数的值， 叫做丕等式的解；一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集; 求不等式的解集的过程， 叫做解丕笠式.X2.不等式的解可以有无数多个， 一般是在某个范围内的所有数， 与方程的解不同.D 3 .不等式的解集在数轴上的表达：用数轴表达不等式的解集时， 要拟定边界和方向：边界: 有等号的是实心圆圈， 无等号的是空心圆圈；方向： 大向右, 小向左四. 一元一次不等式：XI . 只具有一个未知数，且含未知数的式子是整式， 未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做二元二次丕等式.X 2 . 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意， 当不等
21、式两边都乘以一个负数时， 不等号要改变方向.派3. 解一元一次不等式的环节: 去分母；去括号； 移项； 合并同类项；系数化为1（ 不等号的改变问题） 尔 不等式应用的探索（ 运用不等式解决实际问题）列不等式解应用题基本环节与列方程解应用题相类似， 即： 审 ：认真审题， 找出题中的不等关系， 要抓住题中的关键字眼， 如“ 大于， ，、 ， ， 小于”、 “ 不大于”、 ， ， 不小于”等含义；设： 设出适当的未知数；列：根据题中的不等关系， 列出不等式；解：解出所列的不等式的解集；答：写出答案, 并检查答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组X 1 .定义： 由具
22、有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.派2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集. 假如这些不等式的解集无公共部分， 就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分， 通常是运用数轴来拟定.X 3 . 解一元一次不等式组的环节：（ 1） 分别求出不等式组中各个不等式的解集；（ 2 ） 运用数轴求出这些解集的公共部分， 即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况（ a、b为实数, 且aaxbx b_ 1 _ 两大取较大a_ bxa 两小取小xax aax b 1xba bD大 小 父 义 中1日J找xa无解: _ J
23、_I_用大小分离没有解ba b（ 是空集）第三章图形的平移与旋转一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移。2、性质平移前后两个图形是全等图形，相应点连线平行且相等, 相应线段平行且相等，相应角相等。二、旋转1、定义在平面内， 将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转， 这个定点称为旋转中心， 转动的角叫做旋转角。2、性质旋转前后两个图形是全等图形， 相应点到旋转中心的距离相等，相应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。第四章分解因式一. 分解因式上把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.X
24、2 . 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系：( 1 ) 整式乘法是把几个整式相乘， 化为一个多项式；( 2 ) 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法派 1 . 假如一个多项式的各项具有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式送.如： ab+ac=a(b + c)X 2 . 概念内涵：( 1 ) 因式分解的最后结果应当是“ 积”；( 2 ) 公因式也许是单项式，也也许是多项式；( 3 ) 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分派律， 即：ma + mb-mc = m(a + b-c)
25、X 3 . 易错点点评：( 1 ) 注意项的符号与幕指数是否搞错；( 2 ) 公因式是否提“ 干净”；( 3 ) 多项式中某一项恰为公因式， 提出后， 括号中这一项为+ 1 , 不漏掉.三. 运用公式法 上 假如把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式. 这种分解因式的方法叫做运用公式法.X2.重要公式：( 1 )平方差公式:2-b2 =(a + b)(a-b)(2)完全平方公式:a2 +2ab+b2 =(a + b)2a2 - 2ab + b2 =(a-b)203.易错点点评：因式分解要分解到底. 如y 4 = * 2 + y 2 ) ( x 2 y 2 )就没有分解到底.X 4
26、. 运用公式法：(1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项( 不含符号) 都是一个单项式( 或多项式) 的平方;二项是异号.( 2 )完全平方公式：应是三项式;其中两项同号, 且各为一整式的平方；尚有一项可正负,且它是前两项幕的底数乘积的2倍 .X 5 .因式分解的思绪与解题环节：( 1 )先看各项有没有公因式，若有， 则先提取公因式；( 2 )再看能否使用公式法；( 3 )用分组分解法， 即通过度组后提取各组公因式或运用公式法来达成分解的目的；( 4 )因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积, 否则不是因式分解；( 5 )因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不
27、能再分解为止.四 . 十 字 相 乘 法 ：X I. 对于二次三项式以2+ 笈+ C ,将a和c分别分解成两个因数的乘aX /C 1积,a = ，c = C 1 3 ,且满足匕= 年2+ 。2。1 ，往往写成的 的形式，将二次三项式进行分解.如： ax2 +bx+c = (alx+ci)(a2x + c2)X 2 . 二次三项式x ? + p x + q的分解：p = a + b q = ab 1 /a x2 + px + q = (x + a)(x + b)1人bX 3 .规律内涵：( 1 )理解:把f + p x + q分解因式时， 假如常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数， 它们的
28、符号与一次项系数p的符号相同.( 2 )假如常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数， 其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同， 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p . 务 易错点点评：( 1 )十字相乘法在对系数分解时易犯错；( 2 )分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检查分解的是否对的.第 五 章 分 式一. 分式 上 两个整数不能整除时， 出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B ,可以表达成刍的形式. 假如除式B中具有字B母, 那么称4为分式，对于任意一个分式， 分母都不能为零.B整式X 2 .整式和分式统称
29、为有理式, 即有：有 理 式1 ：【 分式X 3 . 进行分数的化简与运算时， 常要进行约分和通分，其重要依据是分数的基本性质：分式的分子与分母都乘以( 或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变.A_AxM_力一 BxMA AM年 一 B + M（ M。0）尔一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式， 也就是把分子、分母的公因式约去, 这叫做约分. 分式的乘除法X I. 分式乘以分式， 用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母;分式除以以分式， 把除式的分子、分母颠倒位置后， 与被除式相乘.A C AC A C A D A DK
30、|J： - = , + = - = -B D BD B D B C B CX2. 分式乘方， 把分子、分母分别乘方.即 :仁 ) = 条 ( 为 正 整 数 )逆向运用丫， 当n为整数时，仍 然 有 土 成 立 .派3分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.三 .分式的加减法上分式与分数类似， 也可以通分. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母的分式， 叫做分式的通分.X 2 .分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法同样， 分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1 ) 同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；上述法则用式子表达是：4 0 =
31、9 0c c c(2 ) 异号分母的分式相加减， 先通分, 变为同分母的分式，然后再加减；上述、金法、则用 式子工表主达是曰 :A . C =AD BC- =-A-D- - -B-C-B D BD BD BDX 3.概念内涵:通分的关键是拟定最简分母， 其方法如下：最简公分母的系数, 取各分母系数的最小公倍数; 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次累的积, 假如分母是多项式，则一方面对多项式进行因式分解.四. 分式方程X I. 解分式方程的一般环节：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母， 化成整式方程；解这个整式方程；把整式方程的根代入最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公母为零的根是
32、原方程的增根, 必须舍去.X 2 .列分式方程解应用题的一般环节：审清题意; 设未知数; 根据题意找相等关系， 列 出 （ 分式） 方程; 解方程， 并验根；写出答案.第六章四边形性质探索1、平行四边形的性质（ 1 ）平行四边形的对边平行且相等。（ 2）平行四边形相邻的角互补, 对角相等（ 3）平行四边形的对角线互相平分。（ 4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（ 1）若一直线过平行四边形两对角线的交点, 则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。（2 ）推论: 夹在两条平行线间的平行线段相等。2、平行四边形的鉴定（ 1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（ 2）定 理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形( 3 )定 理2 :两组对边分别相等的四边形是平行四边形( 4 )定 理3 :对角线互相平分的四边形是平行四边形( 5 )定 理4 ： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中， 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5 ,平行四边形的面积s平 行 四 边 形 二 底边长乂高= h
