绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷〔理工农医类〕数学试题卷(理工农医类)共5页总分值150分考试时间120分钟 考前须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(K)=km Pk(1-P)n-k以R为半径的球的体积V=πR3.一、 选择题:本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕复数1+=(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3(2)设m,n是整数，那么“m,n均为偶数〞是“m+n是偶数〞的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)函数y=的最大值为M,最小值为m,那么的值为(A) (B) (C) (D)(5)随机变量服从正态分布N(3,a2),那么P(＜3＝ (A) (B) (C) (D)(6)假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,那么以下说法一定正确的选项是(A)f(x)为奇函数 〔B〕f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数 〔D〕f(x)+1为偶函数 (7)假设过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，那么点P分有向线段所成的比的值为(A)－ (B) － (C) (D) (8)双曲线〔a＞0,b＞0〕的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,那么双曲线方程为〔A〕－=1 (B) (C) (D) (9)如解〔9〕图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交局部〔图中阴影局部〕的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色局部的体积，那么以下关系中正确的选项是〔A〕V1= (B) V2=〔C〕V1> V2 〔D〕V1< V2(10)函数f(x)=() 的值域是〔A〕[-] (B)[-1,0]〔C〕[-] 〔D〕[-]二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上〔11〕设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},那么(AB)= .〔12〕函数f(x)=(当x0时) ，点在x=0处连续，那么 .(13)(a>0) ，那么 .(14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,那么S16= .〔15〕直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为〔0，1〕，那么直线l的方程为 .(16)某人有4种颜色的灯泡〔每种颜色的灯泡足够多〕，要在如题〔16〕图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，那么每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种〔用数字作答〕.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔17〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问7分〕设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕cotB+cot C的值.〔18〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问8分.〕甲、乙、丙三人按下面的规那么进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规那么一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：〔Ⅰ〕 打满3局比赛还未停止的概率；〔Ⅱ〕比赛停止时已打局数的分别列与期望E.〔19〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问7分.〕如题〔19〕图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：〔Ⅰ〕异面直线AD与BC的距离；〔Ⅱ〕二面角A-EC-B的大小〔用反三角函数表示〕.〔20〕〔本小题总分值13分.〔Ⅰ〕小问5分.〔Ⅱ〕小问8分.〕 设函数曲线y=f(x)通过点〔0，2a+3〕，且在点〔-1，f〔-1〕〕处的切线垂直于y轴.〔Ⅰ〕用a分别表示b和c；〔Ⅱ〕当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.〔21〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分.〕 如图〔21〕图，M〔-2，0〕和N〔2，0〕是平面上的两点，动点P满足：〔Ⅰ〕求点P的轨迹方程；〔Ⅱ〕假设,求点P的坐标.〔22〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分.〕 设各项均为正数的数列{an}满足.〔Ⅰ〕假设，求a3，a4，并猜测a2cos的值〔不需证明〕；〔Ⅱ〕记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.2021年普通高等学校招生全国统一考试〔重庆卷〕数学试题〔理工农医类〕答案一、选择题：每题5分，总分值50分.〔1〕A 〔2〕A 〔3〕B 〔4〕C 〔5〕D 〔6〕C〔7〕A 〔8〕C 〔9〕D 〔10〕B二、填空题：每题4分，总分值24分.〔11〕 〔12〕 〔13〕3 〔14〕-72 〔15〕x-y+1=0 〔16〕216三、解答题：总分值76分.〔17〕〔本小题13分〕 解：〔Ⅰ〕由余弦定理得＝故〔Ⅱ〕解法一： ＝ ＝ 由正弦定理和〔Ⅰ〕的结论得 故 解法二：由余弦定理及〔Ⅰ〕的结论有 ＝ 故 同理可得 从而〔18〕〔本小题13分〕 解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜. 〔Ⅰ〕由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为 〔Ⅱ〕的所有可能值为2，3，4，5，6，且 故有分布列23456P 从而〔局〕.〔19〕〔本小题13分〕 解法一： 〔Ⅰ〕在答〔19〕图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.在第〔19〕图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在答〔19〕图1中，由，得又DE=3,从而 因〔Ⅱ〕在第〔19〕图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由〔1〕知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,因此从而在Rt△DFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan解法二：〔Ⅰ〕同解法一.〔Ⅱ〕如答〔19〕图3.由〔Ⅰ〕知，以D点为坐标原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，A〔0，0，4〕，，E〔0，3，0〕.过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设从而 ，有 ① 又由 ② 联立①、②，解得 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B有所以 因此所求二面角A-EC-B的大小为(20)〔本小题13分〕解：(Ⅰ)因为 又因为曲线通过点〔0，2a+3〕, 故 又曲线在〔-1，f(-1)〕处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为〔-∞，-2〕和〔2，+∞〕；单调递增区间为〔-2，2〕.(21)〔本小题12分〕 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为 (Ⅱ)由得 ① 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N△PMN中， ② 将①代入②，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 由方程组 解得 即P点坐标为(22)(本小题12分) 解：(Ⅰ)因 由此有，故猜测的通项为 〔Ⅱ〕令 由题设知x1=1且 ① ② 因②式对n=2成立，有 ③ 下用反证法证明： 由①得。