第3章 圆的基本性质1．xx·黄冈已知：如图3－BZ－1，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( )A．30° B．35° C．45° D．70°图3－BZ－1 图3－BZ－22．xx·绍兴一块竹条编织物，先将其按如图3－BZ－2所示的方式绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( )图3－BZ－33．xx·金华如图3－BZ－4，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm图3－BZ－4 图3－BZ－54．xx·丽水如图3－BZ－5，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是( )A.－B.－2 C.－D.－5．xx·衢州运用图形变化的方法研究下列问题：如图3－BZ－6，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是( )A.πB．10πC．24＋4πD．24＋5π图3－BZ－6 图3－BZ－76．xx·常州如图3－BZ－7，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则 ∠ABC＝________°.7．xx·湖州如图3－BZ－8，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是________°. 图3－BZ－8 图3－BZ－98．xx·台州如图3－BZ－9，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30厘米，则弧BC的长为________厘米(结果保留π)．9．xx·南京如图3－BZ－10，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D与BC相交于点E，连结AC，AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝________°.10．xx·义乌在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．图3－BZ－10 图3－BZ－1111．xx·盐城如图3－BZ－11，将⊙O沿弦AB折叠，点C在优弧AB上，点D在劣弧AB上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°. 图3－BZ－1212．xx·东营如图3－BZ－12，AB是半圆的直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC相交于点E，连结CD，BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO.其中正确结论的序号是________．13．xx·宁波在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图3－BZ－13①中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可)；(2)将图3－BZ－13②中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．图3－BZ－1314．xx·安徽如图3－BZ－14，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连结AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连结CO，求证：CO平分∠BCE.图3－BZ－1415．xx·湖州如图3－BZ－15，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.(1)求证：BD＝CD；(2)若⊙O的半径为3，求的长．图3－BZ－1516．xx·台州如图3－BZ－16，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图3－BZ－16详解详析1．B [解析] 连结OC，由垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”可得：＝，∠AOB＝∠AOC＝70°.根据“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”可知：∠ADC＝∠AOC＝35°.2．B3．C [解析] 如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，∴OC＝5 cm.又∵OB＝13 cm，∴在Rt△BCO中，BC＝＝12 cm，∴AB＝2BC＝24 cm.故选C.4．A [解析] 如图，连结OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°.∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，BC＝2 ，∴OC＝OB＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形OCB－S△OBC＝－×2 ×1＝－.故选A.5．A [解析] 如图，连结OC，OD，OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M，并反向延长交CD于点N.∵AB∥CD∥EF，易证ON⊥CD，阴影部分的面积即为扇形COD与扇形EOF的面积和，由AB＝10，CD＝6，EF＝8，OM⊥EF，ON⊥CD，易知OD＝OF＝5，FM＝ON＝4，OM＝DN＝3，故△OFM≌△DON，∴∠OFM＝∠DON.∵∠FOM＋∠OFM＝90°，∴∠FOM＋∠DON＝90°，∴∠EOF＋∠COD＝180°，故阴影部分的面积等于半圆的面积．6．70 [解析] 如图，连结AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∴∠ABC＝70°.7．140 [解析] 如图，连结AD，OD，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∠BAC＝40°，根据等腰三角形三线合一得到AD平分∠BAC，∴∠OAD＝20°.又∵OA＝OD，∴∠BOD＝2∠OAD＝40°，∴∠AOD＝140°，即的度数是140°. 8．20π [解析] 弧长计算公式为l＝，这里扇形的圆心角n°＝120°，它的半径r＝30厘米，∴l＝＝20π(厘米)．9．27 [解析]∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠DAC＝∠ACE.∵∠D＝78°，∴∠DAC＝51°，∴∠ACE＝51°.∵AD∥BC，∴＝，∴∠DAE＝∠D＝78°，∴∠EAC＝78°－51°＝27°.10．3或 [解析] 如图，连结CP，延长PB交⊙C于点P′，∵CP＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝CP2，∴△CPB为直角三角形，∠CBP＝90°，∴CB⊥PB，∴P′B＝PB＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC，而PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝＝，∴PA的长为3或.故答案为3或.11．110 [解析] 如图，设点D′是点D折叠前的位置，连结AD′，BD′，则∠ADB＝∠AD′B.在圆内接四边形ACBD′中，有∠ACB＋∠D′＝180°，所以∠D′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB＝110°.12．①②③ [解析] 由AC∥OD，可得∠CAD＝∠ADO，由OA＝OD可得∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝∠DAB，根据圆周角定理可得∠BOD＝2∠DAB，∠COD＝2∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，即OD平分∠COB，①正确；由∠BOD＝∠COD，根据“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等”可得BD＝CD，②正确；∵AB是半圆的直径，OC⊥AB，∴＝，易得∠CDA＝∠COD.又∵∠DCE＝∠OCD，∴△CDE∽△COD，∴CD2＝ CE·CO，③正确．13．解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．14．证明：(1)根据圆周角定理知∠E＝∠B，又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵AD∥CE，∴∠D＋∠DCE＝180°，∴∠E＋∠DCE＝180°，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．(2)如图，连结OE，OB，由(1)得四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC.又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∵OC＝OC，OB＝OE，∴△OCE≌△OCB(SSS)，∴∠ECO＝∠BCO，即OC平分∠BCE.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°.∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC，∴BD＝CD.(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°.由圆周角定理，得的度数为60°，∴的长为＝＝π.16．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠PEA＝∠ABC＝45°.又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝45°，∴∠PEA＝∠APE，∴AP＝AE，∴△APE是等腰直角三角形．(2)∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB.∵∠CAB＝∠PAE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE.又∵AP＝AE，∴△CPA≌△BEA，∴PC＝BE.∵PE是⊙O的直径，∴∠PBE＝90°.在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2，∴BE2＋PB2＝PE2，∴PC2＋PB2＝PE2＝4.。
