实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性一、 实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数fx,寻找一个简单、易于计算的函数P(x)来代替fx使用，即用P(x)去近似fx，这就是函数逼近所要研究的问题而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre以及Chebychev方法讨论其n次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB实验及精度比较二、 实验原理由教材定义有：对于给定的函数，如果存在使得则称S*(x)是f (x)在集合中的最佳平方逼近函数显然，求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数，使多元函数取得极小值，也即点()是I (a0, …，an)的极点由于I (a0, a1, …，an)是关于a0, a1, …，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件， (k = 0, 1, 2, …, n)即得方程组如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为 ………….（1）这是一个包含n + 1个未知元a0, a1, …, an的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为 ………（2）此方程组叫做求aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。
显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn = Gn (j0, j1, …, jn)由于j0, j1, …, jn线性无关，故Gn ¹ 0，于是上述方程组存在唯一解从而肯定了函数f (x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是 ……………………………..........（3）三、 实验内容考虑f (x)=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式和Chebychev多项式的展开式分别取展开式的4次、8次……阶段多项式，画出f (x)及各次截断多项式的图像，观察收敛性四、 实验步骤1. 最佳平方逼近算法1) 输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；2) 解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；3) 由式（3）得到函数的最佳平方逼近2. MATLAB实现编写三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数，作出n取不同值时的逼近函数曲线，与原函数图像进行比较，观察其收敛性五、 实验数据分析5．1 Legendre多项式逼近a) fx=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的四次截断多项式为fx= 15/128+105/64*x^2-105/128*x^4逼近图像如下图5-1所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。
图5-1b) fx=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的八次截断多项式为fx=2205/32768+24255/8192*x^2-105105/16384*x^4+63063/8192*x^6-109395/32768*x^8逼近图像如下图5-2所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的图5-2c) fx=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的十六次截断多项式为fx=78217425/2147483648+1486131075/268435456*x^2-24273474225/536870912*x^4+66994788861/268435456*x^6-854525368125/1073741824*x^8+398778505125/268435456*x^10-860175122625/536870912*x^12+247945660875/268435456*x^14-472749726735/2147483648*x^16逼近图像如下图5-3所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的图5-35．2 Chebychev多项式逼近a) fx=|x|在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的四次截断多项式为fx=逼近图像如下图5-4所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。
图5-4b) f(x)=|x|在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的八次截断多项式为f(x)=逼近图像如下图5-5所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的图5-5c) fx=|x|在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的十六次截断多项式为fx=逼近图像如下图5-6所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的图5-6由于在MATLAB中进行16次Legendre以及Chebychev逼近，速度已经很慢，而且以上n的取值已经能表示出Legendre和Chebychev多项式逼近的特点，故我们n只取到16为止六、 实验讨论1、 由实验可知，用Legendre正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数fx=|x|，不管是4次、8次还是16次的阶段多项式，其结果都是收敛的当节点取的越多，则函数的逼近效果越好2、 用Chebychev正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数fx=|x|，不管是4次、8次还是16次的阶段多项式，其结果都是收敛的当节点取的越多，则函数的逼近效果越好3、 对于用Legendre正交多项式逼近和用Chebychev正交多项式进行逼近，二者的区别在于权函数的选取上。
对于Legendre正交多项式，其权函数为1，所以在进行内积的时候，不用考虑权函数的问题但是对于Chebychev正交多项式，计算内积的时候权函数为ρx=11-x2，在计算内积的时候需要考虑将其带入运算否则逼近误差很大4、 通过利用Legendre正交多项式逼近和Chebychev正交多项式逼近，从逼近图像上可以看出，在函数的间断点0处的误差是最大的但是，随着截断多项式的次数越高， 0点的误差也越来越小5、 由实验过程可知，MATLAB在做16次逼近的时候，速度比4次以及8次要慢很多，处于s级，而且逼近精度并没有很大的提高，这对于我们工程实际应用有一个提醒，在精度要求不是很严格而对实时性要求很高的条件下，尽量选取低阶逼近，节省CPU资源以及满足系统实时性要求。