排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组 （分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组例 1、 7 人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成 3组，分别为 1人、 2 人、 4 人；②选出 5个人分成 2 组，一组 2 人，另一组 3人解：①先选出 1人，有 C71 种，再由剩下的 6 人选出 2 人，有 C62 种，最后由剩下的4 人为一组，有 C44 种由分步计数原理得分组方法共有C71C62 C44105 （种）②可 选分同步 先从 7 人中选出 2 人，有 C72 种，再由剩下的 5 人中选出 3人，有 C53种，分组方法共有 C72C53210 （种）也可 先选后分 先选出 5 人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C75C52 C33210 （种）二、均匀分组 （去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组㈠全部均匀分组 （去除重复法）例 2、 7 人参加义务劳动，选出 6 个人，分成 2组，每组都是3 人，有多少种不同的分法解： 可选分同步 先选 3 人为一组，有 C73 种；再选 3 人为另一组，有 C43 种。
又有 2 组都是 32C73C43人，每 A2 种分法只能算一种，所以不同的分法共有70 （种）A226C63C3370 （种）也可 先选后分 不同的分法共有 C7A22㈡部分均匀分组 （去除重复法）例 3、 10个不同零件分成 4 堆，每堆分别有 2 、 2 、 2 、 4 个，有多少种不同的分法解：分成 2 、 2、 2 、 4 个元素的 4堆，分别有 C102 、 C82 、 C62 、 C44 种，又有 3 堆都是 2个元素，每 A33 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有C102C82 C62C443150 （种）A33【小结：不论是全部均匀分组， 还是部分均匀分组， 如果有 m 个组的元素是均匀的，都有 Amm 种顺序不同的分法只能算一种分法 】三、编号分组㈠非均匀编号分组 （分步先组合后排列法）例 4、 7 人参加义务劳动，选出 2 人一组、 3 人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解： 分组方法共有 C72C53 A22420 （种）㈡部分均匀编号分组 （分组法）例 5、 5 本不同的书全部分给 3 人，每人至少 1本，有多少种不同的分法解：分两类。
①一类为一人3 本；剩两人各1本将 5 本书分成3 本、 1本、 1本三组，再分给 3人，有3C1C13C521A360种分法 ②另一类为一人1本，剩两人各2本将书分成2本、A222本、13人，有C5A22A3 90种分法共有6090 150种分法本三组，再分给2C32C113例 6、 已知集合A 含有 4 个元素，集合B 含有3 个元素现建立从A到 B的映射f : AB ，使 B 中的每个元素在A 中都有原象的映射有多少个解：先把 A 中的 4个元素分成3组，即 2 个、 1个、 1个，有 C42C22 C11种分组方法， 再把 BA22中的 3个元素全排列，共有C42C22 C11A3336 种分组方法因此，使B 中的元素都有原象A22的映射有 36 个二）（五个方面）一、平均分堆问题倍缩法 （或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）1、 从 7 个参加义务劳动的人中，选出6 个人，分成两组，每组3 人，有多少种不同的分法答案： C73C43 70 （种）或 C76C63C3370（种）A22A222、 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法答案： C62C42 C22 15 （种）。
A33附： 6 个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同的分派方法答案： C62C42C22 90 （种）3、 6 本书分三份， 2份 1本，1份4本，有多少种不同分法答案： C61C51 C4415（种）A22二、 有序分配问题逐分法 （或分步法）1人承担，从 10 人中选出 4 人承4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙、丙各需担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、 1260种B 、 2025种C 、 2520种D 、 5040种答案： C102C81C712520 （种）选 C ② 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）种4 4 444 444 3D 、C4C4C4A 、 C12C8 C4 种B 、 3C12C8 C4 种C 、 C12C8 C3 种12 84 种A33答案： 选 A三、全员分配问题先组后排法5、 ① 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校，每所学校至少去 1名，不同的保送方案有多少种答案： C42A3336 （种）② 5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少 1本，不同的分法种数为（）。
A、 480种B、 240种C 、120种D、96种答案： C52A44240 （种）选 B 四、名额分配问题隔板法 （或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）6、 10 个优秀学生名额分到 7 个班级，每个班级至少 1个名额，有多少种不同分配方案答案： C9684 （种）五、限制条件分配问题分类法7、 某高校从某系的 10名优秀毕业生中选 4 人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案答案：甲、乙有限制条件，按照甲、乙是否参加分四类①甲、乙都不参加，有派遣方案 A84 种；②甲参加乙不参加，先安排甲有3种，再安排其余学生有A83 种，共有 3A83 种；③乙参加甲不参加，有 3A83 种；④甲、乙都参加，先安排甲乙，有7 种（树图法），再安排其余学生有 A82 种，共有 7A82 种综上，不同的派遣方法总数为 A843A833A837 A824088种。