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1、2022年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第二章 2-5夹角的计算第一课时直线间的夹角、平面间的夹角 山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，0，问题2：直线AC与BD的夹角与，有什么关系？提示：当0，时，它们相等；当，时，直线AC与BD的夹角为，问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角与，有什么关系？为什么
2、？提示：，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐角，而，为钝角，所以，问题4：若n1，n2分别为两个平面1，2的法向量，则1与2的夹角与n1，n2有什么关系？提示：当0n1，n2时，n1，n2；当n1，n2时，n1，n21两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角2异面直线l1与l2的夹角(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作ABl2，则直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直
3、线l1与l2的夹角等于s1，s23平面间的夹角(1)定义：平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角(2)计算：已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0n1，n2时，平面1和2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1和2的夹角等于n1，n21求空间角时，要注意角的范围(1)异面直线夹角范围是；(2)两平面夹角范围是.2求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系 求异面直线的夹角例1如图所示，在四棱锥PABCD中，
4、底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值思路点拨要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得精解详析以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)又PDA30，APADtan 302aa，AEADsin 302aa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EA
5、F60，AF，EFa.P，E.(1)证明：，0a2a20.，BEPD.(2)，(a，a,0)则cos，即AE与CD的夹角的余弦值为.一点通1求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角a，b但两异面直线的夹角范围是，所以当a，b时，两异面直线的夹角应为a，b2合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解1把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，EOF的大小为()A60B90C120 D150解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.则F，E
6、，cosEOFcos，EOF120.答案：C2在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)，A1(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，cos，.，120.故AC与BA1的夹角为60.法二，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0，a2.又|cos，cos，.，120.故异面直线BA1与AC的夹角为60.3.如右图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PAD60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，
7、并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值解：(1)如右图建立空间直角坐标系，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)在RtPAD中，由AD2，PAD60得PD2，P(0,0,2)(2)由(1)得(2,0，2)，(2，3,0)，cos，.故异面直线PA与BC夹角的余弦值为.求两平面的夹角例2如图，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值思路点拨建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解精解详析如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)
8、，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，得m(1，0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，n(0,1,1)cosm，n.而平面PAB与平面PBC夹角平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.一点通求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2.4在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC9
9、0，SA面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一个法向量是.设n(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n，n，即n0，n0.又，xy0，且xz0.yx，且zx.n，取x1，得n.cos，n.平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为.5(陕西高考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小解： (1)证明：法一：由题
10、设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，又BB1BDB，A1C平面BB1D1D.法二：A1O平面ABCD，A1OBD.又四边形ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1.又BB1BDB，A1C
11、平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cosn，|.又0，.用向量法求两异面直线的夹角及两平面的夹角时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：(1)当cosa，b0时，cos cosa，b，当cosa，b0时，cos cosa，b，即cos |cosa，b|.(2)当cosn1，n20时，cos cosn1，n2，当cosn1，n20时，cos cosn1，n2，即cos |cosa，b|.
12、1已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是()A60B45C30 D90解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则E，F，(0,1,0)所以cos，所以，135，所以异面直线EF和CD的夹角是45.答案：B2.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.答案：A3如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A. B.C. D.解析：设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：D4
