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1、陕西省四校联考2024届三模数学试题试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）ABCD2已知集合，集合，则（）ABCD3设集合Ay|y2x1，xR，Bx|2x3，xZ，则AB（ ）A（1，3B1，3
2、C0，1，2，3D1，0，1，2，34已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D05甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）ABCD6已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )ABCD7设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知集合，集合，那么等于（ ）ABCD9计算等于( )ABCD10从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则ABCD
3、11已知.给出下列判断：若，且，则；存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为；若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（ ）A1B2C3D412已知，则的大小关系为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，则球的体积为_14已知 ，则_.15经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是_16近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为
4、新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）己知，.（1）求证：；（2）若，求证：.18（12分）已知等差数列满足，.（l）求等差数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极
5、坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.20（12分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围21（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.22（10分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人
6、，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率【题目详解】解：抛物线经过点，故选：A【题目点拨】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.2D【解题分析】可求出集合，然后进行并集的运算即可【题目详解】解：，；故选【题目点拨】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算3C【解题分析】先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可【题目详解】解：集合Ay|y2x1，xRy|y1，Bx|2x3，xZ2，1，
7、0，1，2，3，AB0，1，2，3，故选：C【题目点拨】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题4C【解题分析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【题目详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【题目点拨】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.5B【解题分析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【题目详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”
8、的有3个,故所求概率为,故选：B.【题目点拨】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.6B【解题分析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.7A【解题分析】利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【题目详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.8A【解题分析】求出集合，然后进行并集的运算即可.【题目详解】，.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.9A【解题分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合
9、对数运算，求得所求表达式的值.【题目详解】原式.故选：A【题目点拨】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.10B【解题分析】由题意知，由，知，由此能求出【题目详解】由题意知，解得，故选：B【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用11B【解题分析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【题目详解】因为，所以周期.对于，因为，所以，即，故错误；对于，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，所以错误；对于，令，可
10、得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故正确；对于，因为，且，所以，解得，又，所以，故正确.故选：B.【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12D【解题分析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进
11、行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.【题目详解】解：因为，为正三角形，所以，因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，所以球的体积为故答案为：【题目点拨】此题
12、考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.14【解题分析】对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.【题目详解】对等式两边求导，得，令，则.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.15【解题分析】作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.【题目详解】设点，则、，设点，则，两式相减得，即，即，由斜率公式得，故，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16【解题分析】记“某用户的自用新能源
13、汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【题目详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率： 故答案为：【题目点拨】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）采用分析法论证，要证，分式化整式为，再利用立方和公式转化为，再作差提取公因式论证.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性质论证.【题目详解】（1）要证，即证，即证，即证，即证，即证，该式显然成立，当且仅当时等号成立，故.（2）由基本不等式得，当且仅当时等号成立.将上面四式相加，可得，即.【题目点拨】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.18 (1)；(2).【解题分析】试题分析：（1）设等差数列满的首项为，公差为，代入两等式可解。（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.所以.（2）因为，所以.所以 .19（1） ： ， ：；（2）【解题分析】（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得
