2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线3x+ 3y+1=0的斜率是( )A. 33 B. 3 C. − 3 D. − 332.已知向量a=(2,−1,5)，2a−3b=(−2,1,13)，则a⋅b=( )A. −2 B. 0 C. 2 D. 103.已知双曲线x2m−1−y29=1的一个焦点坐标为(4,0)，则m的值为( )A. 24 B. 25 C. 7 D. 84.我国辽代著名的前卫斜塔(又名瑞州古塔)位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看作直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看作线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是( )A. 32m B. 2m C. 3m D. 2m5.已知直线l：(a+2)x+(1−a)y−(a+5)=0，椭圆C：x26+y23=1，则l与C的位置关系为( )A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切6.(x+y)(2x−y)6的展开式中x4y3的系数为( )A. −80 B. −40 C. 40 D. 807.已知动点M的轨迹方程为|x||y|=9，P为⊙C：x2+y2=2上任意一点，则PM的最小值为( )A. 3 2 B. 2 2 C. 2 D. 28.如图，在长方形ABCD中，E为BC中点，AD=2AB.以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别达到A1，B1，当异面直线CD，B1E成角为π3时，异面直线CD，A1B1成角余弦值为( )A. 12 B. 33 C. 22 D. 32二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC中点，则( )A. EF//平面DA1C1B. DB1⊥平面D1EFC. D1E与平面BB1D1D成角正弦值为 26D. 平面D1EF与平面ADD1A1成角余弦值为2 171710.已知点F是抛物线C：x2=8y的焦点，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为AD中点，则下面说法正确的是( )A. AF=2FB B. 直线l的斜率是±13C. |AB|=9 D. 设原点为O，则△OAB的面积为26311.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是( )A. C32+C42+C52+…+C92=118B. 第20行中，第11个数最大C. 记第n行的第i个数为ai，则i=1n+12i−1ai=3nD. 第34行中，第15个数与第16个数的比为3：412.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)，双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)，椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，离心率分别为e1，e2，椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P且∠F1PF2=π3，则( )A. 若e1= 33，则e2= 3B. e12+e22的最小值为1+ 3C. △F1PF2的内心为I，I到y轴的距离为a2D. △F1PF2的内心为I，过右焦点F2作直线PI的垂线，垂足为D，点D的轨迹为圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为______.(用数字作答)14.已知⊙C1：x2+y2=1，⊙C2：x2−6x+y2−8y+25−m=1，若⊙C1与⊙C2有四条公切线，则m的取值范围为______．15.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知空间中三点分别为A(2,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,2)，则O到平面ABC的距离为______．16.已知椭圆C：x24+y2=1，A(3,4)，P为椭圆C上一动点，则|OA⋅AP|的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题10分)已知二项式(2x−1)n=a0+a1x+…+anxn，且满足An4=30Cn5．(1)求n的值；(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．18.(本小题12分)在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.条件①：直线的法向量为(−3,1)；条件②：与直线3x−y+5=0平行；条件③：与直线x+3y+5=0垂直．已知直线l经过(3,4)且_____．(1)求直线l方程；(2)若点P是直线l上的动点，过点P作⊙C：x2−8x+y2+6y+20=0的两条切线，切点分别为A，B两点，求四边形PACB的面积的最小值．19.(本小题12分)如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，AB⊥AC，∠A1AC=∠A1AB=π3，F为B1C1中点．(1)证明BC⊥AA1；(2)求AC与平面A1CF成角的正弦值．20.(本小题12分)已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为F1，F2，上下顶点为B1，B2，且△F1B1B2是边长为2的等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点Q(0,2)的直线与椭圆C交于M，N两点，且OM⋅ON>0，求直线MN斜率范围．21.(本小题12分)如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P是线段A1B1上动点且PN⊥AM恒成立．(1)证明：AB⊥AC；(2)当三棱锥A−PNA1与三棱锥M−PNA1的体积之和为56时，求平面PMN与平面ABC所成角的余弦值．22.(本小题12分)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l过焦点且AB的中点M的横坐标为2时|AB|=6．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点N(0,53)，当焦点为F为△ABN的垂心时，求直线l的方程．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：直线3x+ 3y+1=0的斜率为：−3 3，即− 3．故选：C．利用直线一般式的斜率计算公式即可得出．本题考查了直线一般式的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：设b=(x,y,z)，则由a=(2,−1,5)，2a−3b=(−2,1,13)，可得(4−3x,−2−3y,10−3z)=(−2,1,13)，则有4−3x=−2−2−3y=110−3z=13，解得x=2y=−1z=−1，则b=(2,−1,−1)，故a⋅b=2×2+(−1)×(−1)+5×(−1)=0．故选：B．根据空间向量的线性运算及数量积运算，直接运算求解即可．本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．3.【答案】D 【解析】解：双曲线x2m−1−y29=1的一个焦点坐标为(4,0)，可得m−1>0，且m−1+9=16，解得m=8．故选：D．由题意可得m−1>0，且m−1+9=16，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D 【解析】解：由题意，如图，可得B=60°，BC=1m，在△ABC中，由cosB=BCAB，可得AB=BCcosB=112=2，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是2m．故选：D．分析题意，解三角形即可得解．本题主要考查解三角形，考查了数形结合思想，属于基础题．5.【答案】D 【解析】解：由直线l：(a+2)x+(1−a)y−(a+5)=0，得2x+y−5+a(x−y−1)=0，联立2x+y−5=0x−y−1=0，解得x=2y=1．∴直线l过定点P(2,1)，代入椭圆C：x26+y23=1，有46+13=1，可知点P在椭圆上，则直线l与椭圆C的位置关系为相切或相交．故选：D．由直线系方程求得直线所过定点坐标，代入椭圆方程，可知定点在椭圆上，则答案可求．本题考查直线系方程的应用，考查椭圆的简单性质，属基础题．6.【答案】D 【解析】解：(2x−y)6由通项公式可得：Tr+1=C6r(2x)6−r(−y)r．那么(x+y)⋅C6r(2x)6−r(−y)r=要得到x4y3项：可得：r=2或r=3．当r=2时，系数为C6224=240．当r=3时，系数为−C6323=−160．合并后系数为：240−160=80．故选：D．利用通项公式，分情况讨论x4y3项，即可求解．本题考查了二项式定理系数的求法，要灵活运用通项公式，和各种情况的讨论．属于中档题．7.【答案】B 【解析】解：联立M点的轨迹方程和圆的方程，|x||y|=9x2+y2=2，无解，所以M点的轨迹与圆无交点，设M点坐标为(a,b)，M点与圆心的距离为 a2+b2，根据基本不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，又因为M点的轨迹为|x||y|=9，所以当a=b=3时等号成立，M点与圆心的距离取得最小值3 2，又因为圆的半径为 2，所以PM最小值为3 2− 2=2 2．故选：B．联立方程组，得出以M点的轨迹与圆无交点，结合基本不等式求最值即可．本题考查了圆的性质和绝对值方程的应用，属于中档题．8.【答案】A 【解析】解：设AD=2AB=2，由于B1E//A1D，所以∠A1DC即为直线CD、B1E所成的角，故DC⋅DA1=1×2×12=1，因此，DC⋅B1A1=DC⋅(B1E+ED+DA1)=DC⋅B1E+DC⋅ED+DC⋅DA1=DC⋅(−12DA1)−DC⋅DE+DC⋅DA1=12DC⋅DA1−DC⋅DE=12−1× 2× 22=−12．而|DC|=|A1B1|=1，所以cos=−12，结合异面直线所成角为直角或锐角，可知CD与A1B1所成角的余弦值为12．故选：A．根据题意，利用空间向量的数量积的运算加以计算，即可得到本题的答案．本题考查空间向量的线性运算与数量积的运算性质、异面直线所成的角的定义与求法，属于中档题．9.【答案】ACD 【解析】解：令正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，对于A，DA1=(0,−2,2),A1C1=(2,2,0)，若面DA1C1一个法向量为m=(x,y,z)，则DA1⋅m=−2y+2z=0A1C1⋅m=2x+2y=0，取y=1，则m=(−1,1,1)，而EF=(1,1,0)，所以EF⋅m=0，即EF⊥m，又EF⊄面DA1C1，故EF//平面DA1C1，故A正确；对于B，D1E=(1,−2,−2),EF=(1,1,0)，若面D1EF一个法向量为n=(a,b,c)，则D1E⋅n=a−2b−2c=0EF−⋅n=a+b=0，取a=2，则n=(2,−2,3)，而DB1=(2,−2,2)，所以不存在；R使DB1≠n，故DB 1⊥平面D1EF不成立，故B错误；对于C，由正方体性质知：BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，则BB1⊥AC，又。