不等式的八种变式及应用不等式是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的八种变式及应用变式1：（当且仅当时，等号成立）例1、若，且，求证：证明：由得同理：，因此由于三个不等式中的等号不能同时成立，故变式2：（当且仅当时，等号成立）例2、若常数，对于任意非负实数都有恒成立，求最大的常数；解：（i）当时， 当且仅当时等号成立ii）当时，当且仅当时等号成立由（i）（ii）知：变式3：（当且仅当时，等号成立）例3、设，求证： 证明：由变式3得上述第一个不等式中等号成立的条件为：故原不等式成立变式4：若，则（当且仅当时，等号成立）或（当且仅当时，等号成立）例4、设，求证：证明：由变式4得，，三式相加即得：可变式5：若则（当且仅当时，等号成立）；例5、设为非负实数，且，求证：证明：由于故变式6：若，则（当且仅当时，等号成立）例6、当时，不等式恒成立，求的最大值解：由上述三个不等式中等号均在同一时刻时成立由变式7：若，则（当且仅当时等号成立）例7、实数满足，求的最大值与最小值解：由变式7得 因此即当且仅当、再结合条件得及时，分别获得最小值与最大值；变式8：， ，……，一般地例8、已知是满足且的实数，试求的最大值解：由即得：，即的最大值为；。
